山西省朔州市平鲁区部分学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年山西省朔州市平鲁区部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=(x+7)2−1的对称轴为直线A.x=−7 B.x=7 C.x=−1 D.x=12.2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，它的对称轴为直线x=1，则一元二次方程−x2A.x1=−1，x2=1

B.x1=1，x2=3

C.4.将抛物线y=−x2+1先向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为A.y=−(x+2)2+2 B.y=−(x−2)2

5.关于二次函数y=x2+8x，下列说法正确的是A.图象的顶点坐标为(−8,0) B.图象经过原点

C.函数的最大值为16 D.函数的最小值为06.如图，点A，D，B，C都在⊙O上，若∠ADC=48∘，则∠ABC的度数为(

)A.38∘

B.40∘

C.42∘7.太谷饼是山西特产美食，某地方美食专卖店购进了一批袋装太谷饼.据市场人员统计，第一周的销售量为100袋，第三周的销售量为121袋.若设每周销售量的平均增长率为x，则可列方程(

)A.100(1+x)2=121

B.100(1−x)2=1218.如图，将△ABC绕着旋转中心P旋转得到△A′B′C′，则旋转中心P的坐标为(

)A.(2,4) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,−1)9.将抛物线y=12−(x+7)2向右平移k(k>0)个单位长度，在平移的过程中抛物线与y轴的交点也会随之变化，设平移后的抛物线与y轴的交点为Q，则在抛物线平移的过程中，点Q的纵坐标的最大值为(

)A.12 B.14 C.16 D.1810.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△AA.(12153,0) B.(12159,0) C.(12156,3) D.(12152,3)二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若一元二次方程(x−1)2−m=0的一个根为x=2，则m=

12.在平面直角坐标系中，点A(3,−1)关于原点对称的点坐标是

.13.若抛物线y=x2−4x+4的顶点为A，与y轴交于点B，则点A，B之间的距离是

14.图1是某化学实验室的一个装有液体的圆底烧瓶，其底部球形的截面示意图如图2所示，液体水平宽度AB为8cm，竖直高度CD为2cm，则⊙O的半径为

cm.

15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得到△EDC，连接AE，BD，交点为F，连接AD，BE，若AD=25，BE=6，则线段AB

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

(1)解方程：x(x+7)=3(x+7).

(2)已知关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围17.(本小题7分)

图1和图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，且均有两个小正方形涂上了颜色.

(1)请你在图1中选择1个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形.

(2)请你在图2中选择3个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形.18.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠BAC.若∠BAC=70∘，求∠C的度数19.(本小题7分)

在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+3x+m经过点A(1,0)与点B(2,n).

(1)求m，n的值.

(2)若点C(a,−2)，D(b,−2)为该二次函数图象上的两个不同点(其中a，b为常数，a<b)，求△BCD20.(本小题8分)

项目学习

项目背景：为进一步推动全国范围内劳动教育的实施，提供一套翔实丰富的方案，以指导学校和教育机构开展劳动教育活动，我省某校数学老师围绕“用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒”让学生展开讨论，形成了如下活动报告：活动主题用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒驱动任务利用二次函数的最值设计侧面积最大的无盖纸盒活动内容根据题意列出有关纸盒高度的二次函数的关系式，利用性质确定侧面积最大的无盖纸盒的高.活动过程一、方案说明：图1是一张正方形硬纸板，然后在它的四个角上各剪方形，最后将剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒(如图2).

二、数据测量：测得图1中正方形纸板的边长为40cm，每个角上被剪掉的小正方形的边长为xcm，折成的无盖纸盒的侧面积为ycm2.交流展示请根据表中的数据写出无盖纸盒的侧面积y(单位：cm2)与小正方形的边长x(单位：cm)的函数关系式，并求出侧面积y21.(本小题9分)

阅读与思考

下面是小雨同学的数学学习笔记的部分内容，请认真阅读，并完成后面的任务.“k倍点”

【概念理解】

如果在抛物线上存在一点P，使它的纵坐标是横坐标的k倍，那么我们把这样的点P称为“k倍点”.例如，抛物线y=3x2的“3倍点”为(1,3)或(0,0).

【问题提出】

问题1：抛物线y=x2+x的“2倍点”(原点除外)的坐标为▲.

问题2：若抛物线y=(m−1)x2+mx+14m上有两个不同的“3倍点”，求m的取值范围.

【问题解答】

解：设该抛物线上的“3倍点”为(x,3x)，则有3x=(m−1)x任务：

(1)问题1中，“▲”处应填写______.

(2)补全问题2中剩余的解答过程.

(3)若抛物线y=k4x2+2x+k仅有一个“k22.(本小题13分)

综合与实践

【问题情境】

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点F.

