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第5章

三角函数5.4.2正余弦函数的性质第二课时

单调性与最值【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如

讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.

这也就是说，正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

一.正弦函数的单调性正弦函数在每一个闭区间

上都单调递增，其值从-1增大到1；

在每一个闭区间

上都单调递减，其值从1减小到-1.

由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：一.正弦函数的单调性余弦函数在每一个闭区间

上都单调递增，其值从-1增大到1；

在每一个闭区间

上都单调递减，其值从1减小到-1.

同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：

二.余弦函数的单调性【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：①正弦函数当且仅当

时取得最大值1，

当且仅当

时取得最小值-1；

②余弦函数当且仅当

时取得最大值1，

当且仅当

时取得最小值-1；

【拓展】①正弦、余弦函数图像上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.②正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.③正弦函数和余弦函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形.三.正余弦函数的最值RR[-1，1][-1，1]最小正周期为2π最小正周期为2π奇函数偶函数

【正弦函数和余弦函数的性质对比】

三.正余弦函数的最值

解

（1）解四.利用单调性比较大小

（2）解

四.利用单调性比较大小能否借助单位圆直观的比较上述两队函数值的大小吗？

五.求正弦函数、余弦函数的单调区间

解求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asin

z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此.

五.求正弦函数、余弦函数的单调区间

解

解

k∈Z

解析

RR[-1，1][-1，1]最小正周期为2π最小正周期为2π奇函数偶函数

【正弦函数和余弦函数的性质对比】课堂小结作业课本P207的练习的1-5题.练习（第207页）正

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