2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编-概率（2025年12月）

第1页（共1页）2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——概率（2025年12月）一．选择题（共8小题）1．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A、B，其中n（Ω）＝24，n（A）＝12，n（B）＝8，n（A∪B）＝16，那么（）A．n（AB）＝6 B．事件A与B互斥 C．P（AB）=23 D．事件A2．如图，三个自动开关T1，T2，T3正常工作的概率都是45A．45 B．29125 C．64125 3．从1～10这10个正整数中任选3个正整数，所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率．（）A．16 B．56 C．112 4．已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)=15，P(C)=13，P(A∪B)=8A．815 B．23 C．715 5．小胡和小李正在进行乒乓球单打决赛，现在的情形是还剩两局比赛，小胡只要再赢一局就获得冠军，小李需要两局都赢才能获得冠军．若两人每局赢的概率均为12A．45 B．34 C．12 6．某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：0293122585696834314573932875563587301107据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（）A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.357．如图，拨动十二支招福游戏盘的指针，黑色的指针会等可能地随机指向十二支中的某一支．当黑色的指针指向辰或已时，可获得“福气满满”的称号．甲、乙分别拨动指针一次，且甲、乙参加游戏的结果相互独立，则至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为（）A．5 B．1136 C．1336 D8．下列说法正确的是（）A．若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B） B．若A，B为两个事件，则P（AB）＝P（A）P（B） C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A∪B是必然事件 D．若A，B为相互对立事件，则A与B一定互斥二．多选题（共4小题）（多选）9．下列说法中不正确的是（）A．若随机变量X∼B(9，13)，则E[X﹣2D（B．若三个随机事件A、B、C两两独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） C．一组数据是90，85，80，70，60，55，50，40，则该组数据的第三四分位数是82.5 D．在线性回归分析中，两个变量的相关系数越大，变量之间相关性越强（多选）10．下列命题正确的是（）A．样本数据2，4，6，9，11，16的75%分位数是10 B．若随机变量X∼B(8，C．若随机变量X∼N（1，σ2）（σ＞0），且P（X≤3）＝0.75，则P（1≤X≤3）＝0.25 D．若随机事件A，B满足P（A）＞0，P（B）＞0，且AB＝∅，则P（AB）≠P（A）P（B）（多选）11．下列说法正确的有（）A．高二（1）班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为15 B．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则A∩B＝{出现的点数为6} C．如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值（多选）12．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是（）A．甲与乙不互斥 B．丙发生的概率为16C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立三．填空题（共4小题）13．在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为．14．一个袋子中有3个红球、4个白球、3个绿球．若随机地摸出一个球，设事件A＝“摸出红球”，事件B＝“摸出白球”，事件C＝“摸出绿球”，则P（A∪B）＝．15．高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为23，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是16．如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件A＝“参加数学兴趣小组”，事件B＝“参加语文兴趣小组”，事件C＝“参加英语兴趣小组”．现从这个班任意选择一名学生，则事件ABC所代表的区域是．（注：事件A的对立事件用符号A四．解答题（共4小题）17．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有10道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了6道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为2425，求n18．某多选题有A，B，C，D四个选项．（1）若已知有且仅有两个选项正确，则随机任选两项，能全对的概率是多少；（2）若已知有且仅有三个选项正确，则随机任选两项，能得分（不是0分）的概率是多少？19．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、深度学习、图象处理与计算机视觉、无线通信、信号处理、人工智能机器人等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展．某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p＞q），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为25，恰有一人答对的概率为7（1）求p和q的值；（2）若两题都答对者可被评为“优秀”，求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率．20．国庆长假市民旅游观光非常活跃．为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表：不满意一般满意男性1520x女性520y（1）请据此表数据，估计游客对W景区的满意率；（2）若80≤x≤130，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率．

