第二章 §2.1　函数的概念及其表示（教师版）

第二章函数§2.1函数的概念及其表示【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势考点1直接求函数值2024·全国新Ⅰ卷、2024·上海卷、2023·北京卷2021·全国甲卷、2021·浙江卷会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法，理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值考点2函数的定义域与值域2022·北京卷【知识梳理】1.函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.【名师点拨】1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几种特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.【随堂训练】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f(x)＝eq\r(x－3)＋eq\r(2－x)是一个函数.()(2)函数就是定义域到值域的对应关系.()(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.()(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×【解析】(1)错误.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,2－x≥0))无解，可知其说法错误.(2)错误.根据函数的概念可知其错误.(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.2.以下图形中,不是函数图象的是()【答案】A【解析】根据函数的定义,对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存在一个自变量对应两个函数值,所以A不是函数图象.3.(多选)下列选项中,表示的不是同一个函数的是()A.y＝x＋33−x与B.y＝x2与y＝(x－1)2C.y＝x2与y＝D.y＝1与y＝x0【答案】BCD【解析】对于A选项,y＝x＋33−x的定义域是[－3,3),y＝x对于B选项,两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数；对于C选项,y＝x2＝|x对于D选项,y＝1的定义域是R,y＝x0的定义域是{x|x≠0},两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.4.已知函数f(x)＝x2,x≤1,log4x【答案】1【解析】因为f(－2)＝(－2)2＝4,所以f(f(－2))＝f(4)＝log44＝1.【易错提醒】防范四个易错点(1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化.(2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围.(3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围.(4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错.【必练核心题型】题型一函数的概念例1.(多选)下列选项中正确的是()A.函数f(x)＝1xB.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点C.函数y＝x2−1x＋1与函数D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同【答案】ABD【解析】对于A,由题意x＋1≠0,x≥0,对于B,由函数的定义知,函数图象至多与y轴有一个交点,B正确；对于C,函数y＝x2−1x＋1的定义域为(－∞,－1)∪(－1,＋∞),函数y＝对于D,函数中一个x值只能对应一个y值,如果y值不同,则x的值一定不同,D正确.例2.若函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(2x)的定义域为.

【答案】1【解析】若函数f(x)的定义域为(1,3),则在f(2x)中2x∈(1,3),解得x∈12【解题技巧】函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法(1)函数概念中有两个要求：①A,B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应.(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数.【变式训练】变式1.函数f(x)＝1x−2＋ln(x－1)的定义域为A.(1,＋∞) B.(1,2)∪(2,＋∞)C.(－∞,1) D.(0,2)∪(2,＋∞)【答案】B【解析】因为f(x)＝1x−2＋ln(所以要使函数有意义,则x解得x>1且x≠2,所以f(x)的定义域为(1,2)∪(2,＋∞).变式2.(多选)下列命题中是假命题的是()A.函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线B.f(x)＝x−3C.若函数f(x)的定义域为(－1,2),则函数f(x＋1)的定义域为(0,3)D.f(x)＝x＋1x和g(t)＝t＋1【答案】ABC【解析】对于A,因为函数y＝2x(x∈N)的定义域为N,所以其图象是由离散的点(整点,横坐标和纵坐标都是整数)组成的,A错误；对于B,因为要使2−x与x−3有意义,则2−x≥0,x−3≥0,不等式组无解,所以由函数的定义可得对于C,由f(x)的定义域为(－1,2)可得－1<x＋1<2,即－2<x<1,故f(x＋1)的定义域为(－2,1),C错误；对于D,两函数的定义域都是(－∞,0)∪(0,＋∞),且对应关系相同,故这两个函数是同一个函数,D正确.题型二函数的解析式例2.已知f(1－sinx)＝cos2x,求f(x)的解析式；(2)已知f

x2＋1x2＝x4＋(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式；(4)若对任意实数x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式.解析(1)(换元法)设1－sinx＝t,t∈[0,2],则sinx＝1－t,∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x,∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).(2)(配凑法)f

