人教A版必修第二册高一（下）数学8.4.1 平面【课件】

1.平面:几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的,平面是向四周无限延展

的.2.画法:我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面,如图①②.在画两个相交平面时,为增

强立体感,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,如图③④.

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面1|平面知识点必备知识清单破3.表示(1)用希腊字母表示:如平面α、平面β、平面γ等;(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点表示或者相对的两个顶点的大写英文字母表示:如

平面ABCD,平面AC.2|点、线、面之间的关系知识点数学符号文字语言图形语言A∈l点A在直线l上

A∉l点A在直线l外

A∈α点A在平面α内

A∉α点A在平面α外

l⊂α直线l在平面α内

l⊄α直线l在平面α外

数学符号文字语言图形语言l∩m=A直线l,m相交于点A

α∩β=l平面α,β相交于直线l

注意

点与直线、点与平面是元素与集合的关系,用“∈”或“∉”表示;直线与平面是集合与集合的关系,用“⊂”或“⊄”表示.续表1.三个基本事实3|平面的基本性质知识点

文字语言图形语言符号语言应用基本事实1过不在一条直线

上的三个点,有

且只有一个平面

A,B,C三点不共

线⇒存在唯一的

平面α使A,B,C∈

α(1)确定平面;(2)证明点、线

共面问题;(3)判定两个平

面重合

文字语言图形语言符号语言应用基本事实2如果一条直线上

的两个点在一个

平面内,那么这

条直线在这个平

面内

A∈l,B∈l,且A

∈α,B∈α⇒l⊂α(1)判定直线在

平面内;(2)判定点在平

面内基本事实3如果两个不重合

的平面有一个公

共点,那么它们

有且只有一条过

该点的公共直线

P∈α,且P∈β⇒α

∩β=l,且P∈l(1)判定两平面

相交;(2)证明点共线

问题;(3)证明线共点

问题续表

文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条

直线外一点,有且只

有一个平面

A∉l⇒有且只有一个

平面α,使A∈α,l⊂α推论2经过两条相交直线,

有且只有一个平面

a∩b=P⇒有且只有一

个平面α,使a⊂α,b⊂α推论3经过两条平行直线,

有且只有一个平面

a∥b⇒有且只有一个

平面α,使a⊂α,b⊂α2.三个推论

1.“8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚”,这个说法对吗?2.经过空间中三个点可以作出几个平面?3.空间中两两相交的三条直线可以确定几个平面?4.平面α与平面β相交于直线l,若点P是平面α和平面β的公共点,则点P与直线l的位置关系确定吗?知识辨析

1.不对.平面无厚薄、无大小,是无限延展的.2.一个或无数个.当三个点共线时可以作出无数个平面;当三个点不共线时只能作出一个平面.3.一个或三个.当两两相交的三条直线不交于一点时,能确定一个平面,当三条直线交于一点时,可以确定一个或三个平面.4.确定.点P在直线l上,即P∈l.一语破的|证明共面、点共线、线共点问题定点关键能力定点破1.文字语言、符号语言和图形语言的转换解决立体几何问题首先应过好文字语言、符号语言和图形语言三大语言关,即实现这三

种语言的相互转换,正确理解符号语言所表示的几何图形是关键.2.点、线共面问题的证明点、线共面问题的证明依据是基本事实1、基本事实2及推论,解决此类问题一般有如下

方法:(1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内;(2)平面重合法:先由部分元素确定平面α,再由其他元素确定平面β,最后证明平面α,β重合,即

证得所有元素在同一个平面内;(3)反证法:假设不共面,结合题设推出矛盾.3.点共线问题的证明点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3.此类

问题的证明常用以下两种方法:(1)先找出两个平面,再证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知这些点都在这

两个平面的交线上;(2)先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在这条直线上.4.证明三线共点问题证明三线共点,可先确定待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过

该点.常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)

上,即三线共点.如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.

典例1证明

证法一(纳入平面法):∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1,l2,l3在同一平面内.证法二(平面重合法):∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2和l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内,∴平面α和平面β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且直线EH与直线FG

交于点O.求证:B,D,O三点共线.

典例2证明

∵E∈AB,H∈AD,∴E∈平面ABD,H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG=O,∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD,∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,即B,D,O三点共线.如图,已知平面α,β,且α∩β=l,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:直线AB,

CD,l相交于一点.

典例3证明

因为在梯形ABCD中,AD∥