热点7-4 抛物线及其应用（6题型+满分技巧+限时检测）（教师版）

热点7-4抛物线及其应用抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。【题型1抛物线的定义及概念辨析】满分技巧1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).【例1】（2023·广东广州·高三天河中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（）A．B．C．2D．1【答案】B【解析】由题意得，，抛物线中，所以，所以所求距离为.故选：B【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】如图所示，由于动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，于是动点P在直线的右边，且动点P到直线的距离大于2，因此动点P到直线的距离等于它到点的距离，进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线．故选：D【变式1-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则直线的斜率为（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】过作准线的垂线，垂足为，作轴的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得，由，在中由正弦定理可知：，设的倾斜角为，则，故选:A．【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】设直线与轴交点为，由抛物线的对称性，易知为直角三角形，且，，即，去绝对值，解得或，所以抛物线的准线方程为或.故选：C.【变式1-4】（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（）A．12B．6C．D．【答案】D【解析】由题知，抛物线的焦点F为，准线l为，如图所示.由题知，因为，所以，则.因为，所以，由抛物线的定义知，所以是正三角形，所以，则.故选：D【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．【例2】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（）A．7B．6C．5D．4【答案】A【解析】由是抛物线的焦点，得，即，故，其准线方程为，当时，有，即，故点在抛物线上方，由抛物线定义可知，点到焦点的距离等于其到准线的距离，则.故选：A.【变式2-1】（2023·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（）A．2B．C．3D．【答案】A【解析】如图所示：由知，抛物线焦点，由，化为，即为以为圆心，1为半径的圆，又，得，恒过定点，过点作垂直于抛物线的准线：交于点，连接，则，当三点共线时，最小,此时为3，所以的最小值为：，故选：A.【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为．【答案】【解析】由得，所以直线过点．连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．【变式2-3】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】圆：，圆心坐标，半径为1，抛物线：的焦点为，准线方程，如图所示，点到直线的距离比点到准线的距离大2，即，的最小值为，当三点共线时的最小值为，所以.故选：C.【变式2-4】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，所以.当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.故选：A【题型3抛物线标准方程的求解】满分技巧1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2、待定系数法（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．【例3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，连接，设准线与轴交点为抛物线的焦点为，准线：又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，所以，所以在中，，则，所以抛物线的方程为.故选：C.【变式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】设为，则，又由，所以，因为，所以，可得，由，联立方程组，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程为或．故选：A．【变式3-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为.【答案】【解析】设，因为，所以，所以，又因为，所以，因为都在第一象限，所以，又因为且，所以，所以，所以抛物线方程为.【变式3-3】（2023·天津河东·高三校考阶段练习）点M为抛物线上点，抛物线焦点为F，过M作y轴垂线交y轴于N点，若是以为底边的等腰三角形，且，则抛物线方程为.【答案】【解析】因为是以为底边的等腰三角形，且，所以，设点M到抛物线准线的距离为，则由抛物线的定义知，，即：，且，所以，解得：，所以抛物线的方程为.【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）若点A，B在抛物线上，O是坐标原点，正三角形OAB的面积为，则该抛物线的方程是．【答案】【解析】根据对称性，可知轴，由于正三角形OAB的面积是，故，故，正的高为，故可设点A的坐标为，代入抛物线方程得，解得，故所求抛物线的方程为．【题型4抛物线的中点弦问题】满分技巧设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为，代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得：【例4】（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（）A．B．4C．D．【答案】A【解析】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.故选：A【变式4-1】（2022·北京·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为．【答案】【解析】依题意，设，若，则直线，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为，显然不符合题意，故，因为A，B是抛物线上的两点，所以，两式相减得，，整理得，因为线段AB的中点为，所以，即，又，所以，所以直线AB的方程为，即.【变式4-2】（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为.【答案】2【解析】设，代入抛物线，得，则①，因为两点A，B关于点对称，则，所以由①得，直线AB的斜率为2.则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.所以直线AB的斜率为2.【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是.【答案】【解析】设，中点，则.，过定点，.又，（1），（2）得：，.

