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文档简介

5.3定积分的换元积分法与分部积分法

定积分的“凑微分法”，不换元，直接对积分表达式变形构造

第一换元法：凑微分法

一、定积分的换元法定理

假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=

(t)满足条件：(1)

(

)=a,

(

)=b;(2)

(t)在[

,

]上具有连续导数，且其值域R

=[a,b]，则有定积分换元积分法的步骤：Step1：换元Step2：t

：α→β换限Step2：换微分定积分换元积分法与不定积分比较多一事：换元必换限少一事：换积分上下限不必变量还原难易x

：a→bx=

(t)例1计算当时，时，x

：0→a

换元换限换微分

换元换限换微分

定积分的“凑微分法”，不换元，直接对积分表达式变形构造例3计算解例4计算解

则令换元换限换微分x

：0→4

t=1;t=3.当x=0时，当x=4时，

换元换限换微分

u=1;

当x=1时，

(1)若f(x)在[-a,+a]连续且为偶函数,则(2)若f(x)在[-a,+a]连续且为奇函数,则例5证明即：(1)若f(x)在[-a,+a]连续且为偶函数,则(2)若f(x)在[-a,+a]连续且为奇函数,则例5证明即：在关于原点对称区间上，偶函数的定积分等于对称的部分区间上积分的两倍奇函数的定积分等于0在关于原点对称区间上的定积分，偶倍奇零例：计算奇偶(19)(22)(20)

（1）设证特别地有即

周期函数任一周期上的定积分等于最小正周期上的积分周期函数任一周期上的定积分等于最小正周期上的积分

周期函数n个周期上的定积分等于n个最小正周期上的积分

原式,*例9回顾不定积分的分部积分法两边分别求不定积分，得即移项，得简写二、定积分的分部积分法两边分别求在区间[a，b]上的定积分，得即移项，得简写定积分的分部积分法

设函数与在区间上有连续的导数，则或简写成上列公式称为定积分的分部积分公式.

二、定积分的分部积分法应用公式的关键是选择u,

v＇

，次序仍然是：

反、对、幂、三、指5-3:7.（1）（2）（3）（4）例11x解

例10

计算例

12证明定积分公式n为正偶数n为大于1的正奇数例12.则当n为偶数时则当n为大于1的奇数时

……，直到下标减到0或1为止

积分In关于下标的递推公式点火公式

J.Wallis公式

计算

点火公式

J.Wallis公式

定积分的分部积分公式三、小结定积分的换元公式奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式课后练习

习题5-3

1—7,8:(1)---(9)课后作业

习题5-3

1.（4）（5）（6）8.

(2)（

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