运筹学 第2版 习题及答案 第八章习题答案

第八章典型的排队模型分析一、排队模型1.某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6分钟。①判断排队系统模型，画出系统的状态转移速度图；②理发店空闲的概率、店内有三个顾客的概率、店内至少有一个顾客的概率；③在店内顾客平均数、在店内平均逗留时间；④等待服务的顾客平均数、平均等待服务时间。012K-2KK+1…..…..解:①依题意,该问题是一个012K-2KK+1…..…..②理发店空闲的概率：。店内有三个顾客的概率：。店内至少有一个顾客的概率：。③店内顾客平均数：。在店内的平均逗留时间：（小时）。④等待服务的顾客平均数：。平均等待服务时间：（小时）。3.某加油站有一台油泵。来加油的汽车按泊松流到达，平均每小时二十辆，但当加油站已有n辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿意等待而离去，离去概率为n／4（n=0,1,2,3,4）。油泵给一辆汽车加油所需要的时间为均值3分钟的负指数分布。①画出排队系统的状态转移速度图；②导出其平衡方程式；③求出系统的运行参数。解：根据题意，顾客按泊松流到达，＝20辆／小时，服务时间服从负指数分布，＝20辆／小时。一个服务台，系统容量为N=4，离去的概率为n／4。状态转移速度图及状态转移速度矩阵：0123401234即：，，，。由于，。③系统运行参数：。。()（辆/小时），或者。。。5.有一台电话的公用电话亭打电话顾客服从个／小时的泊松分布，平均每人打电话为3分钟，服从负指数分布。试求①到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率；②顾客从达到时算起到打完电话离开超过10分钟的概率；③管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时，将安装第二台电话，问当值为多大时安装第二台？解：依题意，该系统是M/M/1等待制排队系统，个／min，个／min。①若排队等待时间超过10min,则队长至少为4，系统中应至少有5个顾客。出现这种情况的概率＝②若逗留时间超过10min,则队长至少为4，系统中起码有4个顾客。出现这种情况的概率＝，（）则个／min时，需要安装第二台电话。9.某汽车修理部有4个修理工，每个修理工可以单独修理汽车，也可以和其他修理工合作共同修理汽车。前来修理部寻求修理的汽车按泊松流到达，平均每天到达2辆。当修理部内有4辆汽车时，后来的汽车将离去。修理一辆汽车所需时间服从负指数分布，若一个修理工修理一辆汽车，则平均需3天；若两个修理工修理1辆汽车，则平均需2天；若3或4个修理工修理一辆汽车，则平均需1.5天。试求：①画出系统状态转移图；②求系统状态概率；③求系统损失率；④求系统中平均的汽车数量；⑤求每辆汽车在系统中逗留的时间。解：依题意，因为修理工可以相互合作也可以单独工作，可以把他们看成最多有4个服务台的一个修理小组，所以该系统为M/M/4/4/∞/FCFS损失制排队系统。辆／天，修理部的修理速度是一个变化的参数，具体如下：；；；。（1）状态转移速度图：001234（2）系统状态概率：；；；。由可得，；。（3）系统损失率。（4）系统中平均的汽车数量。（5）每辆汽车在系统中逗留的时间首先，。因此，每辆汽车在系统中的逗留时间。补充题：某厂医务室有2名同等医疗水平的大夫。已知患病者按泊松流来医务室求诊，平均每小时到达15人；诊病时间平均每人6min，且服从负指数分布；医务室最多能容纳6位病人，若已有6位病人，后来的病人会到别处就诊，问：（1）医务室空闲的概率；（2）在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人各为多少？（3）每位病人平均在医务室等待的时间是多少？解：依题意，该系统为M/M/2/6/∞/FCFS混合制排队系统。人／小时，人／小时，系统容量为6个人，超过则到别处就诊。（1）医务室空闲的概率：（2）排队等待就诊的病人：逗留的病人：（3）二、排队系统优化3.某厂有一机修组专门修理某种类型的设备。已知该设备的损坏率服从泊松流，平均每天2台。修复时间服从负指数分布，平均每台修理时间为。但是一个与机修人员多少及维修设备机械化程度（即与修理组织年开支费用）等有关的函数。已知：（元）；又已知设备损坏后，每台每天的停产损失为400元，试决定该厂修理最经济的值及值。（提示：以一个月为期进行计算）[解]题意分析。这是等待制排队系统，到达率=2台/天，服务率。每台机子在系统中的逗留时间天，因此，逗留费用为。结合修理组织每月开支费用为，目标函数是最小化一个月（周期为30天）的总费用。首先，画出系统状态转移速度图如下。0012……图10系统状态转移速度图对于等待制排队系统，可以计算出，船只平均逗留时间：。有效到达率，。（由得出）令一阶导数得，，即。（注，二阶导数大于零）4.设一套卸货设备，每次只能给一条船卸货，每周到达船数是服从参数为的泊松分布，卸货时间服从参数为的负指数分布。设卸货费用与卸货速度成正比，其值为，船艇在码头上的费用与时间成正比，其值为，和均为常数，求使费用最小的卸货速度。[解]题意分析。需求（船只）到达率为（只/周）。设卸货速度为（周/只），则服务率为（只/周）。卸货费用为。船只逗留时间，则每一艘船逗留费用为。码头上只有一套卸货设备。因此，这是一个单服务台的等待制排队模型。对于一周时间，船只的有效到达率，因此，模型目标是最小化总费用：。首先，画出系统状态转