第2讲：常用逻辑用语（5个题型）（教师版）

【第2讲：常用逻辑用语】总览总览题型梳理【知识点清单】1．充分条件的判断【知识点的认识】充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P⇒Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件．2．必要条件的判断【知识点的认识】必要条件是指如果条件Q成立，那么条件P必然成立．用符号表示为Q⇒P．必要条件是判断一个结论是否必须具备的条件．例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件．在解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．3．充分不必要条件的判断【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．4．必要不充分条件的判断【知识点的认识】必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件．5．充分不必要条件的应用【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；6．全称量词命题的真假判断【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题的判定方法全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．命题全称命题∀x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②对一切x∈M，使p（x）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，则p（x）成立﹣【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假．7．存在量词和存在量词命题【知识点的认识】存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【解题方法点拨】由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立【命题方向】本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．8．存在量词命题的真假判断【知识点的认识】存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立﹣【解题方法点拨】判断存在量词命题的真假时，可以通过具体实例来验证．例如，要判断“存在一个数是3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真．如果无法找到任何一个符合条件的对象，则命题为假．9．求全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．10．求存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：充分条件必要条件的判断】例题精选例题精选【例题1】（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，结合充分、必要性定义即可得.【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集，由是的充分不必要条件，即是的真子集，所以是的真子集，即是的充分不必要条件.故选：A【例题2】（2023·天津和平·二模）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】由，推不出，排除AB；由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C；，反之不成立，D正确；故选：D．【例题3】已知，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先化简题目中的不等式，然后根据充分性和必要性的定义进行判断即可【详解】由结合函数是上的增函数，可得，由结合函数是上的减函数，可得，故“”是“”的充分不必要条件，故选：C相似练习相似练习【相似题1】（2023·安徽蚌埠·一模）若且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】若，满足，此时，排除充分性，若，满足，此时，排除必要性，故选：D【相似题2】（2022·江西新余·三模）若，则“”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】B【分析】利用充分条件，必要条件的定义直接判断作答.【详解】依题意，取，满足，而，当时，，当且仅当时取“=”，则，“”是“”的必要不充分条件.故选：B【相似题3】多选题（2021·广东深圳·二模）下列叙述中正确的是（

）A．若则“"的充要条件是“”B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件C．若则“对恒成立"的充要条件是“”D．“”是“”的充分不必要条件【答案】BD【分析】对于A，当时必要性不成立，根据二次方程根的分布列不等式求解即可判断B，根据不等式恒成立条件转化即可判断C，当“”得“或”，从而判断D．【详解】对于A，因为可得，当，时，有，所以若则“"是“”的充分不必要条件，故A错；对于B，方程有一个正根和一个负根，则，整理得，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C，当时，“对恒成立"的充要条件是“”，故C错；对于D，当“”是“”成立，当“”得“或”，故“”是“”的充分不必要条件，D正确．故选：BD【题型2：充分条件必要条件求参数范围】例题精选例题精选【例题1】若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知可得，解不等式即可得出答案.【详解】由题设，不等式且成立的充分条件是，则，所以，所以实数a的取值范围是.故选：B.【例题2】已知，且是的充分条件，则实数可以是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解.【详解】由题意，若是的充分条件，则当且仅当，对比选项可知实数可以是3.故选：A.【例题3】若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果.【详解】由，得到，又不等式的一个充分条件为，所以，故选：C.相似练习相似练习【相似题1】已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分离参数求出的取值范围，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，即可得出答案.【详解】由题设命题为真，即在上恒成立，所以，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，故选：A．【相似题2】已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.【详解】由题意得，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D.【相似题3】解答题设为实数，集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；或(2)【分析】（1）可知，结合集合的交集、并集和补集运算求解即可；（2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合包含关系列式求解即可.【详解】（1）若，则，且，可得，，所以或.（2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集，显然集合B不是空集，则，解得，所以实数的取值范围为.【题型3：全称量词存在量词的否定】例题精选例题精选【例题1】（24-25高一下·四川泸州·期末）命题：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案.【详解】依据题意，先改变量词，然后否定结论，可得命题，的否定是：，.故选：B【例题2】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用“全称量词命题的否定为存在量词命题”，得到.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以为“”.故选：A.相似练习相似练习【相似题1】（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）命题“任意实数，都有”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案.【详解】命题“任意实数，都有”的否定是:.故选：B.【相似题2】（24-25高一上·北京丰台·期中）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可.【详解】根据含有一个量词的否定，命题“，”的否定是“，”，故选：A.【题型4：全称量词存在量词的真假判断】例题精选例题精选【例题1】（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（

