2024学年九年级上学期期中考数学试题含答案

初中初中保密★启用前2024学年（上）期中考试初三年级数学科试卷（问卷）(考试用时120分钟满分120分)本试卷共4页，25小题，不能使用计算器，用2B铅笔画图，所有答案都要写在答卷上，答在问卷上的答案无效。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．3．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（

）A． B． C． D．4．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦AB的长为（

）（第4题图）A．4cm B． C． D．如图，把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍．若设小圆形场地的半径为xm，那么列方程正确的是（

）A． B． C． D．（第5题图）6．如图，在∆ABC中，，将∆ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在BC边上，且，则的度数为（

）A． B． C． D．7．飞机着陆后滑行的距离关于滑行时间t（s）的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（

）A．B．C.D．8．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆半径的倍，为了使航船S不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角必须（）A．大于 B．小于 C．大于 D．小于（第6题图）（第8题图）（第10题图）9．在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，点是圆劣弧上的一个动点（不与点A，重合），且满足，是∆ABC内一点，，，，点在劣弧上运动的过程中，，则的值满足（

）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分；）11．如图，圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是．12．抛物线如图所示，则关于的方程的解是．（第11题图）（第12题图）（第14题图）（第15题图）13．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，则的半径可以为（写出一个即可）．14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是2，则它的外接圆圆心的坐标是．15．如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为．16．在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．（1）如图①，线段MA'的长＝．（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是．（第16题图）三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解方程：；18．如图，在平面直角坐标系中，点，B4,0，．(1)以点为旋转中心，把∆ABC逆时针旋转，画出旋转后的；(2)在（1）的条件下，求线段扫过的图形面积.19．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)设的两个实数根为，若，求出的最小值；20．如图，是的直径，四边形内接于，分别连接、，相交于E，．(1)求证：；(2)若，，求的长．21．世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．销售单价为x元．(1)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？(2)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？22．如图，已知抛物线与轴交于点A和点，与轴交于点．(1)求点A，，的坐标；(2)根据图象直接回答：当取何值时，；(3)连接、，若点在抛物线上，且，求点的坐标．23．如图，在△ABC中，，点O在上，以为半径的交于点D．(1)尺规作图，补全图形：作的垂直平分线交于点E，交于点F，连接；(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；(3)若，，，求线段的长．24．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点．若抛物线解析式为．(1)当抛物线也经过点时，求m和n的值；(2)说明直线与抛物线总有两个交点；(3)在（1）的条件下，抛物线与x轴的另一交点为B，与y轴交于点C，连接，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，与，y轴分别交于点E，F，记∆DBE，∆CEF的面积分别为，，求的最大值．25．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．(1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；(2)如图2，是的弦，作，OC⊥OB分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦；(3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长．

2024学年（上）期中考试九年级度数学科试卷（参考答案）一、单选题1．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．2．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，即可得解．根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键．【详解】解：∵抛物线，∴该抛物线的顶点坐标是．故选：A．3．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可．【详解】解：，移项得，配方得，即，故选：D．4．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦AB的长为（

）A．4cmB．C．D．【答案】C【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答．【详解】解：连接，由题意得：，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴．∴截面圆中弦AB的长为．故选：C．5．如图，把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍．若设小圆形场地的半径为，那么列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，关键是利用圆的面积公式得出方程即可求解．先设小圆的半径为,则大圆的半径为；接下来根据面积关系可得．【详解】解：设小圆的半径为,则大圆的半径为,根据题意可得，故选：C．6．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在BC边上，且，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，图形的旋转性质，熟练应用旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系是解题的关键．根据图形旋转的性质可得，，再由，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得，再根据三角形内角和即可得出结论．【详解】将绕点A按逆时针方向旋转得到，，，，，，，，，故选：C．7．7．飞机着陆后滑行的距离关于滑行时间t（s）的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（