2026年高考数学12月模拟试卷重点题型汇编——答案一．选择题（共8小题）题号12345678答案DDBBBCBD二．多选题（共4小题）题号9101112答案BDBCDBCDAC一．选择题（共8小题）1．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A、B，其中n（Ω）＝24，n（A）＝12，n（B）＝8，n（A∪B）＝16，那么（）A．n（AB）＝6 B．事件A与B互斥 C．P（AB）=23 D．事件A【考点】互斥事件与对立事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，由事件的性质分析A，由互斥事件的定义分析B，由古典概型公式分析C，由相互独立事件的判断方法分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，n（A）＝12，n（B）＝8，n（A∪B）＝16，则n（AB）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝4，A错误；对于B，n（AB）＝4，即事件A、B可以同时发生，则事件A与B不是互斥事件，B错误；对于C，由于n（AB）＝4，则AB=20，故P（AB）=2024对于D，P（A）=1224=12，P（B）=824则有P（AB）＝P（A）P（B），事件A、B相互独立，D正确．故选：D．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及互斥事件、相互独立事件的判断，属于基础题．2．如图，三个自动开关T1，T2，T3正常工作的概率都是45A．45 B．29125 C．64125 【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解．【解答】解：T2T3正常工作的概率均为45，且相互独立，T2T3都故障的概率为1T2T3至少有一个正常工作”的概率为1-1电路不发生故障的概率为45故选：D．【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．3．从1～10这10个正整数中任选3个正整数，所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率．（）A．16 B．56 C．112 【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】转化思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】先求出1～10这10个正整数的素数，再利用古典概型公式求解．【解答】解：由题意得1～10这10个正整数中的素数有2，3，5，7，共4个，∴所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率为：P＝1-C故选：B．【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知事件A，B，C两两互斥，若P(A)=15，P(C)=13，P(A∪B)=8A．815 B．23 C．715 【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；对应思想；分析法；概率与统计；数据分析．【答案】B【分析】根据事件A，B，C两两互斥，求出P(B)=13，进而利用P（B∪C）＝P（B）+P（【解答】解：因为事件A，B，C两两互斥，所以P(B)=P(A∪所以P(B∪故选：B．【点评】本题考查互斥事件的计算公式，属于基础题．5．小胡和小李正在进行乒乓球单打决赛，现在的情形是还剩两局比赛，小胡只要再赢一局就获得冠军，小李需要两局都赢才能获得冠军．若两人每局赢的概率均为12A．45 B．34 C．12 【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：还剩两局比赛，小胡只要再赢一局就获得冠军，小李需要两局都赢才能获得冠军，若两人每局赢的概率均为12则在此情形下小胡获得冠军的概率为：P=1故选：B．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：0293122585696834314573932875563587301107据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（）A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据古典概型知识可解．【解答】解：经随机模拟产生了20组随机数中，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心有：93，25，34，73，93，28，35，07，共8个数据，则该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为820故选：C．【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．7．如图，拨动十二支招福游戏盘的指针，黑色的指针会等可能地随机指向十二支中的某一支．当黑色的指针指向辰或已时，可获得“福气满满”的称号．甲、乙分别拨动指针一次，且甲、乙参加游戏的结果相互独立，则至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为（）A．5 B．1136 C．1336 D【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：由题意可知，拨动指针一次，获得“福气满满”的称号的概率为212所以甲和乙至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为P＝1﹣（1-16）故选：B．【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．8．下列说法正确的是（）A．若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B） B．若A，B为两个事件，则P（AB）＝P（A）P（B） C．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A∪B是必然事件 D．若A，B为相互对立事件，则A与B一定互斥【考点】对立事件的概率关系及计算；并事件积事件的概率关系及计算；随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据并事件的运算，相互独立事件，互斥事件，对立事件相关知识可逐一判断．【解答】解：对于A，若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），故A错误；对于B，当A，B为两个相互独立事件，则P（AB）＝P（A）P（B），故B错误；对于C，如投掷一枚骰子，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则满足P（A）+P（B）＝1，当A∪B＝{1，2，3，4}不是必然事件，故C错误；对于D，因为对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是必然事件，故D正确．故选：D．【点评】本题考查并事件的运算，相互独立事件，互斥事件，对立事件相关知识，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列说法中不正确的是（）A．若随机变量X∼B(9，13)，则E[X﹣2D（B．若三个随机事件A、B、C两两独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） C．一组数据是90，85，80，70，60，55，50，40，则该组数据的第三四分位数是82.5 D．在线性回归分析中，两个变量的相关系数越大，变量之间相关性越强【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；百分位数；样本相关系数；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】BD【分析】根据二项分布的期望与方差判断A；根据事件的独立性定义可判断B；利用百分位数的计算方法求解可判断C；根据相关系数的意义可判断D．【解答】解：对于A，因为随机变量X∼B(9，所以E(X)=np=9×13所以E[X﹣2D（X）]＝E（X﹣4）＝E（X）﹣4＝3﹣4＝﹣1，故A正确；对于B，三个随机事件A、B、C两两独立，且A、B、C相互独立，才有P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），故B错误；对于C，将数据90，85，80，70，60，55，50，40从小到大排序为40，50，55，60，70，80，85，90，因为n＝8×0.75＝6，则该组数据的第三四分位数是第6项与第7项的平均数80+852=82.5，故对于D，在回归分析中，相关系数的绝对值越大，变量之间的相关性越强，故D错误．故选：BD．【点评】本题考查二项分布的期望与方差，百分位数的求解，相关关系和相互独立事件的概念应用，属于中档题．（多选）10．下列命题正确的是（）A．样本数据2，4，6，9，11，16的75%分位数是10 B．若随机变量X∼B(8，C．若随机变量X∼N（1，σ2）（σ＞0），且P（X≤3）＝0.75，则P（1≤X≤3）＝0.25 D．