第二章 §2.3　函数的奇偶性（学生版）

第二章函数§2.3函数的奇偶性【考情分析·探规律】考点三年考情（2021-2024）命题趋势函数的奇偶性及其应用2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全国甲卷2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，能综合运用函数的奇偶性解决相关问题.【知识梳理】函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【随堂训练】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)＝0.()(2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.()(3)对于函数y＝f(x),若f(－2)＝－f(2),则函数y＝f(x)是奇函数.()(4)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)·g(x)是奇函数.()2.下列函数中是偶函数的是()A.y＝2x B.y＝cosxC.y＝lnx D.y＝sinx3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是()A.f(x)＋f(－x)＝0B.f(0)＝0C.f(x)·f(－x)≤0D.f(4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝2x＋b,则f(－1)＝.

【名师点拨】1.理解函数奇偶性的常用结论(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2.灵活应用奇函数的两个特殊性质(1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0.(2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c.3.谨防两个易误点(1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0.(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件.【必练核心题型】题型一函数奇偶性的判断命题点1常见函数奇偶性的判断例1.(多选)下列函数是奇函数的是()A.f(x)＝tanx B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝ex−e−x2 D.命题点2抽象函数奇偶性的判断例2.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有()A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数命题点3构造函数的奇偶性例3.已知函数f(x)＝x＋ln(x2＋1－x)－5(x∈[－2026,2026])的最大值为M,最小值为m,则M＋m＝【变式训练】变式1.(多选)(2025·郑州模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝1,f(x＋y)＝f(A.f(0)＝0B.f(－x)＝－f(x)C.f(x)的定义域为RD.f(x＋2)＝－1变式2.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2,则函数f(x)＋2为函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

题型二函数的奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求值(解析式)例1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(－∞,0]时,f(x)＝x2－ex＋1,则当x∈(0,＋∞)时,f(x)等于()A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1例2.若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数,则实数m＝.

命题点2利用奇偶性解不等式例1.设函数f(x)＝ln(x2＋1)－1x,则满足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范围为【变式训练】变式1.(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln2x−1A.－1 B.0 C.12 变式2.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)＝2x－18,则f(A.(－3,0)∪(0,3)B.(－3,3)C.(－∞,－3)∪(0,3)D.(－∞,－3)∪(3,＋∞)变式3.(2025·泰州模拟)已知函数f(x)＝eaxsinx1＋eA.－1 B.0 C.12 变式4.已知函数f(x)＝x＋asinx＋2,且f(m)＝5,则f(－m)等于()A.－5 B.－3 C.－1 D.3变式5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R,y＝f(x)＋ex是偶函数,y＝f(x)－3ex是奇函数,则f(ln3)的值为()A.73 B.3 C.103 变式6.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)满足()A.f(0)＝0B