）A．B．C.D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，将二次函数化成顶点式并结合实际意义确定函数图象成为解题的关键．先将关系式化为顶点式确定抛物线的对称轴和最值，再结合实际意义即可解答．【详解】解：∵，∴函数图像是对称轴为，最值为600，开口方向向下的抛物线，∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行就回停止，∴C选项符合题意．故选C．8．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆半径的倍，为了使航船S不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角必须（）A．大于 B．小于 C．大于 D．小于【答案】D【分析】本题考查了勾股定理逆定理，圆周角定理，三角形外角的性质，掌握圆周角定理是关键；设圆心为O，交圆于点D，连接，则得是等腰直角三角形，，由圆周角定理得，由三角形外角的性质得，则可和答案．【详解】解：设圆心为O，交圆于点D，连接，如图；∵，∴，∴是等腰直角三角形，且；由圆周角定理得；∵，∴，故选：D．9．在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟知函数与系数的关系，一次函数、二次函数的性质是解题的关键．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故不符合题意；B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项符合题意；C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项符合题意；D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项不符合题意．故选：B．10．如图，点是圆劣弧上的一个动点（不与点，重合），且满足，是△ABC内一点，，，，点在劣弧上运动的过程中，，则的值满足（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】延长到点，使得，过点作于点，先求出，根据等边三角形的判定和性质可得，，推得，根据圆内接四边形的性质可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定的和性质可得，推得；根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据勾股定理可得出，结合题意可得；将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作延长线交于点，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据勾股定理的逆定理可得，求得，根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，，即可求解．【详解】解：如图：延长到点，使得，过点作于点，∵，∴，则，∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∵、、、四点共圆，∴，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，即，∴，∴，即，∵，∴，故，则，在中，，，即，整理得：，∵，∴，∴，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作延长线交于点，如图：则，，，∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，，∴，即是直角三角形，∴，∴，∴，∴，，∴，则，∵，∴．故选：B．二、填空题11．如图，圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是．【答案】【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆锥的侧面积，根据勾股定理先求解，再结合侧面积公式：，（为底面圆半径，为弧长），从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∴圆锥侧面积：，故答案为：12．抛物线如图所示，则关于的方程的解是．【答案】，【分析】本题主要查了二次函数与一元二次方程的关系．观察图象得：抛物线与x轴的交点坐标为，即可求解．【详解】解：观察图象得：抛物线与x轴的交点坐标为，∴关于的方程的解是，．故答案为：，13．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，则的半径可以为（写出一个即可）．【答案】1（答案不唯一，小于5大于0即可）【分析】本题考查解一元二次方程，直线与圆的位置关系，因式分解法求出方程的根，根据圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，求解即可．【详解】解：，解得：，∵的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，∴的圆心到直线的距离为，∵与直线相离，∴的半径小于5，∴的半径可以为1；故答案为：1（答案不唯一）14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是2，则它的外接圆圆心的坐标是．【答案】.【分析】过点P作PF⊥OA，垂足为F，计算PF，OF的长度即可.【详解】如图，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵正六边形的边长是2，∴OA=2，∠OPA=60°，∴OP=2，∠OPF=30°，∴OF=1，PF=，∴点P的坐标为（1，），故答案为：（1，）.15．如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为．【答案】【分析】作交于点，由切线的性质可知，，进而可证得四边形是矩形，于是有，，因而可得，由切线长定理可得，，于是可得，在中，根据勾股定理即可求出关于的函数表达式．【详解】解：如图，作交于点，，分别是的两条切线，，，又，，四边形是矩形，，，，，与相切于点，，，则，在中，根据勾股定理可得：，即：，整理，得：，即：，关于的函数表达式为，故答案为：．16．在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．（1）如图①，线段MA'的长＝．（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是．【答案】1；【详解】思路引领：（Ⅰ）由中点的定义和旋转的性质可求解；（Ⅱ）当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．答案详解：（Ⅰ）∵M是AD边的中点，∴MA＝1，∵线段MA绕点M旋转得线段MA'．∴MA'＝1，故答案为：1；（Ⅱ）如图②，作ME⊥CD于点E．∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴∠EDM＝60°，在直角△MDE中，DE＝12MD1，ME，则EC＝CD+ED＝2，在直角△CEM中，MC，当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：1，故答案为1．三、解答题17．解方程：；【答案】【分析】本题考查了解一元二次方程；根据配方法可得，进而直接开平方即可求解；【详解】（1）解：∴即................1分∴...................2分∴................4分18．如图，在平面直角坐标系中，点，B4,0，．(1)以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；(2)在（1）的条件下，求线段扫过的图形面积；【答案】(1)作图见解析(2)；【分析】本题考查作图—旋转变换，扇形的面积公式，（1）根据旋转的性质作出点、绕点逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得；（2）①根据扇形面积公式列式计算即可；解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点．【详解】（1）解：如图所示：（图1分；结论1分）（2）①∵，，.........3分∴线段扫过的图形面积为：，......4分故答案为：；19．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)设的两个实数根为，若，求出最小值；【答案】(1)见解析(2)-5【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，．（1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解；（2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解．【详解】（1）解：，...............1分，，.....................................2分，无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．...............3分（2）解：的两个实数根为，，，...................................4分=m+22∴y最小值为-5...................................6分20．