人教A版必修第二册高一（下）数学8.6.2 直线与平面垂直【课件】

一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,

记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公

共点P叫做垂足.如图.

8.6.2直线与平面垂直1|直线与平面垂直知识点必备知识清单破如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.如图,l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α.(线线垂直⇒线面垂直)

2|直线与平面垂直的判定定理知识点1.有关概念(1)斜线:一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线.(2)斜足:斜线和平面的交点叫做斜足.(3)射影:如图,过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做

斜线在这个平面上的射影.

3|直线与平面所成的角知识点2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.

(转化为两条相交直线所成的角)(2)规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°;一条直线和平面平行或在平面内,它们所

成的角是0°.设直线与平面所成的角为θ,则0°≤θ≤90°.垂直于同一个平面的两条直线平行.如图,a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(线面垂直⇒线线平行)

4|直线与平面垂直的性质定理知识点1.点到平面的距离过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条,该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平

面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.2.直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到

这个平面的距离.3.平面与平面之间的距离如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们

把它叫做这两个平行平面间的距离.5|空间距离知识点

1.若l⊥α,a为平面α内的任意一条直线,则l与a是否垂直?2.若a⊥b,b⊥α,则a与α什么关系?3.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条与该平面是什么关系?4.分别垂直于两个平行平面的两条直线是什么关系?5.与同一条直线垂直的两个平面是什么关系?6.一条斜线与两个平行平面所成的角是什么关系?7.如果两个平面平行,那么如何求这两个平面间的距离?知识辨析一语破的1.垂直.由直线和平面垂直的定义可知,直线和平面内的所有直线都垂直,这也是证明两条直

线垂直的一种方法.2.a∥α或a⊂α.3.垂直.4.平行.5.平行.过这条直线作平面与这两个平面相交,则交线平行,通过两个平面平行的判定定理可

得这两个平面平行.6.相等.7.将这两个平行平面间的距离转化为其中一个平面内的点到另一个平面的距离.1.证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用定义,即证明直线a与平面α内的任意一条直线都垂直,从而得到直线a⊥平面α(不易操

作).(2)利用判定定理,即证明直线与平面内的两条相交直线垂直.(3)利用平行线垂直平面的传递性质,即如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那

么另一条直线也垂直于这个平面(a∥b,b⊥α⇒a⊥α).(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面(a⊥α,α∥β

⇒a⊥β).1|线面垂直的判定定理和性质定理的应用定点关键能力定点破2.在利用线面垂直的判定定理时,需要证明直线垂直于平面内两条相交直线,证明线线垂直的

常见方法如下:(1)利用勾股定理的逆定理;(2)利用等腰三角形三线合一的性质;(3)利用菱形的对角线互相垂直;(4)利用线面垂直的定义,即a⊥α,b⊂α,则a⊥b;(5)利用平行转化,即a∥b,b⊥c,则a⊥c.3.线线垂直和线面垂直的相互转化如图所示,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,

SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB.

典例

证明

因为SA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.因为SA∩AB=A,SA,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG,AE⊂平面AEFG,所以SC⊥AE.又因为BC∩SC=C,BC,SC⊂平面SBC,所以AE⊥平面SBC.因为SB⊂平面SBC,所以AE⊥SB.解后反思

证明垂直关系时往往需要逆向思考,如要证明直线a垂直于平面α内的直线b,可以

考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β.在做证明垂直的题目时,可能需要反复的利用线面

垂直.求斜线与平面所成角的步骤(1)作角①作垂线:在斜线上任取非斜足的一点作平面的垂线(实际操作过程中,这一点的选取要有利

于求角);②作射影:连接垂足和斜足;③作平面角:斜线与它在平面上的射影所成的角即为所求.(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角,主要是证线面垂直.(3)计算:通常在垂线段、斜线和斜线的射影所构成的直角三角形中计算.2|求解线面角定点在矩形ABCD中,AB=1,AD=

,M为AD的中点,现分别沿BM,CM将△ABM和△DCM翻折,使点A,D重合,记为点P.(1)求证:BC⊥PM;(2)求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.

典例

解析

(1)证明:取BC的中点Q,连接PQ,MQ,由题意得,BP=CP=1,BM=CM,∴MQ⊥BC,PQ⊥BC,又MQ∩PQ=Q,MQ,PQ⊂平面PMQ,∴BC⊥平面PMQ,∵PM⊂平面PMQ,∴BC⊥PM.

∴PB2+PC2=BC2,∴PB⊥PC.∵四边形ABCD为矩形,∴PB⊥PM,(折线同一侧的垂直关系折叠前后不变,即PB与PM仍然垂直)∵PM∩PC=P,PM,PC⊂平面PMC,∴PB⊥平面PMC,∴∠BCP为直线BC与平面PMC所成的角,在Rt△BPC中,sin∠BCP=

=

=

,∴直线BC与平面PMC所成角的正弦值为

.(2)∵BP=CP=1,BC=AD=

,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离都相等;当平面与平面平行时,一个

平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等.直线与平面的距离和平面与平面的距离都可

以转化为点到平面的距离.求点到平面的距离的常用方法:(1)定义法:过点作平面的垂线段,当由点向平面作垂线不易操作时,可利用线面平行或面面平

行转化为直线或平面上其他点到平面的距离.(2)等体积法:即利用三棱锥的换底法,通过不同角度算得的体积相等得到点到平面的距离.3|求解空间距离定点如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F,G分别是BB1,CC1,DD1的中点,求:(1)A1D1到平面AEFD的距离;(2)点B1到平面AEC1G的距离.

典例

思路点拨

(1)转化为A1到平面AEFD的距离;(2)等体积法.解析

(1)因为A1D1∥AD,A1D1⊄平面AEFD,AD⊂平面AEFD,所以A1D1∥平面AEFD,所以A1D1到平面AEFD的距离即为点A1到平面AEFD的距离.作A1H⊥AE,垂足为H,连接A1E,如图所示,因为DA⊥平面ABB1A1,A1H⊂平面ABB1A1,所以DA⊥A1H,又DA∩AE=A,DA,AE⊂平面AEFD,

所以A1H⊥平面AEFD,即A1H的长度即为所求的距离.(在直线A1D1上选择过点A1作平面的垂

线段)易得S△A1AE=

a2=

AE·A1H,又AE=

,所以A1H=

a,即A1D1到平面AEFD的距离为

a.

(2)如图,连接EG,B1G,设点B1到平面AEC1G的距离为h,易得

=

a·

=

,则

=

S△EB1C1·C1D1=