于是，即.又弦中点轨迹在已知抛物线内，联立故弦的中点轨迹方程是【变式4-4】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）点在抛物线上，由抛物线定义可得，解得，故抛物线的标准方程为．（2）设，如下图所示：则，两式相减可得，即，又线段的中点为，可得；则，故直线的斜率为4，所以直线的方程为，即直线的方程为．【题型5抛物线的弦长问题】满分技巧1、一般弦长：设为抛物线的弦，，，（为直线的斜率，且）.2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，根据抛物线的定义有，，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；（1）以为直径的圆必与准线相切.（2）(焦点弦长与中点关系)（3）.（4）若直线的倾斜角为，则.（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.（6）为定值.【例5】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的公共点从右到左依次为点、、，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示：易知抛物线的焦点为，设直线l的方程为，因为直线与抛物线相切，联立，可得，则，因为，解得，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，故选：C.【变式5-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】由四边形为菱形，如下图示，，，由抛物线性质知：，则，故，又，故，所以.公式，证明如下：令直线（斜率存在）为，代入，则，整理得，若，而，若直线倾斜角为（不为直角），则，所以.故选：B【变式5-2】（2022·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为.【答案】8【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，设的方程为，，则由得，，，又，所以，即，，所以．【变式5-3】（2022·四川内江·统考模拟预测）已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.（1）若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．【答案】（1）或；（2）【解析】（1）依题意，联立，消去，得：，即：，①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件；②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点，则方程只有一个解，所以，解得：；综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点．（2）由于抛物线：的焦点的坐标为，所以过点且斜率为的直线方程为：，设，，联立，消去，得：，则由韦达定理得：，，所以，所以.【变式5-4】（2023·湖南邵阳·高三邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线的准线方程是.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线相交于，两点，若，求实数k的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）如图，设，.将代入，消去整理得.当时，，.，化简得：，解得，经检验，此时，故.【题型6直线与抛物线综合应用】满分技巧求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．【例6】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．（1）求抛物线的标准方程．（2）已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为．由抛物线的定义，得，解得，当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为．（2）设，由题意可知，的斜率存在且均不为0，设直线的方程为，将其代入，得，则有．同理可得：设直线的方程为，则．所以，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，又易知，所以的取值范围为．【变式6-1】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．（1）求抛物线C的方程：（2）当面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为准线方程为，所以，解得，抛物线C的方程为．（2）设，，则，对求导可得，故过M的切线方程为，即，故，故MP：，同理可得NP：，因为两切线均经过，所以，均在直线上，可知MN：，当得，，解得，则MN与y轴的交点坐标为．联立，整理得，由韦达定理，，，则，又因为在圆，则，代入可得，，因为，所以，．构造，，，易知在上恒成立，故在上单调递增，当时，取得最小值，此时取到最大值，点P的坐标为．【变式6-2】（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4.（1）求的方程；（2）抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为、，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意知，设点的坐标为，则直线的斜率为．因为直线的斜率为，所以，即，所以的面积，解得或（舍去），故抛物线的方程为．（2）依题意直线的斜率存在且不为，设直线的斜率为，点，，．则直线的方程为，由消去整理得，由，所以且，，是方程的两个根，，，依题意，直线的斜率为，同理可得，，，所以直线的斜率为定值．【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的准线经过点．（1）求抛物线C的方程．（2）设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，两个定点的坐标分别为和.【解析】（1）依题意知,,解得,所以抛物线的方程为.（2）存在,理由如下.设直线的方程为.联立直线与抛物线的方程得消去并整理，得.易知,则由直线的方程,可得,由直线的方程,可得.设以为直径的圆上任一点,则,所以以为直径的圆的方程为.令,得.将代入上式，得，解得.故存在以为直径的圆经过轴上的两个定点，两个定点的坐标分别为和.【变式6-4】（2023·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线于点M，N，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）过点D作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义得，，解得，所以抛物线C的方程为．（2）证明：直线l：，令得，所以点，因为直线平行于直线l：，且过点，所以直线：，设直线：，联立，得，所以，设点，，由韦达定理可得，，所以直线PB的方程为，直线QB的方程为，联立解得，同理可得，所以，因为，所以，即A是线段MN的中点．所以．（建议用时：60分钟）1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，为坐标原点，则（）A．B．C．4D．5【答案】B【解析】设，由得，又，得，所以，.故选：B2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线相交于A，B两点，点A为x轴上方一点，过点A作垂直于C的准线于点D．若，则p的值为（）A．B．1C．D．2【答案】B【解析】如图所示：根据题意，得点的横坐标为．由抛物线的性质，得．又因为，所以，所以是等边三角形．而，则，所以，解得．故选：B．3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示：因为，设，则，当时，取得最小值，此时，最大，最小，且，故选：C4．（2023·全国·模拟预测）设为抛物线的焦点，点为上第四象限的点．若直线的方程为，则（）A．6B．4C．3D．2【答案】C【解析】由题意可知，，则，所以，．将代入，得，解得，，则，．因为点为上第四象限的点，所以．根据抛物线的定义可知，．故选：C．5．（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设AB的中点为H，抛物线的焦点为，准线为，设A、B、H在准线上的射影分别为，则，由抛物线的定义可知，，所以，得,即点H的横坐标为2，设直线AB：，代入抛物线方程，得，由，得且.设，则，解得或（舍去）.所以直线AB：，，所以AB的中垂线方程为，令，解得，即，则，又，所以，所以.故选：C.6．（2023·全国·模拟预测）已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由抛物线的性质，得，所以，则.设，则，所以，所以，解得，所以直线的斜率.故选:B.7．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（）A．B．C．3D．【答案】C【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，，则，两式相减得，整理得，因为MN的中点为，则，所以，即直线l的斜率为3．故选：C．8．（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）设抛物线C:的焦点为F，准线为.点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（）A．B．以线段为直径的圆必与准线相切C．线段的长为定值D．线段的中点E到准线的距离为定值【答案】AD【解析】依题意，抛物线的焦点，方程为，则，A正确；令，显然，即，取，则，即点，此时，以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径，因此该圆与准线不相切，B错误；以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，，此时，C错误；线段的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为，D正确.故选：AD9．（2023·广东佛山·高三校考阶段练习）（多选）直线与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（）A．抛物线的准线方程为B．拋物线的焦点为C．若为原点，则D．若，则【答案】BC【解析】由，则其焦点为，准线方程为A错，B对；联立直线与拋物线得，设，则，而，由，即，故C对，显然直线不过焦点，由拋物线定义有，所以D错.故选：BC10．（2023上·山东·高三校联考开学考试）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（）A．B．当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为C．D．【答案】ACD【解析】如下图所示：对于A选项：由题意焦点的坐标以及准线方程分别为，所以焦点到准线的距离为，因此A选项符合题意；对于B选项：由题意设点的坐标为，又由A选项分析可知，抛物线方程为，所以线段的中点坐标为，将其代入抛物线方程得，解得，此时点的坐标为，因此B选项不符合题意；对于C选项：由题意设点的坐标为，切线的方程为，将其代入抛物线方程得，整理得，所以，因为，所以解得，所以切线的斜率为，又因为点的坐标为，，所以直线的斜率为，所以，所以，因此C选项符合题意；对于D选项：由C选项分析可知，又