如图，是的直径，四边形内接于，分别连接、，相交于E，．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等，解题的关键是综合运用上述知识点．（1）根据垂径定理的推论可得，，由三角形中位线定理即可判定；（2）由垂径定理可得，再用勾股定理解求出，最后根据中位线定理可得的长．【详解】（1）证明：，是半径，......................1分，，又，是的中位线，...............2分，；.................................3分解：，，，，在中，，，..........................4分解得，..................................5分∵是的中位线，．.......................6分世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．销售单价为x元．(1)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？(2)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【答案】(1)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元(2)将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用：（1）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，然后解方程后利用的范围确定销售单价；（2）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时最大，从而计算出时对应的的值即可．【详解】（1）解：根据题意得，....................1分整理得，解得，，............................................2分∵44≤x≤52............................................3分∴x=50............................................4分答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（2）解：由题意得，............................................5分，............................................6分∵，∴当时，随的增大而增大，∵，∴当时，有最大值，最大值为，....7分答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大最大利润是2640元..8分22．如图，已知抛物线与轴交于点A和点，与轴交于点．(1)求点A，，的坐标；(2)根据图象直接回答：当取何值时，；(3)连接、，若点在抛物线上，且，求点的坐标．【答案】(1)，，(2)或(3)或【分析】（1）令，则，解一元二次方程，即可求出抛物线与轴的交点坐标；令，求函数值，即可求出抛物线与轴的交点坐标；（2）由函数图象及其与轴的交点坐标即可直接得出答案；（3）设点的坐标为，则根据可得，于是分两种情况讨论：当时；当时；分别解一元二次方程，即可求得点的坐标．【详解】（1）解：令，则，解得：，，............................................1分点在点左侧，，，............................................2分令，则，，............................................3分点，，的坐标分别为，，；（2）解：由函数图象及其与轴的交点坐标可知：当或时，；...................................5分（3）解：设点的坐标为，，，，，，，............................................6分，，即：，整理，得：，...........................................7分当时，整理，得：，，该方程无实数根；............................................8分当时，整理，得：，解得：，，............................................9分此时点的坐标为或；............................................10分综上，点的坐标为或．23．如图，在△ABC中，，点O在上，以为半径的交于点D．(1)尺规作图，补全图形：作的垂直平分线交于点E，交于点F，连接；(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；(3)若，，，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)直线与相切，理由见解析(3)【分析】（1）根据题意作图即可；连接，由等边对等角得到，由垂直平分线的性质得到，从而，证得直线与相切；连接，设，根据勾股定理有即可列出方程，求解即可．【详解】（1）解：所求图形，如图所示．(图1分，结论1分)（2）解：直线与相切，理由如下：连接，∵，∴，......3分∵是的垂直平分线，∴，∴，..................4分∵，∴，..........5分∴，∴，.......................6分∵是半径，∴直线与相切；（3）连接，∵，，∴，，设，则，，∵，∴在中，，在中，，∴，即，.........9分解得，即....................10分24．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点．若抛物线解析式为．(1)当抛物线也经过点时，求m和n的值；(2)说明直线与抛物线总有两个交点；(3)在（1）的条件下，抛物线与x轴的另一交点为B，与y轴交于点C，连接，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，与，y轴分别交于点E，F，记三角形，的面积分别为，，求的最大值．【答案】(1)，(2)见解析(3)【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、抛物线与直线的交点问题、待定系数法求解抛物线解析式等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．（1）根据直线和抛物线都经过，然后分别代入直线l和抛物线解析式求解即可即可；（2）联立：，可得到一元二次方程：，根据，可得一元二次方程有两个不相等的根，进而完成解答；（3）先求出，，根据题意设D点坐标为：，且，，利用待定系数法求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，则有F点坐标为：，即有，，联立：，可得，结合图形可知E点在第一象限，可得，根据，可得，进而有，再求出，即可求得，最后根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，∴，即，............................................1分∴，，∵抛物线也经过点，............................................2分∴，解得：，∴．............................................3分（2）解：在（1）中已求得：，，联立：，............................................4分∴得到一元二次方程：，..........................................5分∵，............................................6分∴一元二次方程有两个不相等的根，∴直线与抛物线有两个交点．............................................7分（3）解：如图：∵，，∴，令，解得：或，∴B点坐标为：，令，则，∴C点坐标为：，即，根据题意设D点坐标为：，∵D点在第一象限，∴，，设直线的解析式为：，∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为：，............................................8分∵，，同理可得：直线的解析式为：，............................................9分当时，．∴F点坐标为：，即有，∴，联立：，解得，∴E点坐标为：，............................................10分结合图形可知E点在第一象限，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，.......................................