四川省成都市金牛区蜀西实验学校2021-2022学年九上期中试卷（解析版）

四川省成都市金牛区蜀西实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义分析判断即可．【详解】A选项：是分式方程，不是一元二次方程，故A错误；B选项：是二元一次方程，故B错误；C选项：是一元二次方程，故C正确；D选项：是二元二次方程，故D错误．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．2.若反比例函数y＝的图像经过点(2，－1)，则该反比例函数的图像在（）A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限【答案】D【解析】【详解】解：反比例函数的图像经过点，，反比例函数的图像在第二、四象限，故D正确．故选：D3.如图所示的几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，即可求解．【详解】解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，因此选项D的图形比较符合题意，故选：D．【点睛】考查三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．4.下列四组线段中，不是成比例线段的是（）A.a=3，b=6，c=2，d=4 B.a=1，b=，c=，d=2C.a=4，b=6，c=5，d=10 D.a=2，b=，c=2，d=【答案】C【解析】【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、3×4=6×2，是成比例线段，故本选项不符合题意；B、，是成比例线段，故本选项不符合题意；C、4×10≠6×5，不是成比例线段，故本选项符合题意；D、，是成比例线段，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．5.若一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（）A.a≤1 B.a≤4 C.a＜1 D.a≥1【答案】A【解析】【分析】首先得出根的判别式，进一步求得不等式的解集得出答案即可．详解】解：∵一元二次方程有实数根，∴△≥0，即Δ＝4﹣4a≥0，∴a≤1．故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．6.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵，∴；故选A．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应线段成比例.7.若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（）A.cm B.2（﹣1）cm C.4（﹣1）cm D.6（﹣1）cm【答案】C【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【详解】解：根据黄金分割点概念得：．故选：C．【点睛】考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金比的值．8.已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（）A.∠D＝∠B B.∠E＝∠C C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析即可.【详解】解：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴当添加条件∠D＝∠B时，符合两角分别相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项A不符合题意；当添加条件∠E＝∠C时，符合两角分别相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项B不符合题意；当添加条件时，符合两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，则△DAE∽△BAC，故选项C不符合题意；当添加条件时，则△DAE和△BAC不一定相似，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．9.扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得.【详解】设花带的宽度为，则可列方程为，故选D．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.10.已知函数y＝（k＜0）经过点，如果，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据k＜0判断出函数图象所在的象限，再根据进行判断即可．【详解】解：∵k＜0，∴函数y＝（k＜0）的图象在二、四象限，∵，∴点在第二象限，在第四象限，∴；故选A．【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．11.已知，则＝_____．【答案】【解析】【分析】根据，得出，再把化成，即可得出答案．【详解】解：，．故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件得出．12.已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是_____．【答案】-3．【解析】【分析】设方程的另一个根为x2，根据两根之积列出关于x2的方程，解之可得答案．【详解】解：设方程的另一个根为x2，则2x2＝﹣6，解得x2＝﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．13.如图，已知反比例函数y＝（k为常数、k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为2，则k＝_____．【答案】-4【解析】【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系．【详解】解：依据比例系数k的几何意义得∶△AOB的面积等于|k|＝2，解得k＝±4，∵反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第二和第四象限，∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键．14.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=____m．【答案】5.5【解析】【详解】在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴，40cm=0.4m，20cm=0.2m，即，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m故答案为：5.5m【点睛】考点：相似三角形三、解答题（本大题共6小题，共54分）15.用适当的方法解下列方程：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．解答【详解】(1)(x−3)(x+1)=0，x−3=0或x+1=0，∴.(2)，(x+1)(−x+1)=0，x+1=0或−x+1=0，∴.