玉溪市第一中学2026届数学高二上期末综合测试模拟试题含解析

玉溪市第一中学2026届数学高二上期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题“若，则”，命题“若，则”，则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（）A. B.C. D.3．已知双曲线的左右焦点分别是和，点关于渐近线的对称点恰好落在圆上，则双曲线的离心率为（）A. B.2C. D.34．已知动点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则线段的长度的最小值为（）A. B.4C. D.5．已知等差数列的前项和为，且，，则（）A.3 B.5C.6 D.106．经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（）A. B.C. D.7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A.2 B.6C.4 D.128．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（）A.3 B.C. D.9．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）A. B.C. D.10．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有1个白球”和“都是红球”B.“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C.“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D.“至多有1个白球”和“都是红球”11．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为A.或 B.或C.或 D.或12．已知空间向量，且与垂直，则等于（）A.－2 B.－1C.1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x=_____________，y=_____________14．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点）．若，则的取值范围是______15．在学习《曲线与方程》的课堂上，老师给出两个曲线方程；，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：甲：曲线关于对称；乙：曲线关于原点对称；丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；四位同学回答正确的有______（选填“甲、乙、丙、丁”）16．若直线:x-2y+1=0与直线:2x+my-1=0相互垂直，则实数m的值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）双曲线的离心率为，虚轴的长为4.（1）求的值及双曲线的渐近线方程；（2）直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.18．（12分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）设函数，，，求证：.19．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任意两点，为坐标原点，且以为直径的圆经过原点，求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值20．（12分）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为，数列是等差数列，其前项和为.已知，，，_____________.（1）请写出你选择条件的序号____________；并求数列和的通项公式；（2）求和.21．（12分）抚州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按80：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，现一，二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的3倍（1）若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图；（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用指数函数的单调性可判断命题的真假，利用特殊值法可判断命题的真假，结合复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假.【详解】对于命题，由于函数为上的增函数，当时，，命题为真命题；对于命题，若，取，，则，命题为假命题.所以，、、均为假命题，为真命题.故选：D.【点睛】本题考查简单命题和复合命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.2、A【解析】设椭圆方程为，解方程组即得解.【详解】解：设椭圆方程为，由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，即，解得，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：A.3、B【解析】首先求出F1到渐近线的距离,利用F1关于渐近线的对称点恰落在圆上,可得直角三角形,利用勾股定理得到关于ac的齐次式，即可求出双曲线的离心率【详解】由题意可设,则到渐近线的距离为.设关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴MF1=2b,A为F1M的中点.又O是F1P的中点,∴OA∥F2M,∴为直角,所以△为直角三角形，由勾股定理得：，所以，所以，所以离心率故选:B.4、A【解析】求出的最小值，由切线长公式可结论【详解】解：由，得最小时，最小，而，所以故选：A.5、B【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为数列为等差数列，由，可得，，则.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前项和的基本量运算，属于基础题型.6、A【解析】直接代入点斜式方程求解即可详解】因为直线经过点且斜率为2，所以直线的方程为，即，故选：7、C【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，A是椭圆一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，由椭圆定义得，所以的周长故选：C8、D【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，所以，则，所以，所以故选：D.9、D【解析】由抛物线定义可得，注意开口方向.详解】设∵点P到y轴的距离是4∴∵，∴.得：.故选：D.10、C【解析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【详解】对于选项A,“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项B,“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项C,“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球,与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项D,“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.11、B【解析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值.【详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为；若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为.综上所述，双曲线的离心率为或.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.12、B【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算即可解决.【详解】∵∴∴，解得，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.3②.5【解析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y.【详解】由题意，甲组数据为56，62，65，70+x，74；乙组数据为59，61，67，60+y，78.要使两组数据中位数相等，有65=60+y，所以y=5.又平均数相同，则，解得x=3.故答案为：3；5.14、【解析】设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答,【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，由椭圆及双曲线定义得：，解得，，因，即，而O是线段的中点，因此有，则有，即，整理得：，从而有，即有，又，则有，即，解得，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.15、甲、乙、丙、丁【解析】结合对称性判断甲、乙的正确性；通过对比和与坐标轴在第一象限围成的图形面积来判断丙丁的正确性.【详解】对于甲：交换方程中和的位置得，所以曲线关于对称，甲回答正确.对于乙：和两个点都满足方程，所以曲线关于原点对称，乙回答正确.对于丙：直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积为，，，在第一象限，直线与曲线都满足，，，所以在第一象限，直线的图象在曲线的图象上方，所以，丙回答正确.对于丁：圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积为，在第一象限，曲线与曲线都满足，，，，所以在第一象限，曲线的图象在曲线的图象下方，所以，丁回答正确.故答案为：甲、乙、丙、丁16、1【解析】由两条直线垂直可知，进而解得答案即可.【详解】因为两条直线垂直，所以.故答案为：1.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，双曲线的渐近线方程为和；（2）.【解析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合虚轴长的定义进行求解即可；（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用方程解的个数进行求解即可.【小问1详解】因为双曲线的离心率为，所以有ca而该双曲线的虚轴的长为4，所以，所以，因此双曲线的浙近线方程为：y=±x⇒x-y=0或；【小问2详解】由（1）可知：，，所以该双曲线的标准方程为：，与直线联立得：，因为直线与双曲线相交于互异两点，所以有：且，所以的取值范围为：.18、（1），无极大值（2）证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，进而确定极值点，求得答案；（2）将要证明的不等式变形为，然后构造函数，利用导数判断其单调性，求其最值，进而证明结论.【小问1详解】当时，，,由得，列表得：1--0+减减极小值增由上表可知，无极大值.；【小问2详解】证明：，即证；∵，则，故只需证，即证令，，得，得，∴在上递增，在上递减∴，∴，∴.19、（1）（2）证明见解析，定值为【解析】（1）根据题意得到，，得到椭圆方程.（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，将题目转化为，化简得到，代入计算得到答案.【小问1详解】椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为，故，，故椭圆方程为.【小问2详解】当直线斜率存在时，设直线方程为，，，则，即，，以为直径的圆经过原点，故，即，即，化简整理得到：，原点到直线的距离为.当直线斜率不存在时，为等腰直角三角形，设，则，解得，即直线方程为，到原点的距离为.综上所述：原点到直线的距离为定值.【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将圆过原点转化为是解题的关键.20、（1）选①，，；选②，，；选③，，；（2），【解析】（1）选条件①根据等比数列列出方程求出公比得通项公式，再由等差数列列出方程求出首项与公差可得通项公式，选②③与①相同的方法求数列的通项公式;（2）根据等比数列、等差数列的求和公式解计算即可.【小问1详解】选条件①：设等比数列的公比为q，，，解得或，，，.设等差数列的公差为d，，，解得，，.选条件②：设等比数列的公比为q，，，解得或，，，.设等差数列的公差为，，，解得，，选条件③：设等比数列的公比为，，，解得或，，，.设等差数列的公差为，，，解得，【小问2详解】由（1）知，，21、（1）8640；（2）第一组频率为，第二组频率为．频率分布直方图见解析；（3）中位数为，均值为121.9【解析】（1）求出优秀的频率，计算出抽取的人员中优秀学生数后可得全体优秀学生数；（2）由频率和为1求得第一组、第二组频率，然后可补齐频率分布直方图；（3）在频率分布直方图中计算出频率对应的值即为中位数，用各组数据中点值乘以频率后相加得均值【详解】（1）由频率分布直方图，分数在120分以上的频率为，因此优秀学生