第二章 必刷题2 基本初等函数（教师版）

必刷小题2基本初等函数(分值：73分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.若9a=5，log34=b，则32a+b等于()A.10 B.20 C.50 D.100【答案】B【解析】因为9a=32a=5，又因为log34=b，可得3b=4，所以32a+b=32a×3b=5×4=20.2.已知幂函数f(x)满足f(6)f(2)=4，则A.2 B.14 C.-14【答案】B【解析】依题意，设f(x)=xα，则f(6)f(2)=6α所以f13=13α=13.若指数函数f(x)经过点(2，4)，则它的反函数g(x)的解析式为()A.g(x)=log2x B.g(x)=log0.5xC.g(x)=2x D.g(x)=x2【答案】A【解析】设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，点(2，4)在f(x)的图象上，所以4=a2，解得a=2.所以f(x)=2x，故反函数g(x)=log2x.4.当a>1时，f(x)=a|x-2|+5的图象恒过点()A.(2，5) B.(3，5) C.(2，6) D.(3，6)【答案】C【解析】对于函数f(x)=a|x-2|+5，令|x-2|=0，解得x=2，则f(2)=a0+5=6，所以f(x)=a|x-2|+5的图象恒过点(2，6).5.函数f(x)=ax-2+loga(x-1)(a>0，且a≠1)在[2，3]上的最大值与最小值之和为a，则a等于()A.4 B.14 C.2 D.【答案】D【解析】函数f(x)在[2，3]上是单调函数，所以f(2)+f(3)=a，即a2-2+loga(2-1)+a3-2+loga(3-1)=a，则loga2=-1，解得a=126.(2025·南通模拟)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T=2πGM·a32，其中MA.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍【答案】B【解析】设火星的公转周期为T1，长半轴长为a1，水星的公转周期为T2，长半轴长为a2，则T1=8T2，且T得T1T2=所以a1a2=4，即a1=47.若a=log0.30.4，b=log30.4，则下列不等关系正确的是()A.ab<a+b<0 B.a+b<ab<0C.ab<0<a+b D.a+b<0<ab【答案】A【解析】因为a=log0.30.4>log0.31=0，b=log30.4<log31=0，所以ab<0.又a+bab=1a+1b=log0.40.3+log0.43=log0.40.9∈(0，1)，所以0<a+bab8.已知定义在R上的函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞，1]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是()A.[1，2] B.[-1，1]C.[0，1] D.[1，3]【答案】A【解析】二次函数f(x)=x2-2tx+1=(x-t)2-t2+1的对称轴为直线x=t，所以f(x)在(-∞，t]上单调递减，在(t，+∞)上单调递增，又已知f(x)在(-∞，1]上单调递减，所以(-∞，1]⊆(-∞，t]，可得t≥1.因为函数f(x)在[0，t]上单调递减，在(t，t+1]上单调递增，又t-0≥1，t+1-t=1，由对称性可知f(0)≥f(t+1)，所以当x=0时，f(x)取得最大值，即最大值为f(0)=1，当x=t时f(x)取得最小值，即最小值为f(t)=-t2+1，要使对任意的x1，x2∈[0，t+1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤2，只要f(x)max-f(x)min≤2成立即可，所以f(x)max-f(x)min=1-(-t2+1)≤2，解得-2≤t≤2，又t≥1，所以1≤t≤2，即t的取值范围为[1，2].二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.下列计算正确的是()A.log35·log53=1B.(16x8y4)14=2xC.log35=log3D.2713+log32·log【答案】ACD【解析】对于A，log35·log53=log35·1log35对于B，由于x<0，y<0，故(16x8y4)14=2x2(-y)对于C，log35=log3125=2log35=log3对于D，2713+log32·log29=3+ln2ln3·ln9ln2=3+2ln3ln310.若logab<0，则函数f(x)=ax+b与g(x)=logb(a-x)在同一坐标系内的大致图象可能是()【答案】BC【解析】因为logab<0=loga1，所以当0<a<1时，得b>1，所以y=ax在定义域内单调递减，且f(x)=ax+b>b，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于b>1，函数g(x)=logb(a-x)的定义域为(-∞，a)，且由函数μ(x)=a-x，g(μ)=logbμ复合而成，由复合函数的单调性可知g(x)=logb(a-x)在定义域内单调递减，且当x趋近于a时，g(x)趋近于负无穷，故B正确，D错误；当a>1时，得0<b<1，所以y=ax在定义域内单调递增，且f(x)=ax+b>b，当x趋近于负无穷时，f(x)趋近于b<1，此时g(x)=logb(a-x)在(-∞，a)上单调递增，且当x趋近于a时，g(x)趋近于正无穷，故C正确，A错误.11.已知函数f(x)=lnx+ln(2-x)，则下列选项正确的是()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.f(x)存在最大值D.f(x)的图象关于直线x=1对称【答案】CD【解析】由题意得x>0且2-x>0，则0<x<2，即f(x)的定义域为(0，2)，f(x)=lnx+ln(2-x)=ln[x(2-x)]=ln(2x-x2)，令t=2x-x2，x∈(0，2)，则y=lnt，t∈(0，1]，二次函数t=2x-x2的图象开口向下，对称轴为直线x=1，从而f(x)的图象关于直线x=1对称，故D正确；∵t=2x-x2在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，又y=lnt在(0，1]上单调递增，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A，B错误；∵x∈(0，2)，当x=1时，t=2x-x2有最大值1，∴f(x)有最大值为0，故C正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.函数f(x)=lg(8-4x)+log2x+1【答案】1【解析】要使函数f(x)有意义，则8−4x>0，log2x+1≥0，x>0⇒x<3213.已知幂函数y=(m2-m+1)xm+1的图象关于y轴对称，则m=.

【答案】1【解析】由于函数是幂函数，所以m2-m+1=1，解得m=0或m=1.当m=0时，y=x，是奇函数，图象不关于y轴对称；当m=1时，y=x2，是偶函数，图象关于y轴对称，符合题意，所以m的值为1.14.(2024·吉林模拟)已知函数f(x)=x3+2x-2-x，若实数a，b满足f(a2)+f(b2-1)=0，且a>0，则a1+b2的最大值为【答案】1【解析】函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=(-x)3+2-x-2x=-x3+2