专题10 概率、统计及随机变量分布列-2025年高考数学三模试题分类汇编（新高考）（原卷版）

专题10概率、统计及随机变量分布列题型概览题型01随机抽样及频率分布直方图题型02样本的数字特征题型03一元线性回归模型题型04列联表与独立性检验题型05古典概型、条件概率及全概率公式题型06离散型随机变量期望、方差及其分布列题型01随机抽样及频率分布直方图题型011．（2025年山东威海市三模）某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（

）A．87.5 B．85 C．82.5 D．802．（2025·辽宁沈阳·三模）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中，则满意度计分的第一四分位数约为（

）A．87.5 B．85 C．70 D．62.53．（多选）（2025·广东揭阳·二模）洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世.某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度（单位：）作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）

A．基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50B．基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30%C．基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等D．基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于804．（多选）（2025·四川省自贡市·三模）为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（

）.A．且. B．且.C．且. D．.5．（2025年河北石家庄三模）某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图.(1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数；(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量表示代表年龄在的志愿者人数，求的分布列及期望.6．（2025年广东省广州市天河区三模）为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：高一年级成绩分布表成绩人数123410高二年级成绩频率分布直方图(1)从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率；(2)用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量表示这三人中成绩不低于90分的人数，求的分布列和数学期望．题型02样本的数字特征题型021．（2025·河北省张家口·三模）某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（

）A．119 B．122 C．125 D．1322．（2025·湖南省郴州市·三模）马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（

）月份7月8月9月10月11月12月跑步里程310254220210248300A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里3．（2025·陕西省安康市·三模）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（

）A． B．C． D．4．（2025年山东省泰安市三模）在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（

）A． B． C． D．5．（2025年江苏如皋市三模）已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（

）A． B．2 C． D．186．（多选）（2025·浙江省金华市义乌市·三模）有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（

）A．数据A的平均数小于数据B的平均数B．数据A的方差小于数据B的方差C．数据A的极差小于数据B的极差D．数据A的中位数小于数据B的中位数7．（2025·四川省绵阳市·三模）某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（

）A．型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大B．型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大C．型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大D．型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小8．（多选）（2025·湖南省永州市·三模）下列说法中，正确的有（

）A．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强B．已知随机变量服从正态分布，且，则C．数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30D．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数9．（多选）（2025年广东省广州市天河区三模）某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．（2025年湖北武汉市武昌区三模）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为．题型03一元线性回归模型题型031．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（

）A． B． C．0.1 D．0.22．（2025年山西省吕梁市三模）已知变量x和变量y，根据最小二乘法估计得到成对数据组的经验回归方程，成对数据组的经验回归方程，记，则（

）（参考公式，对于一组成对数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：）A．直线经过点B．直线不经过点 C． D．3．（2025年山东省泰安市三模）对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格：月份x12345销量y0.511.4建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（

）A．-0.919 B．-0.1 C．0.1 D．0.9194．（多选）（2025·四川省攀枝花·三模）小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（

）x4681012ya2bc6A．变量x与y的样本相关系数 B．C．当时，残差为 D．当时，y的预测值为5．（2025·四川省成都市·三模）随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，年末全国常住人口城镇化率增长至.下图为年年末常住人口城镇化率的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系.请建立关于的回归方程；(2)从这年中任取年，记常住人口城镇化率超过的年数为，求的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，.题型04列联表与独立性检验题型041．（2025·湖南省郴州市·三模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.(1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？单位：人每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时每周的锻炼时间不超过5小时合计(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.参考公式与数据：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.8282．（2025·四川省自贡市·三模）2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）：航天爱好者非航天爱好者合计女4060100男7030100合计11090200(1)能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？(2)现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望.附：，其中，0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8283．（2025·四川省攀枝花·三模）一家调查机构在某地随机抽查800名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下列联表：倾向于购买新能源车倾向于购买燃油车合计女性居民80男性居民400合计800已知从这800名居民中随机抽取1人，这个人倾向于购买燃油车的概率为0.8(1)完成列联表；(2)依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异；(3)从上述倾向于购买燃油车的居民中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其倾向于购买燃油车的原因，用表示3人中女性居民的人数，求的分布列及数学期望．附：，0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.8284．（2025·重庆市·三模）随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果：职业买食品时是否看营养说明合计不看营养说明看营养说明从事与医疗相关行业122840从事与医疗无关行业182240合计305080(1)从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率；(2)依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？参考公式：独立性检验中常用小概率值和相应临界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8285．（2025年四川宜宾市三模）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的.(1)填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求.参考公式：（其中为样本容量）参考数据：0.10.050.0050.0012.7063.8417.87910.8286．（2025·河南省安阳市·三模）某工厂引进两条智能化生产线，从这两条生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检验，得到的数据如下表：优质品合格品总计A生产线9010100B生产线8020100总计17030200(1)依据小概率值的独立性检验，分析A，B两条智能化生产线的优质品率是否存在差异；(2)用样本的频率估计概率，若B生产线的生产效率是A生产线的2倍，现从A，B两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，求其是优质品的概率；(3)用样本的频率估计概率，若从B生产线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中优质品的件数，求X的分布列和数学期望．附．α0.0500.0100.0013.8416.63510.828题型05古典概型、条件概率及全概率公式题型051．（2025·河南省安阳市·三模）某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（