）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题【答案】D【分析】需要分别判断命题和命题的真假，再根据命题真假性与它的否定之间的关系，得出和的真假．【详解】对于p，取，则有，故p是假命题，是真命题；对于q，，则，故q是假命题，是真命题.综上，和都是真命题.故选：D.【例题2】（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：，，命题：，，则（

）A．和均为真命题 B．和均为真命题C．和均为真命题 D．和均为真命题【答案】C【分析】由判别式的正负可判断，由可判断；【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题；，因为，所以成立，即为真命题，为假命题，故选：C相似练习相似练习【相似题1】（24-25高一上·广西柳州·期末）已知命题，命题，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【分析】取出反例得到是假命题，是真命题，根据零点存在性定理判断得到方程有根，故是真命题，是假命题，得到答案.【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题.对于而言，令，，，由零点存在性定理可知，存在，使得，故是真命题，是假命题.综上，和都是真命题.故选：B【相似题2】（24-25高三上·江西·开学考试）已知命题，命题，则（

）A．命题和命题都是真命题B．命题的否定和命题都是真命题C．命题的否定和命题都是真命题D．命题的否定和命题的否定都是真命题【答案】D【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.【详解】对于命题，当或时，，故命题是假命题，命题的否定为真命题；对于命题，因为，所以命题为假命题，命题的否定为真命题；综上可得：命题的否定和命题的否定都是真命题，故选：D【题型5：全称量词存在量词求参数范围】例题精选例题精选【例题1】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围.【详解】由命题“”为假命题，得为真命题，而，当时，，满足题意；当时，则要，，因此；所以实数a的取值范围为.故选：A【例题2】（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.【详解】因为命题“，”为假命题，所以，命题“，”为真命题；因为集合，集合，所以，当时，即时，成立，当时，由“，”得，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：A【例题3】（21-22高三上·吉林白城·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．“对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题B．“”是“”的充要条件C．命题“，使得”的否定是“，”D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数m的取值范围是【答案】D【分析】对A选项举反例，对B选项举反例，，对C选项，根据存在性命题的否定知其错误，对D选项，根据题意列得不等式组，解得.【详解】是无理数，是有理数，A错误；，时，，但，不是充要条件，B错误；命题“，使得”的否定是“，”，C错误；“”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得，解得．D正确．故选：D．相似练习相似练习【相似题1】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（

）A．5 B．3 C．1 D．-1【答案】A【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得.【详解】因为“”为假命题，所以其否定恒成立，所以在上恒成立，所以即，所以的取值可以是5.故选：A【相似题2】（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围.【详解】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，可知其否定“”为真命题.由，，移项可得，因为，两边同时除以，得到在上恒成立.在中，因为，所以2x和都是正实数，则，当且仅当，即时等号成立.因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值，即，所以实数的取值范围是.故选：A.【相似题3】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》【详解】命题“”是假命题，则是真命题，∴，解得：或，即a的范围是故选：D.课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（

）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题4．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．5．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2022·福建三明·模拟预测）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2022·福建·模拟预测）已知，若集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2025·福建漳州·模拟预测）命题“”的否定是（

）A． B． C． D．9．（2022·陕西西安·三模）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（

）A． B．0 C．1 D．310．（2023·浙江金华·模拟预测）条件，条件，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．（2022·浙江宁波·二模）已知，为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件12．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（

）A． B．C． D．13．（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．或14．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“,”是假命题，则不能等于（

）A． B． C． D．二、多选题15．（2024·福建·模拟预测）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（

）A．若，则是3阶聚合点集B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集C．若，则不是阶聚合点集D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件三、填空题16．（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．参考答案题号12345678910答案ACBAAABDAB题号1112131415答案ADCCACD1．A【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数；即可选出答案.【详解】当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数，例如当时，.所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选：A.2．C【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C3．B【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题.故选：B.4．A【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.【详解】由题可知且，解得，所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，因为只有选项A中的是的真子集，故选：A5．A【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断.【详解】①若，则，，所以”是“”的充分条件；②若，则或，解得或或.当时，，，符合题意；当时，，，符合题意；当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去，所以或，所以”是“”的不必要条件，所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件，故选：A6．A【分析】前者推后者可以用指数函数的单调性，后者推不出前者举反例【详解】若