若随机事件A，B满足P（A）＞0，P（B）＞0，且AB＝∅，则P（AB）≠P（A）P（B）【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】根据百分位数的定义可判断A选项，根据二项分布的方差公式可判断B选项，结合正态分布的对称性可判断C选项，根据事件的概率公式可判断D选项．【解答】解：A选项：由6×75%＝4.5，故该组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即为11，故A错误；B选项：若X～B(8，34C选项：若X～N（1，σ2），则P（X＜1）＝0.5，又P（X≤3）＝0.75，所以P（1≤X≤3）＝P（X≤3）﹣P（X＜1）＝0.75﹣0.5＝0.25，故C正确；D选项：由AB＝∅，得P（AB）＝0，又P（A）＞0，P（B）＞0，所以P（AB）≠P（A）P（B），故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查正态分布的对称性、二项分布的方差公式、百分位数的求解等，属于基础题．（多选）11．下列说法正确的有（）A．高二（1）班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为15 B．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则A∩B＝{出现的点数为6} C．如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；排列组合；运算求解．【答案】BCD【分析】根据排列组合可判断A，根据积事件知识可判断B，根据互斥事件的加法公式可判断C，根据频率与概率知识可判断D．【解答】解：对于A，高二（1）班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，共有C52=10个对于B，掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则A∩B＝{出现的点数为6}，故B正确；对于C，如果事件A与事件B互斥，则P（AB）＝0，则P（A∪B）＝P（A）+P（B），故C正确；对于D，随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查排列组合，积事件，互斥事件的加法公式以及频率与概率知识，属于基础题．（多选）12．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列选项正确的是（）A．甲与乙不互斥 B．丙发生的概率为16C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】先分别计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，可判断B选项；直接由互斥事件的概念判断A选项；由独立事件概率公式判断C、D选项即可．【解答】解：有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，由题意可知，有放回地随机取两次，共计36个基本事件，两点数和为6的所有可能为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲)=16，P(乙)=1对于A选项，甲与乙可以同时发生，甲与乙不互斥，故A正确；对于B选项，由上可知错误，故选项B错误；对于C选项，P（甲丁）=136=P（甲）P（丁），甲与丁相互对于D选项，P（乙丙）=136≠P（乙）P故选：AC．【点评】本题考查对立事件、互斥事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．填空题（共4小题）13．在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为8781001【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】8781001【分析】先求出总取法，再分正方体的6个面，3个中间平面和6个对角面三种情况讨论，求出四点共面的取法，再利用古典概型的概率公式即可得解．【解答】解：从14个点中取4个点，共有C14四点共面分下面三种情况：正方体的6个面，每个面包含4个顶点和1个中心点，此时共有6C3个中间平面，每个平面包含4个点，此时共有3C6个对角面，每个对角面包含4个顶点和2个中心点，此时共有6C∴四个点不共面共有1001﹣30﹣3﹣90＝878种，∴以这4个点为顶点可构成四面体的概率为概率P=878故答案为：8781001【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．一个袋子中有3个红球、4个白球、3个绿球．若随机地摸出一个球，设事件A＝“摸出红球”，事件B＝“摸出白球”，事件C＝“摸出绿球”，则P（A∪B）＝710【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】710【分析】根据互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：一个袋子中有3个红球、4个白球、3个绿球，共有3+4+3＝10个球，随机地摸出一个球，设事件A＝“摸出红球”，事件B＝“摸出白球”，事件C＝“摸出绿球”，则P（A）=310，P（B）事件A、B是互斥事件，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）=3故答案为：710【点评】本题考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为23，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是727【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】727【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：最终（7）班能够赢得比赛包含两种情况：①前两局（7）班均胜，概率为（1-23）（1-2②前两局（7）班一胜一平，第三局（7）班胜，概率为C2∴最终（7）班能够赢得比赛的概率为：P=1故答案为：727【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件A＝“参加数学兴趣小组”，事件B＝“参加语文兴趣小组”，事件C＝“参加英语兴趣小组”．现从这个班任意选择一名学生，则事件ABC所代表的区域是4．（注：事件A的对立事件用符号A【考点】并事件积事件的概率关系及计算．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】4．【分析】结合ABC【解答】解：事件ABC故表示的区域为4．故答案为：4．【点评】本题主要考查韦恩图的应用，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有10道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了6道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为2425，求n【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）1125（2）5．【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式求解；（2）利用独立事件和对立事件的概率公式求解．【解答】解：（1）设事件A表示“任选一道灯谜甲猜对”，事件B表示“任选一道灯谜乙猜对”，事件C表示“任选一道灯谜丙猜对”，则P(A)=810=45可得P（A）＝1﹣P（A）=15，P(B)=1所以甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为：P(AB（2）设事件D表示“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，所以P（D）＝1﹣P（D）＝1﹣P（ABC）＝1﹣P（A）P（B）P（C）＝1解得n＝5．