）A． B． C． D．2．（2025年江西省萍乡市三模）从双不同品牌的筷子中任取两根，若其中一根为品牌的筷子，则另一根筷子也属于品牌的概率为（

）A． B． C． D．3．（2025年河北石家庄三模）已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（

）A．事件A与B一定是对立事件B．C．D．若事件A、B相互独立，则4．（多选）（2025·河南省焦作市·三模）如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（

）A． B． C． D．5．（2025年广东省广州市天河区三模）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（

）A．A，B互斥 B．C． D．A，B，C两两独立6．（多选）（2025·山东省枣庄市·三模）已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（）A．若，互斥，则B．若，相互独立，则C．若，相互独立，则D．若，则7．（2025年江西九江市三模）某校选拔乒乓球队队员，选拔时选手与教练对局．若选手连胜两局则成功入选，若连负两局则落选．已知某选手每局测试中（无平局）获胜的概率为，则该选手成功入选的概率是（

）A． B． C． D．8．（多选）（2025·安徽省安庆市·三模）一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（

）A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件C． D．9．（多选）（2025年湖北武汉市武昌区三模）某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员（且）名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为．若甲、乙是其中的两名运动员，则下列结论中正确的有（

）A．若，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为B．若，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为C．若（且），则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为D．若，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为10．（多选）（2025·陕西省安康市·三模）在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上､下､左､右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则（

）A．蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是B．蚂蚁移动到点的概率为C．蚂蚁回到原点的概率为D．蚂蚁移动到直线上的概率为11．（2025年四川宜宾市三模）从集合中任取4个不同的数，组成无重复数字的四位数.若该四位数能被3整除的概率为；若取出的4个数按从小到大排列，中间两个数的和为7的概率为，则.12．（2025年山东威海市三模）有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为．13．（2025·四川省德阳市·三模）根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅皆为阴数”意为九官格中5位于居中位置，四个顶角填偶数，其余位置填奇数（用完1到9九个数字）.按洛书的填写方法，记事件“满足图案中每行、每列及对角线上的三个数字和都相等，且”，则.

514．（2025·山东省枣庄市·三模）箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中，.15．（2025年山东省泰安市三模）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为.(1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率；(2)求乙同学最终获胜的概率.题型06离散型随机变量期望、方差及其分布列题型061．（多选）（2025·四川省成都市·三模）已知某地社交媒体用户的日活跃时长（单位：小时）服从正态分布，则（

）A．，B．若，则C．D．2．（多选）（2025年江西九江市三模）已知随机变量，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C． D．3．（2025年山西省吕梁市三模）某企业为了提高生产效率，采用智能监测器对企业的生产设备进行监测．已知该企业的生产设备正常的概率，在生产设备异常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为；在生产设备正常的情况下，每台智能监测器出现预警信号的概率为．(1)如果用2台智能监测器进行监测，且每台智能监测器相互独立，已知，在生产设备异常的情况下，求智能监测器出现预警信号的台数X的分布列及数学期望；(2)如果用1台智能监测器进行监测，要使在智能监测器出现预警信号的条件下，生产设备异常的概率超过95%，求的范围．4．（2025·陕西省安康市·三模）现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中，其中甲袋中有3个红色小球和3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球．小明先从甲袋中任取2个球不放回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球；若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个球．(1)求小明第二次取到的球是红球的概率；(2)记为小明取到的红球个数，求的分布列及期望值．5．（2025·辽宁沈阳·三模）甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是．(1)求的值；(2)记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．6．（2025年江苏如皋市三模）已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X．(1)求甲同学取球两次即终止的概率；(2)求随机变量X的分布列及期望．7．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率，色准检测通过率.产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X.(1)求单件产品为合格品的概率；(2)求X的分布列及数学期望；(3)已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改进？8．（2025·湖南省永州市·三模）某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：等级不及格及格良优分数1234人数3953(1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；(2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X.（ⅰ）若，求X的分布列与数学期望；（ⅱ）若，当k为何值时，最大？9．（2025年江西省萍乡市三模）某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立.(1)求；(2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的