1-10-闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理§1.10闭区间上连续函数的性质最大值与最小值

对于在区间I上有定义的函数f(x)

如果有x0

I

使得对于任一x

I都有f(x)

f(x0)

则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值与最小值举例:

例

函数f(x)=1+sinx在区间[0

2p]上有最大值

和最小值

一、有界性与最大值最小值定理20(f(x)

f(x0))(最小值)

最大值

例

函数y=sgn

x

在区间(-

+

)最大值与最小值举例:应注意的问题:并非任何函数都有最大值和最小值

例如，函数f(x)=x在开区间(a

b)内既无最大值又无最小值

但在开区间(0

+

)内

内有最大值1和最小值-1

它的最大值和最小值都是1

函数在什么条件下一定有最大值，最小值呢？定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

又至少有一点x2

[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一点x1

[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理说明

如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

那么定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

注意

y=1/x在(0,1)上连续但无最值函数在闭区间上有间断点

那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

闭区间，连续两个条件缺一不可在闭区间[0,2]上有间断点x=1，这函数f(x)在闭区间[0,2]上虽然有界，但是既无最大值又无最小值.二、零点定理定义如果x0

使f(x0)=0，则称x0

为定理2(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)

f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少存在一点

，使f(

)=0.函数f(x)的零点.几何解释:二、零点定理定义

如果x0

使f(x0)=0，则称x0

为定理2(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)

f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少存在一点

，使f(

)=0.函数f(x)的零点.注意：如果函数在闭区间上不连续，则在开区间内可能有零点，也可能没有零点.在闭区间[-4,4]上不连续，虽f(-4)=-0.25<0,f(4)=0.25>0,但在区间(-4,4)内无零点.xyO-44二、零点定理定义

如果x0

使f(x0)=0，则称x0

为定理2(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)

f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少存在一点

，使f(

)=0.函数f(x)的零点.注意：如果函数在闭区间上不连续，则在开区间内可能有零点，也可能没有零点.在闭区间[-4,4]上不连续，虽f(-4)=-3<0,f(4)=5>0,但该函数在区间(-4,4)内有零点.O-441

二、零点定理定理2(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)

f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少存在一点

，使f(

)=0.定理3(介值定理)且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A

及f(b)=B，那么，对介于

A

与B

之间的任意一个数C，在区间(a,b)内至少有一点

，使得f(

)=C.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，证由零点定理,∵C介于A，B之间定理3(介值定理)

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A

及f(b)=B，那么，对于A

与B

之间的任意一个数C，在区间(a,b)内至少有一点

，使得f(

)=C.定理3(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A

及f(b)=B，那么，对于A

与B

之间的任意一个数C，在区间(a,b)内至少有一点

，使得f(

)=C.几何意义:MBAmab在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

推论:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M],其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最大值与最小值.C例1证由零点定理,1-10:3课堂小结定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

定理2(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)

f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少存在一点

，使f(

)=0.定理3(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f