2025-2026学年广东广州桥城中学九年级(上)期中考数学试题含答案

初中2025学年第一学期初三级数学科中段测试（问卷）本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间120分钟．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案直接填在下面的表格中．）1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根3.抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（）A.（1，﹣3） B.（1，3） C.（﹣1，3） D.（﹣1，﹣3）4.如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（）A. B.C. D.到、的距离相等5.用配方法解一元二次方程，下列配方正确是（）A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（）A. B.C. D.7.如图，将中，，将其绕点顺时针方向旋转到的位置，使得在同一条直线上，那么旋转角的度数为（）A. B. C. D.8.如图，半径为，弦的长为，P是弦上一动点，则线段长的最小值为（）A.10 B. C.5 D.9.我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（）A. B.C. D.10.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（）A. B.抛物线的对称轴是直线C. D.点和在抛物线上，则二、填空题（本大题共6小题，每个空3分，满分18分．将答案直接填在题中的横线上）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为___________．12.雪花缓缓飘落，为大地披上了一层白纱，如图所示的雪花图案是一个中心对称图形，将该图案绕着它的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度为______________．13.已知关于x一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____．14.如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________．15.已知m，n是方程的两个根，则代数式的值为______．16.已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为__________．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解方程：．18.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为．（1）画出关于原点对称的；（2）画出绕点顺时针旋转后的；19.已知二次函数．（1）在直角坐标系内描出该抛物线的图象；……

…………

……（2）该抛物线与轴的交点坐标为_________，与轴的交点坐标为_________；（3）根据图象，直接写出当时，自变量取范围为____________．20.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：二次函数y=x2+ax+a-2的图象与x轴有两个交点．21.如图，是的直径，是的中点，过点作于点，交于点．已知．（1）求半径；（2）求证：；22.某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：（1）请直接写出与的关系式_____；（2）当销售单价为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？23.【发现问题】掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．【提出问题】实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？【分析问题】明明利用先进鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表：水平距离0245689竖直高度23.23.63.53.221.1根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．【解决问题】（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，实心球在空中的最大高度是米；（2）求满足条件的抛物线的解析式；（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．24.如图1，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．（1）求证：；（2）若时，求的长；（3）如图2，在四边形中，，，，若，求的长．25.如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2025学年第一学期初三级数学科中段测试（问卷）本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分，考试时间120分钟．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案直接填在下面的表格中．）1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的定义∶一个图形若绕某一点旋转后仍然和原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形．也考查了轴对称图形的定义．根据中心对称图形和轴对称图形的定义分别进行判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．故选：B．2.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】A【解析】【分析】根据即可判断．【详解】解：，，，，一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．3.抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（）A.（1，﹣3） B.（1，3） C.（﹣1，3） D.（﹣1，﹣3）【答案】C【解析】【分析】根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线y＝2（x＋1）2＋3的顶点坐标是（﹣1，3）．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．4.如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（）A. B.C. D.到、的距离相等【答案】A【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．【详解】在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，∵，AO=DO=BO=CO∴（SSS）可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；而由题意不能推出，故A项结论错误．故选：A【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．5.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将方程常数项移动右边，两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并．【详解】解：x2-2x=5，x2-2x+1=5+1，即（x-1）2=6，故选：D．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．6.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为：．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．7.如图，将中，，将其绕点顺时针方向旋转到的位置，使得在同一条直线上，那么旋转角的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得到即可解答．【详解】解：∵在中，，在同一条直线上，∴，故选．【点睛】本题考查了平角的定义，旋转性质、三角形外角的性质，找到旋转角并掌握三角形外角的性质是解题的关键．8.如图，的半径为，弦的长为，P是弦上一动点，则线段长的最小值为（）A.10 B. C.5 D.【答案】D【解析】【分析】过O点作于H，连接，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后根据垂线段最短求解．【详解】解：过O点作于H，连接，如图，∴，在中，，∴线段长的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂线段最短．9.我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】增长后的量增长前的量（增长率），如果游客人数的年平均增长率为，根据2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，即可得出方程．【详解】解：设游客人数的年平均增长率为，则2017的游客人数为：，2018的游客人数为：，那么可得方程：，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，属于增长率问题，理解题意，找到题目中的等量关系是解题的关键．10.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（）A. B.抛物线的对称轴是直线C. D.点和在抛物线上，则【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握好各项系数对图象的影响、对称轴的求法、特殊点的函数值、距离比较法是解题关键．观察抛物线交轴正半轴，，可判断，由，两点，可得对称轴为直线，可判断，当时，，可判断由)离对称轴的水平距离比)离对称轴的水平距离小，结合图象开口向下，可判断．【详解】解：由图象可知抛物线交轴正半轴，，错误，不符合题意；的图象与轴交于，两点，对称轴为直线，错误，不符合题意；由图知，表示的点在与之间，，错误，不符合题意；抛物线开口向下，，，离对称轴的水平距离比离对称轴的水平距离小，，正确，符合题意；故选：．二、填空题（本大题共6小题，每个空3分，满分18分．将答案直接填在题中的横线上）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，即两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标均互为相反数．【详解】解：点关于原点对称时，横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数，故对称点坐标为，故答案为：．12.雪花缓缓飘落，为大地披上了一层白纱，如图所示的雪花图案是一个中心对称图形，将该图案绕着它的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度为______________．【答案】【解析】【分析】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为，即可解决问题．【详解】解：“雪花图案”可以看成正六边形，∵正六边形的中心角为，∴这个图案至少旋转能与原雪花图案重合．故答案为：．13.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：∵有实数根，∴，∴．故答案为：．14.如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________．【答案】【解析】【分析】连接，根据中，，，得到，根据，得到，根据旋转得到，，，，得到为等边三角形，得到，得到，推出为等边三角形，得到．本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定．【详解】解：连接，如图，∵在中，，，，∴，∴，∵绕点C按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，∴，，∴为等边三角形，∴，∴，∴为等边三角形，∴，即点与点B之间的距离为．故答案为：．15.已知m，n是方程的两个根，则代数式的值为______．【答案】0【解析】【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数关系，利用整体代入的思想求解．【详解】解：∵m，n是方程的两个根，∴，，∴，∴．故答案：0．16.已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为__________．【答案】4或【解析】【分析】由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解答案．【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，在，函数有最小值，∵的最小值为，∴，∴；当时，在，当时，函数有最小值，∴，解得；综上所述：的值为4或．故答案为：4或．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解方程：．【答案】【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，将方程化为标准形式，再根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：或解得

