第2题集合运算与充要条件的确定（一题多变） -教师版

专题02集合运算与充要条件的确定（一题多变）【典例展示】已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}．（1）求实数a的取值范围，使它成为的充要条件．（2）求实数a的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件．【思路分析】关于充要关系的判断，有三种方法，即定义法、等价法、集合关系法.注意到本题条件以集合呈现，故易于从集合关系、集合运算入手.对于（1）首先由，得到，利用“p是q的充要条件等价于A＝B”得解；对于（2），根据“p是q的充分且不必要条件等价于”，就是在集合中取一个值，使成立，而中未必有此数值.【精细解析】（1）由，得，因此的充要条件是（2）求实数a的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件，就是在集合中取一个值，如a＝0，此时必有；反之，未必有a＝0．故a＝0是的一个充分不必要条件．【题后反思】本例是在集合运算的基础上，利用充分条件、必要条件求参数（范围）问题．解答题时注意了把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．一般地，探求某结论成立的充分、必要条件，应把握好以下几个方面：(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．(4)注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．【追根溯源】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若，则是的充分而不必要条件；若

，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件；若，则是的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合关系法：从集合观点解释，p所对应的集合为A，q所对应的集合为B．（1）p是q的充分条件等价于．（2）p是q的必要条件等价于．（3）p是q的充要条件等价于A＝B．（4）p是q的充分且不必要条件等价于．（5）p是q的必要且不充分条件等价于．【变化角度】改变命题呈现形式，探寻结论成立的多种条件.关于x的方程至少有一个非负实数根，求它的：（1）充要条件；（2）充分非必要条件；（3）必要非充分条件；（4）既非充分也非必要条件．【思路分析】本题涉及一元二次方程至少有一个非负实根，从正面考察，情况比较复杂，可能是两个正根，一个正根，一个负根，两个“0”根，一个“0”根、一个负根，一个“0”根、一个正根，但它的对立面就比较简单，只有一种情况，即两个负根，因此，按照“正难则反”的原则，先求有两个负根的充要条件，然后求它的补集．再根据各个小题的不同要求，利用集合观点写出答案.【详解】若方程有两个负根，则（1）充要条件：取其补集，同时考虑到方程有实根，．故方程至少有一个非负实根的充要条件是．（2）充分非必要条件，缩小充要条件的范围就是充分非必要条件，如（答案不唯一）（3）必要非充分条件：扩大充要条件的范围就是必要非充分条件，如．（答案不唯一）（4）既非充分也非必要条件：如：．（答案不唯一）【变换角度】改变集合中元素的性质，与函数的定义域、值域相结合，根据两个集合的运算结果与已知集合加以比较.（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知全集，集合，则“”是“”的（）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件【思路分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.【详解】由可得，解得，所以或，故选:.【变换角度】改变集合中元素性质，由含参二次方程，变更为含参二元不等式；由数集变更为点集，利用数形结合思想求解.已知集合，，则的充要条件是（）A．

B．

C．

D．【思路分析】本题可看成两个点集之间关系的研究，其中集合A表示如图抛物线及其内部的区域，集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部区域.由题知，利用数形结合思想，结合图象，联立方程得解.利用数形结合思想.【详解】集合A表示如图抛物线及其内部的区域，集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部区域.∵，即，联立，消去得，由图知，当时，关于的方程至多有一个解，满足，此时.故选：A.【变换角度】改变集合中元素的性质，与简单不等式的求解相结合，在集合化简、运算的基础上，分别考察充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件时，参数的范围.设全集为R，，．(1)若a=5，求，；(2)若，且“”是“”的______，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．【思路分析】（1）确定集合A，B，根据集合的运算即可求得答案；（2）选①，则，列出不等式组求得实数a的取值范围．选②，则，列出不等式组求得实数a的取值范围．选③，则，结合题意判断，确定实数a的取值范围．【详解】（1）当a=5时，，因为需满足，解得，所以，所以，或．（2）若选择①充分不必要条件，则，因为，故，不等式无解，故，若选择②必要不充分条件，则，所以，解得，所以实数a的取值范围为．若选择③充要条件，则A＝B，由题意，故．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）1．设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求解，再根据充分与必要条件的定义判断即可.【详解】，因为是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B2．设集合，若集合，，则的充要条件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先根据集合的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，可得，因为，所以，解得，反之亦成立，所以的充要条件是．故选：A．3．已知､是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件与必要条件的定义、一元二次不等式的解法以及集合并集的运算进行分析求解即可．【详解】解：①当时，若，则，此时，,所以；当，时，此时，，所以，故“”是“”的充分条件；②当时，若，此时，当，此时，不满足题意，当时，，符合题意，此时；若，此时，当时，，不符合题意；当时，，满足题意，此时，故“”是“”的必要条件．综上所述，“”是“”的充要条件．故选：C4．已知a、b、c为的三边长，集合，．(1)若，求；(2)求的充要条件．【答案】(1)(2)的充要条件是【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；（2）由集合的交集运算，结合判别式得出，再由，得出.【详解】（1）由，得，，从而（2）当时，，，且存在，使得，．于是，又a、b、c为的三边长，得．从而的充要条件是②③，并注意到，得．④将④代入③，得⑤即由②③消去得到⑤．而⑤满足①，因此的充要条件是．5．已知集合.（1）求的取值范围，使它成为的充要条件；（2）求.【答案】（1）；（2）答案见解析；【分析】（1）首先求出，由，得到且，解得即可；（2）对参数分类讨论，分别求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：（1）因为所以或，因为所以且，解得，所以当取值范围是区间时，就是的充要条件；（2）①当时，，所以②当时，，所以③当时，，所以④当时，，所以【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，以及交集的结果求参数的取值范围，考查分类讨论思想，属于中档题.（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）6．已知集合，，.(1)求，；(2)定义，求A-B，B-A.(3)写出“”的充要条件(要求有详细的推理过程).【答案】(1)，.(2)，(3)见详解【分析】（1）先化简集合A、B，然