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第一章1.7无穷小的比较复习：无穷小运算法则两个无穷小的和(差)还是无穷小.两个无穷小的积还是无穷小.两个无穷小的商

那么它们的商…….他们的和差积仍为无穷小，

极限类型未定式

那么它们的商…….他们的和差积仍为无穷小，

x10.50.10.010.0012x210.20.020.0023x31.50.30.030.003x210.250.010.00010.000001两个无穷小之比的极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同。为比较无穷小趋于零的快慢,引入无穷小的阶的概念有快有慢,x2比2x，3x快很多定义

=0

=8

一、无穷小的阶定义

=1

高阶的较快；低阶的较慢；同阶相当；等价的同步

无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度：结论：

同阶的无穷小

说明：零是阶最高的穷小.

无穷小的阶的高低是相对的;并依赖于极限过程的;

无穷小的比较是就是求型的极限判断无穷小的阶,实际上就是求两个无穷小商的极限.

一般是比较非零无穷小的;

无穷小的比较是无穷小与无穷小的比较；并不是所有的无穷小都可进行比较.不可比.证:例1.

证:必要性充分性二、无穷小等价的条件

等价无穷小的几何意义

当|x|很小(|x|<<1)时常用等价无穷小:

把所有换成也成立

当时

定理2证：定理条件满足时,可以用等价无穷小代换分子和分母，再求极限定理条件满足时,可以用等价无穷小代换积中的因式，再求极限可对分式的分子或分母或积中的因式作等价无穷小代换,再求极限三.等价无穷小代换定理.定理条件满足时,可以用等价无穷小代换分子或分母，再求极限例4.求解:=例5求解:

注意:解:解:

只可对分式的分子或分母或积中的因式作等价无穷小代换,对于代数和中的各项不能随意用等价无穷小代换.内容小结1.无穷小的比较：设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

是

的同阶无穷小

是

的等价无穷小

是

的k阶无穷小

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