数学（新高考Ⅰ卷01）（参考答案）

2025年高考押题预测卷高三数学（新高考Ⅰ卷01）·参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CADBBCAB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABDADBCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．12 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）(1)；(2)4【解析】（1），由正弦定理得，又，所以，即，因为，所以，故，即，又，所以；（6分）（2）由（1）知，，又CD为的平分线，故，其中，由三角形面积公式得，，又，显然，即，解得.（13分）16．（15分）(1)证明见解析；(2).【解析】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，则，且，从而四边形为平行四边形.则，又平面PAB，平面PAB，则平面PAB；（6分）（2）如图取AD中点为O，连接OP，OB.因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，则.因，，则四边形为平行四边形，则，，结合，则，，结合，则为等边三角形，得.又，，则，故.又，平面ADCB，则.（9分）故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系.则，因E为PD的中点，则.从而，，.（11分）设平面PBC法向量为，则，取，设直线CE与平面PBC的夹角为，则，从而.（15分）17．（15分）(1)有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联；(2)分布列见解析，数学期望为【解析】（1）经计算得.（4分）所以有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联.（5分）（2）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人的所有可能取值是的所有可能取值为0，1，2，（6分），，，的分布列为：（12分）012所以的期望为：.（15分）18．（17分）(1)(2)或，其中.(3)存在，3【解析】（1）解：由题意，可得点在椭圆上，且椭圆的离心率，所以，解得，所以椭圆的方程为.（4分）（2）解：设点，因为点在椭圆上，所以，即.同理，设点，则，且，又因为直线过原点，所以关于原点对称，所以点，所以，可得，（6分）联立方程组，整理得，解得或，用代替上述坐标中的，可得或，其中.（9分）（3）解：由（1）知，左焦点，当直线斜率为零时，不妨设，，则，，可得，，存在，使成立；当直线的斜率不为零时，设直线方程为，且，，联立方程组，整理得，（11分）可得，所以，，则，，因为，，所以，所以，又因为，所以当时，最小，最小值为3，综上，存在，使恒成立，此时的最小值为3.（17分）19．（17分）(1)；(2)证明过程见解析(3)【解析】（1）取，，此时，，故函数是的“函数”，“点”为；（4分）（2）为的“函数”，其“点”组成集合，故，设，函数为的“函数”，其“点”组成集合，故，设，显然对任意，成立，①成立，充分性，若，不妨设，此时，②成立，故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立；（7分）必要性，若函数为的‘函数’，则存在，使得，由于对任意，成立，故，故，所以，充分性成立；故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”；（10分）（3）定义域为R，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，又，取，，满足且，为的“函数”，此时，当时，取，故当为在处的切线方程时，才满足要求，，故切线