【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握因式分解法.16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝8，BD＝4，求CD的长．【答案】（1）见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据两角对应相等证明△ABD∽△CBA；（2）根据（1）的结论推出，把有关线段的值代入计算即可．【小问1详解】证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA；【小问2详解】解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴，∴，解得，x＝12；即CD＝12．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键．17.已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的；（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形，使新图与原图相似比为2：1；（3）求出面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）10【解析】【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）以x轴为分割线，将分成两部分，即可求得的面积．【小问1详解】如图所示：即为所求；【小问2详解】如图所示：即为所求；【小问3详解】的面积＝×5×（2+2）＝10．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．18.为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是．（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．【答案】（1）；（2）见解析，.【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝；（2）列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为.【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率19.如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣2，a），B两点，与x轴交于点C．（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，求点P的坐标．（3）直接写出x+5﹣＜0的解集．【答案】（1）（2）P（﹣）或（）（3）x＜﹣3或﹣2＜x＜0【解析】【分析】（1）将A点坐标代入，即可求出a的值，即得出A点坐标．再将A点坐标代入中，求出k的值，即求出反比例函数解析式；（2）联立两个解析式即得出B点坐标．对于，当时，求出x的值，即得出C点坐标．设P（x，0），根据，即可列出关于x的等式，解出x即得出P点坐标；（3）根据解析式和不等式可知：求的解集，即找出的图象在下方时的x的取值范围即可．【小问1详解】将点A(-2，a)代入，得，∴A(-2，3)，将A(-2，3)代入，得，∴反比例函数的表达式为；【小问2详解】联立，解得：或．∴B(-3，2)，对于，当时，即，解得：，∴C(-5，0)，设P（x，0），∵，，∴．解得或，∴P或；【小问3详解】由，得：．由不等式和两个函数的解析式可知：求，即找出的图象在的下方时x的取值范围即可．由图象和所求出的B点和A点坐标可知：当或时，的图象在的下方，∴的解集为：或．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合，反比例函数与三角形的综合．利用数形结合的思想是解答本题的关键．20.如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．（1）求证：CH＝BE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）GH＝（3）【解析】【分析】（1）可得∠CHD＝∠BEC，根据AAS可证明△DHC≌△CEB，即可求解；（2）由三角形全等，可得，则GC＝2GH，可求出GH的长；（3）设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，求出S1和S2即可得出答案．【小问1详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS），∴CH＝BE；【小问2详解】解：∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DHBC，∴，∴GC＝2GH，设GH＝x，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝；【小问3详解】解：当的值为时，则，∵DH＝CE，DC＝BC，，∵DHBC，，，设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21.若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值为____．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1＋x2＝−，x1•x2＝，代入计算即可．【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根，∴x1＋x2＝5，x1•x2＝6；∴x1x2-x1-x2=6-（x1＋x2）=6-5=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝−，x1•x2＝．22.从数﹣3，，0，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b．若k＝a+b，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限的概率是_______．【答案】【解析】【分析】反比例函数的图象经过第一、三象限，得k＞0，然后分别取a=-3，a=-，a=0，a=2几种情况列举出所有等可能结果及满足条件结果，进行计算.【详解】解：反比例函数的图象进过第一、三象限，得k＞0，（1）a=-3时，b取-、0、2时，k+b均小于0；（2）a=-时，b取-3、0、2时，只有当b=2时，k+b＞0，（3）a=0时，b取-3、-、2时，只有当b=2时，k+b＞0，（4）a=2时，b取-3、-、0时，当b取0和-时，k+b＞0，故一共有12种等可能的结果，满足条件的占4种，概率为；故答案为.【点睛】本题考查反比例函数的性质及利用列举法求概率，注意分类讨论思想的应用.23.如图，顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知的面积是5，则点B的坐标为_________．【答案】（3，3）【解析】【分析】由点D坐标求出k=4，直线OB的表达式为y=x，设B（x，x），则C（，x），BC=x﹣，由平行四边形的面积公式求出x值即可解答．