内蒙古包头市稀土高新区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年内蒙古包头市稀土高新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.同时抛掷两枚完全相同的硬币，则两枚硬币都是正面朝上的概率是(

)A.18 B.14 C.132.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=2cm，b=3cm，c=4cm，则d的长是(

)A.1cm B.5cm C.6cm D.1.5cm3.一元二次方程4x2−3x+1=0的根的情况是A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.无法判断4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是(

)A.AB=BC

B.∠ABO=∠CBO

C.AC=BD

D.AO=CO5.在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同.随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程.小明共摸100次，其中20次摸到黑球.估计口袋中白球大约有(

)A.10个 B.15

个 C.12

个 D.18个6.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1.则点A的对应点A′的坐标为(

)A.(−2,−1)

B.(−4,−2)

C.(−1,−2)

D.(−2,−4)7.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE=53∘，则∠CEF的度数为(

)A.13∘

B.14∘

C.15∘8.如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为( )米.

A.117 B.127 C.13二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。9.若x2=y3≠0，则10.若一元二次方程x2+3x−5=0的两根为x1，x2，则(1+x11.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(阴影部分)，原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，正方形空地原来的边长为

m.

12.如图，在菱形ABCD中，AB=45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF.若BF=3，则EF的长为

.三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题10分)

解方程：

(1)(x−3)2=4(x−3)；14.(本小题8分)

2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生(用A，B表示)和八年级的两名学生(用C，D表示)获得优秀奖．

(1)从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是______.

(2)从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．15.(本小题10分)

小玉和小武学习完第四章《图形的相似》以后，根据所学知识利用阳光下的影子去测量我校附近一幢建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为30米，OA的影长OD为32米，若此时小武的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小武的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.16.(本小题12分)

已知：如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD所在的直线上，且DE=BF，连接AF、CF、AE、CE.

(1)猜想四边形AFCE的形状并证明；

(2)若AE=10，EF=16，EF平分∠AEC.

①求证：四边形AFCE是菱形；

②求四边形AFCE的面积.17.(本小题10分)

在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况.

(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；

(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件.通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？18.(本小题14分)

已知四边形ABCD中，E，F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G.

(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF；

(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF=ADCD；

(3)如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B=∠EGF时，第(2)问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由．

参考答案一、选择题：1.B

2.C

3.C

4.C

5.C

6.B

7.D

8.B

二、填空题：9.−7

10.3

11.10

12.85三、解答题：13.解：(1)移项，得：(x−3)2−4(x−3)=0，

因式分解，得：(x−3)[(x−3)−4]=0，

∴x−3=0或x−7=0，

解得：x1=3，x2=7；

(2)a=2，b=−5，c=1，

Δ=b2−4ac=(−5)2−4×2×1=17>0，

∴x=5±174，ABCDA(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，

所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为81215.解：∵AD//EG，

∴∠ADO=∠EGF，

∵∠AOD=∠EFG=90∘，

∴△AOD∽△EFG，

∴AOEF=ODFG，即AO1.8=322.4.

∴AO=24(米).

同理得△BOC∽△AOD，

∴BOAO=OCOD，即16.(1)解：四边形AFCE是平行四边形，

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=OC，BO=OD，

∵DE=BF，

∴BO+BF=OD+DE，

即FO=OE，

∴四边形AECF是平行四边形；

(2)①证明：∵EF平分∠AEC，

∴∠AEF=∠CEF，

由(1)知：四边形AECF是平行四边形，

∴AE//CF，

∴∠AEF=∠CFE，

∴∠CFE=∠CEF，

∴CF=CE，

∴平行四边形AFCE是菱形；

②解：∵平行四边形AFCE是菱形，

∴EF⊥AC，OE=OF=12EF=12×16=8，

∵AE=10，

∴OA=AE2−OE2=6，

∴AC=2OA=12，

∴四边形AFCE的面积=12×EF⋅AC=12×16×12=96.

17.解：(1)设月平均增长率为x，

由题意列一元二次方程得，5(1+x)2=7.2，

整理得，5x2+10x−2.2=0，

解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)，

答：月平均增长率为20%；

(2)设售价应降低y18.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=90∘，AD=DC，

∴∠ADE+∠AED=90∘，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90∘，

∴∠AED=∠CFD，

∴△ADE≌△DCF，

∴DE=CF；

(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90∘，

∵DE⊥C