2025 小学五年级数学上册两端不栽应用练习课件

一、追根溯源：从“植树问题”整体框架看“两端不栽”演讲人追根溯源：从“植树问题”整体框架看“两端不栽”01分层突破：“两端不栽”的应用练习设计02抽丝剥茧：“两端不栽”的公式推导与关键要素03总结升华：“两端不栽”的核心思想与学习启示04目录2025小学五年级数学上册两端不栽应用练习课件作为深耕小学数学教学十余年的一线教师，我始终坚信：数学的魅力不在于机械记忆公式，而在于通过具体情境理解“为什么”，进而实现“灵活用”。今天要和大家共同探讨的“两端不栽”问题，是五年级上册“植树问题”单元的核心内容之一。这类问题看似简单，却因情境变化多样，成为学生易错的“重灾区”。接下来，我将结合教学实践中的典型案例与思考，带大家系统梳理“两端不栽”的应用逻辑，通过分层练习实现从“理解”到“迁移”的能力跃升。01追根溯源：从“植树问题”整体框架看“两端不栽”追根溯源：从“植树问题”整体框架看“两端不栽”要精准掌握“两端不栽”的解题方法，首先需要建立“植树问题”的整体认知框架。在五年级上册教材中，“植树问题”主要围绕“间隔数”与“栽树棵数”的关系展开，根据“栽树位置”的不同，可分为三种基本类型：1三种基本类型的核心区别010203040506两端都栽：起点和终点各栽1棵树，典型情境如“道路两侧从头至尾栽树”；只栽一端：仅起点或终点栽1棵树，典型情境如“圆形池塘周围栽树”（首尾相连时可视为只栽一端）；两端不栽：起点和终点都不栽树，典型情境如“道路两端有建筑物无法栽树”“两盏路灯之间安装新路灯”等。三种类型的本质区别在于“是否占用两端的位置”，而核心关联量是“间隔数”（即总长度÷间隔距离）。以总长度为20米、间隔5米为例：两端都栽时，间隔数=20÷5=4，棵数=4+1=5（起点和终点各多1棵）；只栽一端时，棵数=间隔数=4（起点或终点仅占1个位置）；1三种基本类型的核心区别两端不栽时，棵数=间隔数-1=3（起点和终点都不占位置，相当于比只栽一端再少1棵）。这组对比是理解“两端不栽”的基础。教学中我发现，学生最易混淆的是“两端都栽”与“两端不栽”，常因忽略“是否占用端点”而直接套用公式。因此，教学时需通过直观图示（如线段图）强化“端点是否被占用”的视觉区分。02抽丝剥茧：“两端不栽”的公式推导与关键要素1公式推导：从具体情境到数学模型为帮助学生理解“两端不栽”的数学本质，我常以“校园小路栽花”的情境引入：1情境1：学校一条长15米的小路，计划每隔3米栽1株月季花，小路两端是花坛（无法栽花），需要多少株月季花？2引导学生用“画线段图”的方法分析：3总长度15米，间隔3米→间隔数=15÷3=5；4在线段图上标注间隔点（0米、3米、6米、9米、12米、15米）；5两端（0米和15米）是花坛，不能栽花→实际栽花位置为3米、6米、9米、12米，共4个点；6观察得出：棵数=间隔数-1=5-1=4。71公式推导：从具体情境到数学模型通过这一过程，学生能直观看到“两端不栽”时，实际栽树位置比间隔数少1的原因——两端的位置被“排除”了。此时需强调：公式“棵数=间隔数-1”的前提是“两端确实不具备栽树条件”（如被建筑物阻挡、属于其他区域等）。2关键要素：判断“两端不栽”的情境特征在实际问题中，“两端不栽”的情境并非都直接说明“两端不栽”，需要学生根据生活常识或题目描述判断。常见的隐含情境包括：物理限制：如道路两端是大门、围墙、电线杆等固定设施，无法栽树；功能需求：如两盏路灯之间新增路灯（原路灯已占两端位置）、两棵大树之间补种小树（原大树占两端位置）；特殊场景：如楼梯间的扶手安装防滑垫（两端连接地面和楼梯，无需额外安装）。教学中，我会让学生分组讨论“生活中还有哪些两端不栽的例子”，通过“说情境—画线段—列算式”的三步法，强化“从生活情境抽象数学模型”的能力。例如学生提到“教室后墙挂装饰画，墙的两端是窗户不能挂”，这就是典型的“两端不栽”问题。03分层突破：“两端不栽”的应用练习设计分层突破：“两端不栽”的应用练习设计掌握公式后，学生需要通过不同难度的练习实现“理解—巩固—迁移”的能力进阶。以下是我在教学中常用的分层练习体系：1基础巩固：直接应用公式的典型问题练习1：一条长30米的绿化带，每隔5米栽1棵冬青树，绿化带两端是围墙（不栽树），需要多少棵冬青树？