2026届江西赣州市五校协作体数学高二上期末统考模拟试题含解析

2026届江西赣州市五校协作体数学高二上期末统考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．与的等差中项是（）A. B.C. D.2．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则离心率（）A. B.C. D.3．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，···，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为A. B.C. D.4．已知数列满足，且，则（）A.2 B.3C.5 D.85．设、分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且，则的长为（）A. B.1C. D.6．下列四个命题中，为真命题的是（）A.若a＞b，则ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，则a2＞b2D.若a＞b，则7．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文8．在长方体中，若，，则异而直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（）A. B.C.4 D.510．设变量满足约束条件，则的最大值为（）A.0 B.C.3 D.411．直线的倾斜角的大小为（）A. B.C. D.12．设R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.14．如图茎叶图记录了A、两名营业员五天的销售量，若A的销售量的平均数比的销售量的平均数多1，则A营业员销售量的方差为___________.15．已知O为坐标原点，椭圆T：，过椭圆上一点P的两条直线PA，PB分别与椭圆交于A，B，设PA，PB的中点分别为D，E，直线PA，PB的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为_______16．曲线在点处的切线方程为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值18．（12分）已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足（1）求数列和的通项公式；（2）令求数列的前n项和；19．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.20．（12分）已知函数在与处都取得极值.（1）求a，b的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数c的取值范围.21．（12分）已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.（1）求，的方程；（2）求证：直线和的斜率之积为定值；（3）求证：为定值.22．（10分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，证明：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】代入等差中项公式即可解决.【详解】与的等差中项是故选：A2、D【解析】根据长轴长是短轴长的2倍，得到，利用离心率公式即可求得答案.【详解】∵，∴，故，故选：D3、A【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.【详解】由题意可得：成绩在内的频率为，又本次赛车中，共名参赛选手，所以，这名选手中获奖的人数为.故选A【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型.4、D【解析】使用递推公式逐个求解，直到求出即可.【详解】因为所以，，，.故选：D5、C【解析】由椭圆的定义得：，，结合条件可得，即可得答案.【详解】由椭圆的定义得：，，又，，所以，由椭圆知，所以.故选：C6、C【解析】利用不等式的性质结合特殊值法依次判断即可【详解】当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1时，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正确故选：C7、C【解析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，则，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故选：C.8、C【解析】通过平移把异面直线平移到同一平面中，所以取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线与所成角为和所成角，通过解三角形即可得解.【详解】根据长方体的对称性可得体对角线过中心点，取，的中点，易知且过中心点，所以异而直线和所成角为和所成角，连接，在中，，，，所以则异而直线与所成角的余弦值为：，故选：C.9、C【解析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.【详解】，所以在抛物线的内部，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.10、A【解析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，即可求出目标函数的最大值.【详解】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由，可得，因为目标函数，即，表示斜率为，截距为的直线，由图可知，当直线经过时截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值为，故选：A.11、B【解析】由直线方程,可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选12、A【解析】根据不等式性质判断即可.【详解】若“”，则成立；反之，若，当，时，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A.【点睛】本题考查充分条件、必要调价的判断，考查不等式与不等关系，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据动圆同时与圆及圆外切，即可得到几何关系，再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.【详解】由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,当动圆与圆，圆外切时,,,所以,因为圆心,，即，又根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，，所以,则动圆圆心的轨迹方程是；故答案为：14、44【解析】先根据题意求出x的值，进而利用方差公式求出A营业员销售量的方差.【详解】由A的平均数比的平均数多1知，A的总量比的总量多5，所以，A的平均数为17，方差为.故答案为：4415、【解析】设的坐标，用点差法求和与的关系同，与的关系，然后表示出，求得最大值【详解】设，，，则，两式相减得，∴，，则，同理，，又，∴，，当且仅当，即时等号成立，∴，故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，考查椭圆弦中点问题．椭圆中涉及到弦的中点时，常常用点差法确定关系，即设弦端点为，弦中点为，把两点坐标代入椭圆方程，相减后可得16、【解析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可.【详解】，曲线在点处的切线方程为，即故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量证明与平面的法向量垂直（2）由空间向量求解【小问1详解】以C为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，设，因为，所以，故，得，同理求得，所以，因为是平面的一个法向量，且，所以，又平面，所以平面；【小问2详解】由（1）可得：，，设平面的一个法向量为，则，即令，则，所以，又平面的一个法向量为，设表示平面与平面所成锐二面角，则18、（1），（2）【解析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；（2）分组求和即可.【小问1详解】设的公差为,由已知,有解得，所以的通项公式为,的通项公式为.【小问2详解】，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.19、（1），（2）【解析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求得的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.20、（1），；（2）.【解析】(1)极值点处导数值为零，据此即可求出a和b；(2)利用导数求出f(x)在时的最大值即可.【小问1详解】由题设，，又，，解得，.【小问2详解】由（1）得，即，当时，，随的变化情况如下表：1+0-0+递增极大值递减极小值递增∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，为极大值，又，显然f（-）＜f(2)所以为在上的最大值.要使对任意恒成立，则只需，解得或c>1.∴实数c的取值范围为.21、（1）：；：（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）利用待定系数法，根据条件先求曲线的方程，再求曲线的方程；（2）首先设，表示直线和的斜率之积，即可求解定值；（3）首先表示直线与方程联立消，利用韦达定理表示弦长，以及利用直线和的斜率关系，表示弦长，并证明为定值.【小问1详解】由题设知，椭圆离心率为解得∴，∵椭圆的左右焦点，是双曲线的左右顶点，∴设双曲线：∴的离心率为解得.∴：：；【小问2详解】证明：∵点在上∴设则，∴.∴直线和的斜率之积为定值1；【小问3详解】证明：设直线和的斜率分别为，，则设，：与方程联立消得“*”则，是“*”的二根则则同理∴.22、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)对函数求导，把问题转化为导函数值为0的方程有两个正根，再构造函数求解作答.(2)将所证不等式等价转化，构造函数，利用导数探讨其单调性作答.【小问1详解】函数的定义域为，求导得：，依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有