人教A版必修第二册高一（下）数学8.6.1 直线与直线垂直【课件】

1.异面直线所成的角(1)定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,则异面直线a与

b所成的角就是直线a'与b'所成的角(或夹角).(实现了空间问题向平面问题的转化)8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直|空间两直线所成的角知识点必备知识清单破(2)范围:空间两条异面直线所成角α的取值范围为0°<α≤90°.如果两条异面直线所成的角是

直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b.2.空间两直线所成的角当两条直线a,b相互平行时,规定它们所成的角为0°,所以空间两条直线所成角α的取值范

围是0°≤α≤90°.

1.在平面内,两条相交直线所成角是如何定义的?2.异面直线a与b所成角的大小与点O的位置有关吗?通常点O取在什么位置?3.相互垂直的两条直线一定相交吗?4.如果一条直线与两条平行直线中的一条直线垂直,那么这条直线与另一条直线垂直吗?5.垂直于同一条直线的两条直线一定互相平行吗?知识辨析一语破的1.在平面内,两直线相交所成的锐角或直角叫做两相交直线所成的角.2.两条异面直线所成角的大小是由这两条异面直线的相对位置决定的,与点O的位置无关.为

了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端

点、中点等).3.不一定.有相交垂直和异面垂直两种情形.4.垂直.5.不一定.如在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥BB1,BC⊥BB1,但AB与BC相交.求异面直线所成角的一般步骤(1)作:恰当地选择一个点,用平移法构造异面直线所成的角(或其补角).常用的平移法主要有三种形式:①利用长方体中相对应的线段、平行四边形的对边的平行关系进行平移;②利用三角形、梯形中位线具有的平行关系进行平移;③补形平移,一般是补一个相同形状的几何体,以方便作平行直线,或者将几何体补成一个特

殊的几何体,如将三棱锥或四棱锥补成一个正方体(或长方体).此外,根据空间中角的直观图无法直接判断角是锐角、直角还是钝角,因此作出的角可

能是异面直线所成的角,也可能是其补角.(2)证:证明(1)中所作的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角.1|求异面直线所成的角定点关键能力定点破(3)计算:利用所成角所在三角形求解.如果是特殊三角形,如等边三角形或直角三角形,则利用

相应三角形的性质求角;如果不是特殊三角形,则求出三角形的边,利用余弦定理求出角的余

弦值,进而求出角.(4)结论:若求出的角是锐角或是直角,则它就是异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的

补角就是异面直线所成的角.如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF

所成角的大小.

典例

解析

解法一:如图所示,连接A1C1,B1D1,设A1C1∩B1D1=O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,

则OG∥B1D,EF∥A1C1,则∠GOA1(或其补角)即为异面直线DB1与EF所成的角.易知GA1=GC1,O为A1C1的中点,所以GO⊥A1C1,即∠GOA1=90°.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.

则HE∥DB1,且HE=

DB1,则∠HEF(或其补角)即为异面直线DB1与EF所成的角.设正方体的棱长为1,则EF=

,HE=

.取A1D1的中点I,连接HI,IF,则HI⊥IF,所以HF2=HI2+IF2=

,所以HF2=EF2+HE2,所以∠HEF=90°.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.解法二:如图所示,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,HF,

解法三:如图所示,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN,A1C1,则MN∥A1C1.因为E,F分别为A1B1,B1C1的中点,所以EF∥A1C1,所以MN∥EF.连接DM,B1N,B1M,DN,则B1N

DM,所以四边形DMB1N为平行四边形,所以MN与DB1必相交,设MN∩DB1=P,则∠DPM(或其补角)即为异面直线DB1与EF所成的角.设正方体的棱长为1,则MP=

,DM=

,DP=

,所以DM2=DP2+MP2,所以∠DPM=90°.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.解法四:如图所示,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接DQ,B1Q,A1C1,

因为A1B1

C1Q,所以四边形A1B1QC1为平行四边形,所以A1C1∥B1Q.因为E,F分别为A1B1,B1C1的中点,所以EF∥A1C1,所以B1Q∥EF,则∠DB1Q(或其补角)即为异面

直线DB1与EF所成的角.设正方体的棱长为1,则B1D=

,DQ=

,B1Q=

,所以B1D2+B1Q2=DQ2,所以∠DB1Q=90°.所以异面直线DB1与EF所成的角为90°.当题目中已知异面直线所成的角时,应先作出该角,再在三角形中利用这个角解决相关

问题,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角,也可能是其补角,必要时应分情况

讨论.2|异面直线所成角的应用定点如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,

则线段MN的长为

.

典例

或

a解析

取BC的中点E,连接EM,EN,

因为M为AB的中点,所以ME∥AC,且ME=

AC=

,同理,EN∥BD,且EN=