解题步骤：计算间隔数：30÷5=6；确定类型：两端不栽→棵数=间隔数-1=6-1=5；验证：画线段图（0米、5米、10米…30米），两端（0米和30米）不栽，实际栽在5米、10米、15米、20米、25米，共5棵，与计算一致。易错点提醒：部分学生可能直接用“总长度÷间隔距离”得到6，忘记减1。此时需强调“两端不栽”的核心是“少了两端的2个位置吗？不，是少了1个位置”——因为间隔数对应的是“间隔点数量”，两端不栽相当于去掉首尾2个点，但间隔数本身是“间隔数量”，所以棵数=间隔数-1（例如间隔数5对应6个点，去掉2个端点剩4个点，即5-1=4）。2变式提升：情境转换与隐含条件的挖掘练习2：某段公路一侧原有10盏路灯（两端各有1盏），每两盏路灯间距40米。现计划在原有路灯之间新增路灯，使每两盏路灯间距变为20米（两端原有路灯保留）。需要新增多少盏路灯？解题分析：原情境：两端都栽（原有路灯），总长度=（10-1）×40=360米（两端都栽时，间隔数=棵数-1）；新情境：在原有两端路灯之间新增，相当于“两端不栽”（原有路灯占两端位置，新增路灯不能与原有路灯重合）；新间隔数=总长度÷新间距=360÷20=18；新增路灯棵数=新间隔数-1（两端不栽）=18-1=17；2变式提升：情境转换与隐含条件的挖掘验证：原路灯位置为0米、40米…360米（共10盏），新路灯需安装在20米、60米…340米（间隔20米），共（360÷20）-1=17盏（去掉0米和360米的原有路灯位置）。这类题目需要学生同时处理“原有两端都栽”和“新增两端不栽”的双重情境，重点考察“情境转换”能力。教学中，我会引导学生用“分步拆解法”：先求总长度→再分析新情境的类型→最后计算。3综合拓展：与其他知识点的融合应用练习3：一个正方形池塘的周长是80米，计划在池塘四周每隔5米栽1棵柳树，但四个角上已有景观石（不栽树）。需要多少棵柳树？解题思路：正方形周长80米→每边长度=80÷4=20米；每边栽树：两端（角上）不栽→每边棵数=间隔数-1=（20÷5）-1=3；四周总棵数=每边棵数×4=3×4=12（因四个角不重复计算）；验证：画图观察正方形四边，每边20米间隔5米，栽在5米、10米、15米处（共3棵），四边共12棵，无重复。3综合拓展：与其他知识点的融合应用此题为“两端不栽”与“封闭图形周长”的结合题。学生易出错点在于：①误将正方形视为封闭图形（封闭图形通常“只栽一端”，棵数=间隔数），但本题因四角不栽，需调整为“两端不栽”；②直接用周长÷间隔数-1=80÷5-1=15，忽略正方形四边需分别计算。通过此类练习，能有效提升学生“具体问题具体分析”的数学思维。04总结升华：“两端不栽”的核心思想与学习启示总结升华：“两端不栽”的核心思想与学习启示回顾整节课的学习，“两端不栽”问题的核心在于理解“间隔数与棵数的关系”，其本质是“在一段连续的间隔中，排除两端的位置后，剩余可栽位置的数量”。总结起来，解决此类问题的关键步骤是：1三步解题法判类型：通过题目描述判断是否属于“两端不栽”（如两端有障碍物、已有其他设施等）；01算间隔：用总长度÷间隔距离计算间隔数；02求棵数：根据类型应用公式（两端不栽时，棵数=间隔数-1）。032学习启示数学的本质是“解决问题的工具”，“两端不栽”问题的学习不仅是掌握一个公式，更是培养“用数学眼光观察生活”的能力。当学生能从“道路栽树”联想到“楼梯装扶手”“走廊挂画”“路灯升级”等生活场景时，才真正实现了“数学建模”素养的提升。作为教师，我始终记得第一次教授“两端不栽”时，有个学生困惑地问：“为什么两端不栽是减1，而不是减2？”后来他通过自己画20米的线段图（间隔5米），发现间隔数是4（对应5个点），两端不栽后剩下3个点，终于明白“间隔数是间隔的数量，点的数量=间隔数+1，所以去掉2个端点后，点的数量=（间隔数+1）-2=间隔数-1”。这个过程让我深刻体会到：数学学习的魅力，在于学生通过自己的探索“悟”出道理，而不是“记”住公式。课后作业（分层设计）：2学习启示1基础题：小区一条长45米的人行道，每隔3米栽1棵银杏树，两端是单元门（不栽树），需要多少棵银杏树？2变式题：某段铁路原有5根电线杆（