18.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为．（1）画出关于原点对称的；（2）画出绕点顺时针旋转后的；【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查旋转作图，中心对称作图，解题的关键是作出对应点的位置．（1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可．【小问1详解】解：所作如图所示：【小问2详解】解：所作如图所示：19.已知二次函数．（1）在直角坐标系内描出该抛物线的图象；……

…………

……（2）该抛物线与轴的交点坐标为_________，与轴的交点坐标为_________；（3）根据图象，直接写出当时，自变量取范围为____________．【答案】（1）见解析（2），与；（3）【解析】【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知识．利用数形结合的思想是解题关键．（1）列表，画出图象即可；（2）令中，求出函数图象与y轴交点坐标，令，求出x的值，即得出该二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）结合图象即可解答．【小问1详解】解：列表，……0123…………03430……画图：【小问2详解】解：令中，得；令，则，得或，∴抛物线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为与；【小问3详解】由图象可得，当时，自变量x的取值范围是．20.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：二次函数y=x2+ax+a-2的图象与x轴有两个交点．【答案】（1），另一个根为；（2）见解析【解析】【分析】（1）把x=1代入方程x2+ax+a-2=0中，即可求得a的值；把a的值代入方程x2+ax+a-2=0中，解方程即可；（2）计算判别式，根据判别式即可证明结果．【详解】（1）把x=1代入方程x2+ax+a-2=0中，得：1+a+a-2=0解得：把的值代入方程x2+ax+a-2=0中，得方程解方程得：即方程的另一个根为；（2）令y=0，即x2+ax+a–2=0∵∴方程x2+ax+a–2=0总有两个不相等的实数根∴二次函数y=x2+ax+a-2的图象与x轴有两个交点．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式，熟练掌握这些知识是解决本题的关键．21.如图，是的直径，是的中点，过点作于点，交于点．已知．（1）求的半径；（2）求证：；【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】本题考查了垂径定理及推论、勾股定理、弧、弦的关系，关键是熟练应用知识点解题；（1）设半径为，在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求解；（2）根据弦、弧的关系可证．【小问1详解】解：设半径为，∵，是的直径，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】证明：∵是的中点，∴，∵，是的直径，∴，∴，∴，∴，∴．22.某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：（1）请直接写出与的关系式_____；（2）当销售单价为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？（3）如果物价部门规定这种绿茶销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？【答案】（1）（2）当时，有最大值，最大值为3200．（3）售单价应为60元【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．（1）根据销售利润每千克的利润销售量列出函数解析式即可；（2）用配方法化简函数式求出最大值即可．（3）令时，求出的解，再根据题意解答即可．【小问1详解】解：，与的关系式为：，故答案为：；【小问2详解】解：，即，抛物线开口向下，∵，当时，有最大值，最大值为3200．【小问3详解】解：令，则，解得，依题意，，故不符合题意，舍去，所以销售单价应为60元．23.【发现问题】掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．【提出问题】实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？【分析问题】明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表：水平距离0245689竖直高度23.23.63.53.221.1根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．【解决问题】（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，实心球在空中的最大高度是米；（2）求满足条件的抛物线的解析式；（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．【答案】（1）2，3.6（2）（3）明明在此次考试中能得到满分，见解析【解析】【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．（1）根据图表即可求解；（2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式；（3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．【小问1详解】解：由题意可知出手时实心球竖直高度即为时y的值，通过图表可得当时，，得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米，由当时，；当时，，可得对称轴为直线，则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，，得实心球在空中的最大高度是3.6米，故答案为：2，3.6；【小问2详解】解：设抛物线的解析式为，由（1）得抛物线的顶点坐标为，则，得抛物线的解析式为，把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；【小问3详解】解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下：把代入，得，解得或（不符合题意，舍去），∵，∴明明在此次考试中能得到满分．24.如图1，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．（1）求证：；（2）若时，求的长；（3）如图2，在四边形中，，，，若，求的长．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）利用旋转的性质推出，进而得到，结合全等三角形判定定理即可证明；（2）连接，利用勾股定理求出，进而求出，利用全等三角形性质推出，，结合勾股定理求出，在中，再次结合勾股定理建立等式求解，即可解题；（3）将绕点顺时针旋转得到，连接．由（1）同理可证，结合全等三角形性质，等腰直角三角形性质，在中，利用勾股定理建立等式求解，即可解题．【小问1详解】证明：由旋转的性质可知，，，，，；【小问2详解】解：连接，在中，，，，，，，，，，，即；【小问3详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接由（1）同理可证，，，，，，，，，．25.如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P（，）；；（3）存在；点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．【解析】【分析】（1）根据点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，利用待定系数法代入抛物线解方程组即可；（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，利用