2026届吉林省长春市第十一高中高一上数学期末质量检测试题含解析

2026届吉林省长春市第十一高中高一上数学期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.2．已知函数和，则下列结论正确的是A.两个函数的图象关于点成中心对称图形B.两个函数的图象关于直线成轴对称图形C.两个函数的最小正周期相同D.两个函数在区间上都是单调增函数3．已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.4．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断5．已知偶函数f(x)在区间单调递增，则满足的x取值范围是（）A. B.C. D.6．已知，若，则（）A.或 B.3或5C.或5 D.37．已知，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B.C. D.8．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是A.17π B.18πC.20π D.28π9．已知函数则函数的零点个数为（）A.0 B.1C.2 D.310．在中，是的（）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．的解集为_____________________________________12．已知,则的值为________13．已知，则__________.14．某房屋开发公司用14400万元购得一块土地，该地可以建造每层的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层整幢楼房每平方米建筑费用提高640元．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为8000元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成____________层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为____________元15．直线关于定点对称的直线方程是_________16．函数f(x)=sinx-2cosx+的一个零点是，则tan=_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知点，圆（1）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求的值18．国际上常用恩格尔系数r来衡量一个国家或地区的人民生活水平．根据恩格尔系数的大小，可将各个国家或地区的生活水平依次划分为：贫困，温饱，小康，富裕，最富裕等五个级别，其划分标准如下表：级别贫困温饱小康富裕最富裕标准r＞60%50%＜r≤60%40%＜r＝50%30%＜r≤40%r≤30%某地区每年底计算一次恩格尔系数，已知该地区2000年底的恩格尔系数为60%．统计资料表明：该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长．根据上述材料，回答以下问题.（1）该地区在2010年底是否已经达到小康水平，说明理由；（2）最快到哪一年底，该地区达到富裕水平？参考数据：，，，19．已知，，且，，求的值20．已知函数（1）求证：在上是单调递增函数；（2）若在上的值域是，求a的值21．如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成的角的大小.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据已知条件逐个分析判断【详解】对于A，因为，所以A错误，对于B，因为，所以集合A不是集合B的子集，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：C2、D【解析】由题意得选项A中，由于的图象关于点成中心对称，的图象不关于点成中心对称，故A不正确选项B中，由于函数的图象关于点成中心对称，的图象关于直线成轴对称图形，故B不正确选项C中，由于的周期为2π，的周期为π，故C不正确选项D中，两个函数在区间上都是单调递增函数，故D正确选D3、B【解析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.【详解】因为是上的偶函数，在上单调递增，所以在上单调递减，.又因为，因为，在上单调递减,所以，即.故选：B.4、A【解析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可【详解】由函数是幂函数，可得，解得或当时，；当时，因为函数在上是单调递增函数，故又，所以，所以，则故选：A5、A【解析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式【详解】因为偶函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，因为，所以，解得：.故选：A6、D【解析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解.【详解】解：由题意，当时，，解得或（舍去）；当，，解得（舍去）；综上，.故选：D.7、A【解析】利用指数函数、对数函数、三角函数的知识判断出a、b、c的范围即可.【详解】因为，，所以故选：A8、A【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.9、C【解析】的零点个数等于的图象与的图象的交点个数，作出函数f(x)和的图像，根据图像即可得到答案.【详解】的零点个数等于的图象与的图象的交点个数，由图可知，的图象与的图象的交点个数为2.故选：C.10、B【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解，得到答案.【详解】在中，若，可得，满足，即必要性成立；反之不一定成立，所以在中，是的必要不充分条件.故选B.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质是解答的关键，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由题得，解不等式得不等式的解集.【详解】由题得，所以.所以不等式的解集为.故答案为【点睛】本题主要考查正切函数的图像和性质，考查三角不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12、【解析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以即可求出分式的值.【详解】【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力.13、3【解析】由同角三角函数商数关系及已知等式可得，应用诱导公式有，即可求值.【详解】由题设，，可得，∴.故答案为：314、①.15②.24000【解析】设公司应该把楼建成层，可知每平方米的购地费用，已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为8000元，从中可得出建层的每平方米的建筑费用，然后列出式子求得其最小值，从而可求得答案【详解】设公司应该把楼建成层，则由题意得每平方米购地费用为（元），每平方米的建筑费用为（元），所以每平方米的平均综合费用为，当且仅当，即时取等号，所以公司应把楼层建成15层，此时，该楼房每平方米的平均综合费用最低为24000元，故答案为：15，2400015、【解析】先求出原直线上一个点关于定点的对称点，然后用对称后的直线与原直线平行【详解】在直线上取点，点关于的对称点为过与原直线平行的直线方程为，即为对称后的直线故答案为：16、##-0.5【解析】应用辅助角公式有且，由正弦型函数的性质可得，，再应用诱导公式求.【详解】由题设，，，令，可得，即，，所以，，则.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或．（2）【解析】(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为,再根据圆心到直线的距离等于半径求解即可.(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可.【详解】解：（1）由题意知圆心的坐标为,半径,当过点M的直线的斜率不存在时,方程为由圆心到直线的距离知,此时,直线与圆相切当过点M的直线的斜率存在时,设方程为,即．由题意知,解得,∴方程为故过点M的圆的切线方程为或（2）∵圆心到直线的距离为,∴,解得【点睛】本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题.18、（1）已经达到，理由见解析（2）2022年【解析】（1）根据该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长的比例列式求解，判断十年后是否达到即可.（2）假设经过n年，该地区达到富裕水平，列式，利用指对数互化解不等式即可.【小问1详解】该地区2000年底的恩格尔系数为%，则2010年底的思格尔系数为因为所以1，则所以所以该地区在2010年底已经达到小康水平【小问2详解】从2000年底算起，设经过n年，该地区达到富裕水平则，故，即化为因为，则In，所以因为所以所以，最快到2022年底，该地区达到富裕水平19、【解析】先利用同角三角函数关系式分别求出sinα、cosβ，再由两角差余弦函数公式能求出β﹣α的值【详解】因为，，所以又，，所以，所以，所以【点睛】本题考查两角差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和两角差余弦函数公式的合理运用20、（1）证明见解析；（2）【解析】(1）利用函数单调性的定义，设，再将变形，证明差为正即可；(2）)由(1)在上是单调递增函数，从而在上单调递增，由可求得a的值.【详解】，在上是单调递增函数，（2）在上是单调递增函数，在上单调递增，所以.【点睛】本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数单调性的定义及其应用，属于中档题.21、(1)见解析(2)【解析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此