x2＋1x2又x2＋1x2≥2当且仅当x2＝1x2,设t＝x2＋1x2,则t≥2,∴f(t)＝t2∴f(x)＝x2－2(x≥2).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数,可设f(x)＝ax＋b(a≠0),∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17,即ax＋(5a＋b)＝2x＋17,∴a＝2,5∴f(x)＝2x＋7(x∈R).(4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2,①∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2,②由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6,∴f(x)＝3x－2(x∈R).【解题技巧】函数解析式的求法(1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.【变式训练】变式1.(多选)下列命题中正确的有()A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞)C.若f

x−1x＝x3－1x3,则函数f(x)的解析式为fD.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f

1x＝3x,则f(x)＝2x【答案】BCD【解析】对于A,设f(x)＝kx＋b,则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b,因为f(f(x))＝4x＋3,所以k解得k＝2,b故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3,A错误；对于B,令t＝3x,则x＝log3t(t>0),则f(t)＝(log3t)2＋4log故函数的定义域为(0,＋∞),B正确；对于C,fx−1x＝x且x－1x的取值范围是R所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x,C正确；对于D,由f(x)＋2f

1x＝3得f

1x＋2f(x联立解得f(x)＝2x－x题型三分段函数例1.(多选)已知函数f(x)＝x2,−2≤x<1,−A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(－∞,4]C.若f(x)＝2,则x的值是－2D.f(x)<1的解集为(－1,1)【答案】BC【解析】函数f(x)＝x2当－2≤x<1时,f(x)＝x2,值域为[0,4],当x≥1时,f(x)＝－x＋2,值域为(－∞,1],故f(x)的值域为(－∞,4],故B正确；当x≥1时,令f(x)＝－x＋2＝2,无解,当－2≤x<1时,令f(x)＝x2＝2,解得x＝－2,当－2≤x<1时,令f(x)＝x2<1,解得x∈(－1,1),当x≥1时,令f(x)＝－x＋2<1,解得x∈(1,＋∞),故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1,＋∞),故D错误.例2.定义max{a,b}＝a,a≥b,b,b>a,设函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,记函数F(x)＝max{f(x),g(x)},且函数FA.1 B.32 C.74【答案】D【解析】令f(x)≥g(x),即x＋1≥(x＋1)2,解得－1≤x≤0；令f(x)<g(x),即x＋1<(x＋1)2,解得x<－1或x>0,所以F(x)＝max{f(x),g(x)}＝(F(x)的图象如图所示,又F(0)＝F(－2)＝1,F(－1)＝0,要使函数F(x)在区间[m,n]内的值域为[0,1],当n＝0时,－2≤m≤－1；当m＝－2时,－1≤n≤0,则当n＝0,m＝－2时,n－m取得最大值2.【解题技巧】分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.【变式训练】变式1.已知函数f(x)＝2则“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当f(x)＝2时,若x≤0,则有2－x＝2,解得x＝－1；若x>0,则有lnx＝2,解得x＝e2.即由f(x)＝2可得x＝－1或x＝e2,不一定能推出x＝－1,故“f(x)＝2”不是“x＝－1”成立的充分条件；反之,当x＝－1时,代入解析式可得f(－1)＝2,即“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要条件,综上,“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要不充分条件.变式2.(多选)(2024·朝阳模拟)函数D(x)＝1,x∈QA.D(D(2))＝D(D(2))B.D(x)的值域与函数f(x)＝x＋C.D(x)≠D(－x)D.对任意实数x,都有D(x＋1)＝D(x)【答案】ABD【解析】对于A,根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))＝D(1)＝1,D(D(2))＝D(0)＝1,所以A正确；对于B,易知D(x)的值域为{0,1},函数f(x)＝x＋x2当x∈(－∞,0)时,f(x)＝x＋x2x＝0；当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝x＋x2对于C,若x∈Q,则－x∈Q,则D(x)＝D(－x)＝1,若x∈∁RQ,则－x∈∁RQ,则D(x)＝D