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点D（2，2），∴k=2×2=4，∴反比例函数的表达式为，∵点D在对角线OB上，∴设直线OB的表达式为y=mx，∴2=2m，则m=1，∴直线OB的表达式为y=x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥OA，设B（x，x），则C（，x），BC=x﹣，∵OABC的面积是5，∴（x﹣）·x=5，解得：x=±3，∵x＞0，∴x=3，∴点B坐标为（3，3），故答案为：（3，3）．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、图形与坐标，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质是解答的关键．24.如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为(，1)，(3，1)，(3，0)，点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为(0，b)，则b的最小值为___．【答案】﹣【解析】【分析】延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出，设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．【详解】解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN在△PAB与△NCA中，∠APB＝∠CMA＝90°，∠PAB＝∠NCA＝90°﹣∠CAN，∴△PAB∽△NCA，∴，设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，∴，∴（），∵﹣1＜0，，∴x＝时，y有最大值，此时b＝1﹣＝﹣，x＝3时，y有最小值0，此时b＝1，∴b的取值范围是﹣≤b≤1．∴b的最小值是﹣．故答案是：﹣．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．25.如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将ADE沿AE翻折至AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝BF时，＝_____．【答案】﹣1【解析】【分析】如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥BP于N．首先证明△AMP是等腰直角三角形，设BF＝2a，则PF＝BF＝a，BM＝MF＝a，利用相似三角形的性质求出FN：EN＝1+，再想办法求出EN（用a表示），即可解决问题．【详解】解：如图，过点A作AM⊥BP于M，过点E作EN⊥BP于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，由翻折的性质可知，AD＝AF，∠DAE＝∠EAF，∴AB＝AF，∵AM⊥BF，∴BM＝FM，∠BAM＝∠FAM，∴∠PAM＝∠PAF+∠FAM＝∠BAD＝45°，∵∠AMP＝90°，∴∠P＝∠PAM＝45°，∴AM＝MP，设BF＝2a，则PF＝BF＝a，BM＝MF＝a，∴AM＝PM＝FM+PF＝a+a，∵∠AMF＝∠AFE＝∠ENF＝90°，∴∠AFM+∠EFN＝90°，∠EFN+∠FEN＝90°，∴∠AFM＝∠FEN，∴△AMF∽△FNE，∴，设EN＝PN＝x，则FN＝（1+）x，∴（1+）x+x＝a，∴x＝（﹣1）a，∴EN＝（﹣1）x，∴＝＝﹣1，∵CD＝AD＝AF，DE＝EF，∴＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．五、解答题（本大题共3小题，共30分）26.某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．（1）每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利750元？（2）要想平均每天赢利1000元，可能吗？请说明理由．【答案】（1）降价15元；（2）不可能，理由见解析．【解析】【分析】（1）设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，根据题意可得方程，然后求解即可；（2）由（1）可得（100﹣70﹣x）（20+2x）＝1000，然后根据根的判别式进行求解即可．【详解】解：（1）设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝750，整理，得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝5，x2＝15．∵尽快减少库存，∴x＝15．答：每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元．（2）不可能，理由如下：依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝1000，整理，得：x2﹣20x+200＝0．∵△＝（﹣20）2﹣4×1×200＝﹣400＜0，∴此方程无实数根，∴不可能盈利1000元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后求解即可．27.在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：＝AP•AB；（2）若M为CP的中点，AC＝4．①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝7，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，求BP的长．【答案】（1）见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）①取AP在中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝7﹣x，根据三角形的中位线的性质得到MGAC，由平行线的性质得到∠BGM＝∠A，根据相似三角形的性质得到即，即可得到结论；②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，解直角三角形得到根据勾股定理得出，相似三角形的性质得到列方程即可得到结论．【小问1详解】解：∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，∴，∴；【小问2详解】①如图2，取AP在中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，，∵M是PC的中点，∴MGAC，∴∠BGM＝∠A，∵∠ACP＝∠PBM，∴△APC∽△GMB，∴，即，∴x＝，∵AB＝7，∴AP＝，∴PB＝；②如图3，过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，设BP＝x．∵∠ABC＝45°，∠A＝60°，∴CH＝，∵，∵PB＝BE，PM＝CM，∴BMCE，∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A，∵∠E＝∠E，∴△ECP∽△EAC，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．28.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+