【猜想证明】

(1)试判断FC与FE的数量关系，并说明理由.

【深入探究】

(2)在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题.

①“乐学小组”提出问题：如图2，连接BD，若∠ABC=30∘，∠CAE=40∘，求∠FDB的度数.

②“善思小组”提出问题：如图3，若CA=12，CB=16，∠CAE=∠B，求23.(本小题13分)

综合与探究

【问题情境】

乒乓球是学生十分喜爱的一项体育运动.某校乒乓球馆借助发球机进行辅助训练，发球位置在桌面中线端点A的正上方，且每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，均落在桌面中线上.

【数学建模】

在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x米，与桌面的高度为y米，以点A为原点，桌面中线为x轴，桌面中线的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.经多次测试后，得到如下部分数据.00.40.511.5−1.62…0.250.3780.40.450.40.3780.25…

【问题解决】

(1)当乒乓球落在桌面上时，与端点A的水平距离为多少米？

【研究表明】

(2)当乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a(x−3)2+k.

①求k与a的关系式；

②球网高度为0.14米，球桌长为2.8米，若球弹起后恰好有唯一的击球点，可将球沿着直线擦网经过点(1.4,0.14)扣杀到点A，请直接写出a的值.参考答案一、选择题：1.A

2.D

3.D

4.B

5.B

6.D

7.A

8.D

9.A

10.C

二、填空题：11.1

12.(−3,1)

13.214.5

15.13三、解答题：16.解：(1)x(x+7)=3(x+7)，

x(x+7)−3(x+7)=0，

(x+7)(x−3)=0，

则x+7=0或x−3=0，

所以x1=−7，x2=3；

(2)因为关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个不相等的实数根，

所以Δ=32−4×1×(−k)>0，

17.解：(1)图形如图1所示．

(2)图形如图2所示(答案不唯一).

18.解：∵∠BAC=70∘，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=12∠BAC=35∘.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90∘.

∴∠B=90∘−∠BAD=19.解：(1)将点A坐标代入y=−x2+3x+m得，

−1+3+m=0，

解得m=−2，

所以二次函数解析式为y=−x2+3x−2.

将点B坐标代入y=−x2+3x−2得，

−4+6−2=n，

解得n=0，

所以m=−2，n=0；

(2)将y=−2代入y=−x2+3x−2得，

−x2+3x−2=−2，

解得x=0或3，

所以a=0，b=3，

则点C坐标为(0,−2)，点D坐标为(3,−2).

又因为点B坐标为(2,0)，

所以△BCD的面积为：12×(3−0)×2=3.

20.解：由题意得：y=4x(40−2x)

=−8x2+160x

=−8(x2−20x+100−100)

=−8(x−10)2+800；

∵−8<0，

∴当x=10cm时，侧面积y有最大值是800cm2.

21.解：(1)由题可知x2+x=2x，

解得x=0(舍去)或x=1，

将x=1代入得y=2，

∴抛物线y=x2+x的“2倍点”(原点除外)的坐标为(1,2)，

故答案为：(1,2)；

(2)由Δ=(m−3)2−4(m−1)×14m>0整理得，

−5m+9>0，

解得m<95，

又∵m−1≠0，即m≠1，

∴m的取值范围为m<95且m≠1；

(3)∵y=k4x2+2x+k是抛物线，

∴k≠0，

设抛物线y=k4x2+2x+k的“k倍点”坐标为(x,kx)，

∵点(x,kx)在抛物线y=k4x2+2x+k上，

∴kx=k4x2+2x+k.

整理得k4x2+(2−k)x+k=0.

∵抛物线仅有一个“k倍点”，

∴一元二次方程k4x2+(2−k)x+k=0有两个相等的实数根，

∴Δ=(2−k)2−4×k4×k=0，

解得k=1.

22.解：(1)FC=FE.理由如下：

如图1，连接AF，

由旋转的性质得：AC=AE，∠AED=∠C=∠AEF=90∘，

∵AF=AF，

在Rt△AFE和Rt△AFC中，

AF=AFAE=AC，

∴Rt△AFE≌Rt△AFC(HL)，

∴FC=FE；

(2)①由旋转可得△ABC≌△ADE，

∴∠CAB=∠EAD，AB=AD，∠ADE=∠B，

∴∠CAE=∠BAD，∠ADB=∠ABD，

∵∠ABC=30∘，

∴∠ADE=∠ABC=30∘.

∵∠CAE=40∘，

∴∠BAD=40∘，

∴∠ADB=∠ABD=70∘.

∴∠FDB=∠ADB−∠ADE=70∘−30∘=40∘；

②如图3，连接AF，

∵∠C=90∘，CA=12，CB=16，

在直角三角形ABC