人教A版必修第二册高一（下）数学9.2.3 总体集中趋势的估计 9.2.4 总体离散程度的估计【课件】

1.众数:一组数据中出现次数最多的数.2.中位数:把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在最中间位置的数(或最中间两

个数的平均数)叫做这组数据的中位数.3.平均数:如果有n个数x1,x2,…,xn,那么

=

(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数.9.2.3总体集中趋势的估计9.2.4总体离散程度的估计1|众数、中位数、平均数知识点必备知识清单破1.一组数据x1,x2,…,xn的方差和标准差假设一组数据为x1,x2,…,xn,这组数据的平均数为

,则称

(xi-

)2为这组数据的方差,也可以写成

-

的形式.对方差开平方,取它的算术平方根,即

,称之为这组数据的标准差.2.总体方差和总体标准差如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为

,则称S2=

(Yi-

)2为总体方差,S=

为总体标准差.如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频

数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=

fi(Yi-

)2.2|方差和标准差知识点3.样本方差和样本标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为

,则称s2=

为样本方差,s=

为样本标准差.4.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越

小,数据的离散程度越小.

1.中位数一定是样本数据中的某个数吗?2.一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的,对吗?3.极差能够明确地反映一组数据的离散程度,对吗?4.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据

在样本平均数周围越分散.对吗?知识辨析一语破的1.不一定.将一组数据按从大到小(或从小到大)的顺序排列后,如果有奇数个数据,那么处于最

中间位置的数是中位数;如果有偶数个数据,那么最中间两个数据的平均数是中位数.2.不对.一组数据的众数可能有一个,可能有多个,也可能没有;中位数与平均数都是唯一的.3.不对.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它只对数据中的极端值敏感,不能明确反映一

组数据的离散程度.4.不对.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散;标准差越小,表明各个样本

数据在样本平均数周围越集中.1.众数、中位数和平均数的比较(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数是样

本数据所占频率的等分线,不受极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反

映总体特征.(2)一般地,对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述,可以用平均

数、中位数;而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述,可以用

众数.1|用众数、中位数、平均数估计数据的集中趋势定点关键能力定点破众数最高小矩形所在的区间中点对应的数据为众数的估计值中位数在频率分布直方图中,中位数左边和右边的小矩形的面积和应相等,即样本数据所占的频率等分平均数用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替样本平均数2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数某公司员工年收入的频率分布直方图如图所示.

(1)估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)假设你到人才市场找工作,该公司招聘人员告诉你:“我们公司员工的年平均收入超过13典例万元.”你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工年收入的实

际情况?请根据(1)中的计算结果进行说明.解析

(1)由题中频率分布直方图可估计该公司员工年收入的众数为10万元.由于0.04×5=0.2<0.5,(0.04+0.1)×5=0.7>0.5,所以该公司员工年收入的中位数在[7.5,12.5)内,设中位数为a万元,则0.2+0.1×(a-7.5)=0.5,解得a=10.5,所以估计该公司员工年收入的中位数为10.5万元.估计该公司员工年收入的平均数为(0.04×5+0.1×10+0.02×15+0.01×20+0.01×25+0.008×30+0.

008×35+0.004×40)×5=13.15(万元).(2)招聘人员的描述不能客观反映该公司员工年收入的实际情况.(平均数容易受数据中极端

值的影响)由(1)知,有一半员工年收入不超过10.5万元,多数员工年收入是10万元,少数员工年收入很高,

在这种情况下,年收入的平均数就比其中位数大得多,所以用中位数或众数更能客观反映该

公司员工年收入的实际情况.1.研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等,可先求平均数,比较一下哪一个

更接近标准,若平均数相等,则再比较两个样本方差的大小,从而作出判断.2.分层随机抽样的方差设某样本可分为两层,样本量为n,其中两层的个体数分别为n1,n2,两层的平均数分别为

,

,方差分别为

,

,则这个样本的平均数

=

+

,方差s2=

[

+(

-

)2]+

[

+(

-

)2].3.方差计算公式的变形方差s2=

(xi-

)2=

[

+

+…+

-(2x1·

+2x2·

+…+2xn·

)+n

]=

(

+

+…+

-n

)=

即一组数据的方差等于该组各数据平方的平均数减去原数据的平均数的平方.2|用方差和标准差估计数据的离散程度定点4.平均数、方差公式的推广(1)若数据x1,x2,…,xn的平均数为

,则mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是m

+a.(2)若数据x1,x2,…,xn的方差为s2,则①数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也是s2;②数据ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.甲和乙射箭,两人比赛的分数结果如下:典例1甲868659乙6778104求甲、乙分数的平均数和方差,并说明甲和乙发挥的情况.解析

甲分数的平均数

=

×(8+6+8+6+5+9)=7,方差

=

×[(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2]=2,乙分数的平均数

=

=7,方差

=

×[(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(4-7)2]=

,所以

=

,

<

,故甲、乙分数的平均数相同,但甲比乙发挥更为稳定.某校高一年级的学生有500人,其中男生300人,女生200人.为了解该校高一年级学生

的体重情况,采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,计算得女生样本数据的平均

数为

=58,方差为

=16,男生样本数据的平均数为

=63,方差为

=21.(1)计算总样本数据的平均数

;(2)计算总样本数据的方差s2;(3)估计该校高一年级全体学生体重数据的平均数

和方差S2.典例2解析

(1)设总样本量为n,样本中女生和男生的人数分别为n1,n2.由题意得n1=

n,