【点评】本题主要考查了独立事件、互斥事件和对立事件的概率公式，属于中档题．18．某多选题有A，B，C，D四个选项．（1）若已知有且仅有两个选项正确，则随机任选两项，能全对的概率是多少；（2）若已知有且仅有三个选项正确，则随机任选两项，能得分（不是0分）的概率是多少？【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】集合思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）16（2）12【分析】（1）利用古典概型、列举法求解；（2）利用古典概型、列举法求解．【解答】解：（1）随机选两项共有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}，共6种选法，其中只有1种全对，∴全对的概率为16（2）假设正确答案为ABC，随机选两项共有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}，6种选法，其中3种可得分，∴能得分的概率为P=3【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、深度学习、图象处理与计算机视觉、无线通信、信号处理、人工智能机器人等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展．某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p＞q），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为25，恰有一人答对的概率为7（1）求p和q的值；（2）若两题都答对者可被评为“优秀”，求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】方程思想；分类法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）p=23，（2）2945【分析】（1）根据题意，列出关于p和q的方程组，求解即可；（2）甲、乙至少有一人被评为“优秀”，包含甲被评为“优秀”、乙没被评为“优秀”，甲没被评为“优秀”、乙被评为“优秀”，甲、乙都被评为“优秀”三种情况，分别求解加和即可．【解答】解：（1）由题可知，每题甲、乙同时答对的概率为25，恰有一人答对的概率为7则pq=25p(1-q)+q(1-p)=715由于p＞q，所以p=23，（2）设甲被评为“优秀”为事件A，乙被评为“优秀”为事件B，甲乙至少一人被评为“优秀”为事件C．则甲被评为“优秀”的概率P(A)=(乙被评为“优秀”的概率P(B)=(则甲乙至少一人被评为“优秀”的概率P(C)=P(A)P(=4【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．20．国庆长假市民旅游观光非常活跃．为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表：不满意一般满意男性1520x女性520y（1）请据此表数据，估计游客对W景区的满意率；（2）若80≤x≤130，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）80%；（2）4151【分析】（1）先计算满意的总人数，再利用频率公式计算满意率；（2）先确定x的取值范围及对应的基本事件总数，再确定满足“女性顾客不少于男性顾客y≥x”的基本事件数，最后利用古典概型公式计算概率．【解答】解：（1）根据题意，N＝300，n＝x+y＝300﹣（15+5+20+20）＝240，所以游客对W景区的满意率P1（2）因为x+y＝240，80≤x≤130，x∈N*，所以满意的顾客中，男性和女性的人数对（x，y）所有可能为：（80，160），（81，159），⋯，（130，110），共130﹣80+1＝51个数对，其中y≥x的有：（80，160），（81，159），⋯，（119，121），（120，120），共41个数对，所以满意的顾客中，女性顾客不少于男性顾客的概率P2【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．

考点卡片1．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件【知识点的认识】1、我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E表示．2、我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．3、一般地，随机试验中的每个随机时间都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，并把只包含了一个样本点的事件称为基本事件．4、随机时间一般用大写字母A，B，C，…表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．5、Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．而空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．【解题方法点拨】﹣对于随机事件，明确实验空间及所有基本事件．﹣对于必然事件，通常指所有基本事件的并集．﹣对于不可能事件，通常指实验空间的补集．【命题方向】﹣主要考察对事件分类的理解和识别．﹣常出现于概率计算题中，特别是用来确定事件的概率．2．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做A．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一．（2）对立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．例2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B．点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P(A)=12，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案为：5点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．3．对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根据对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因为对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故选C．点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．3．事件的互斥（互不相容）及互斥事件【知识点的认识】一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）．【解题方法点拨】﹣判断两个事件是否互斥，即它们的交是否为空．【命题方向】．；﹣常用于考察事件是否互斥的问题．4．互斥事件的概率加法公式【知识点的认识】互斥事件的概率加法公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）5．对立事件的概率关系及计算【知识点的认识】﹣对立事件的概率关系是P(A【解题方法点拨】﹣利用对立事件的公式计算对立事件的概率．【命题方向】﹣主要考察对立事件概率计算的问题，适用于概率计算的补集部分．6．并事件积事件的概率关系及计算【知识点的认识】﹣并事件的概率：P(A∪﹣积事件的概率：P(A∩B)=P(A)×【解题方法点拨】﹣应用并事件的概率计算公式，注意去除重复计算部分．﹣对于积事件，检查事件是否独立来选择合适的计算方法．【命题方向】﹣重点考察并事件和积事件的概率计算，涉及概率加法和乘法定理的应用．7．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．8．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件