2026届高三数学二轮复习：板块二　数列　微专题9　数列求和的常用方法

微专题9数列求和的常用方法高考定位近几年高考,数列求和常出现在解答题的第(2)问,主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档.【真题体验】1.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为()A.48 B.112 C.80 D.114答案C解析当n=1时,a1=S1=-1+8=7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+8n-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9,显然a1=7也符合该式,所以an=-2n+9,所以当n≤4时,an>0,当n≥5时,an<0,所以{|an|}的前12项和为|a1|+|a2|+|a3|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-(a5+a6+…+a12)=2(a1+a2+a3+a4)-(a1+a2+…+a12)=2S4-S12=2(-16+32)-(-122+8×12)=80,故选C.2.(2025·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}中,a1=3,且an+1n=a(1)证明:数列{nan}是等差数列;(2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).(1)证明an+1n=ann+1+1n(n+1)两边同时乘n(n+1),得(又1×a1=3,所以{nan}是首项为3,公差为1的等差数列.(2)解由(1)可知数列{nan}的通项公式为nan=3+(n-1)×1=n+2,又f'(x)=a1+2a2x+…+mamxm-1,故f'(-2)=3+4×(-2)+…+(m+2)×(-2)m-1,所以-2f'(-2)=3×(-2)+4×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m.两式相减,得3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)×(-2)m=73-m+73×(所以f'(-2)=79-m3+79×【热点突破】热点一分组求和与并项求和例1已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,a2=4,且Sn+2-2Sn+1+Sn=2.(1)证明:数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}满足b1=1,b2+b3=0,求数列{an·bn}的前2n项和T2n.(1)证明由Sn+2-2Sn+1+Sn=2,得Sn+2-Sn+1-(Sn+1-Sn)=2,∴an+2-an+1=2,又a2-a1=4-2=2,∴数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n.(2)解设等比数列{bn}的公比为q,q≠0,则b2+b3=q+q2=0,∴q=-1,∴bn=(-1)n-1,∴an·bn=2n·(-1)n-1,∴T2n=2-4+6-8+…+2(2n-1)·(-1)2n-2+2(2n)·(-1)2n-1=(2-4)+(6-8)+…+[2(2n-1)·(-1)2n-2+2(2n)·(-1)2n-1]=-2+(-2)+…+(-2)=-2n.规律方法1.若数列{an}的通项公式为an=cn±bn,或an=cn,n为奇数,bn,n为偶数,且{cn},{bn}2.若数列{an}的通项公式为an=(-1)ncn(其中cn为等差数列)或an=(-1)nf(n),可采用并项求和法求数列{an}的前n项和.训练1(2025·枣庄二模)在数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-2.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=an-2n,求数列{bn}的前n项和Sn的最大值.解(1)依题意,当n≥2时,an-an-1=2n-1-2,则an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=20+(21-2)+(22-2)+(23-2)+…+(2n-1-2)=(2+22+23+…+2n-1)-2(n-1)+20=2(1-2n-1)1-2-2n+22=2na1=20满足上式,所以{an}的通项公式为an=2n-2n+20.(2)由(1)得bn=an-2n=-2n+20,数列{bn}是递减等差数列,由bn≥0,得n≤10,则数列{bn}前10项均为非负数,从第11项起为负数,而b10=0,因此数列{bn}前10项和与前9项和相等,都最大,所以数列{bn}的前n项和Sn的最大值为S10=S9=18+02×热点二裂项相消法求和例2(2025·沈阳模拟)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差为d,记{an}的前n项和为Sn,S4-2a2a3+14=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}公差d>1,令cn=an+2an·an+1·2n,解(1)由题意可得,S4-2a2a3+14=4a1+6d-2(a1+d)(a1+2d)+14=4+6d-2(1+d)(1+2d)+14=0,整理得d2=4,则d=±2,可得an=1+2(n-1)=2n-1或an=1-2(n-1)=-2n+3,故an=2n-1或an=-2n+3.(2)因为d>1,由(1)可得d=2,an=2n-1,则cn=2n+3(2n-1)(2故Tn=c1+c2+c3+…+cn=1-13×21+=1-1(2所以Tn=1-1(2规律方法1.裂项常见形式:(1)分母两项的差等于常数1(2n-1)(21n(n(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n(2n-1)(n+1n2(3)分母含无理式1n+n+1=2.裂项相消法就是把数列的每一项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,但在抵消的过程中,有的是依次项抵消,有的是间隔项抵消.训练2(2025·海南调研)已知数列{an}中,a1=1,且an≠0,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+Sn-1=an((1)求数列{an}的通项公式;(2)若cn=(-1)nnanan+1,求数列{cn解(1)由于Sn+Sn-1=an(n≥2),an所以Sn+Sn-1又an=Sn-Sn-1,所以Sn+Sn-1=Sn-Sn-1=(Sn+Sn-1所以Sn-Sn所以数列{Sn}为等差数列,公差为1又S1=a1=1,所以Sn所以当n≥2,n∈N*时,an=Sn+Sn-1=n+n-1=2n又a1=1=2×1-1,所以an=2n-1,n∈N*.(2)cn=n(-1)n(2所以cn=14所以数列{cn}的前n项和Tn=14{-1-13+13+15+所以Tn=-14+(-1)热点三错位相减法求和例3(2025·合肥二模)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1=3,a2+a4=2b2,a1a3=b3.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列anbn的前解(1)设公差为d,公比为q(q≠0),a2+a4=2b2,故2a1+4d=2b1q,6+4d=6q,a1a3=b3,故3(3+2d)=3q2,联立6+4解得d=3,q=3故an=3+3(n-1)=3n,bn=3·3n-1=3n.(2)anbn=3设数列anbn的前n项和为则Sn=130+23+332+4313Sn=13+232+333+4①-②得23Sn=1+13+132+133+…+13n-1-n所以Sn=94-1易错提醒用错位相减法求和时,应注意:(1)等比数列的公比为负数的情形;(2)作差后所得等比数列的项数;(3)最后一项的符号.训练3(2025·郴州三模)已知数列{an}为等差数列,且a2=3,a4+a5+a6=27.(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2,求数列{bn}的通项公式;(3)已知数列{cn}满足:cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Mn.解(1)因为数列{an}为等差数列,由a4+a5+a6=3a5=27,可得a5=9,所以数列{an}的公差为d=a5-a2故an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1.(2)当n=1时,b1=S1=2b1-2,解得b1=2,当n≥2且n∈N*时,由Sn=2bn-2得Sn-1=2bn-1-2,上述两个等式作差可得bn=2bn-2bn-1,可得bn=2bn-1,所以数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列,故bn=2×2n-1=2n.(3)由(1)(2)可得cn=anbn=(2n-1)·2n,所以Mn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,则2Mn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,上述两个等式作差得-Mn=2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2+23(1-2n-1)1-2-(2n-1)·2n+1=-6+(3-2整理得Mn=(2n-3)·2n+1+6.【精准强化练】1.(2025·昆明诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn,5Sn+an=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=1log6an·log6an+2解(1)由题得5Sn+an=1,∴当n=1时,5S1+a1=1,得a1=16当n≥2时,5Sn-1+an-1=1,两式作差得6an=an-1,即anan故数列{an}是首项为16,公比为16所以an=16(2)由(1)得bn=1log6an∴Tn=12[1-13+12-1=1=34-22.已知正项数列{an}满足a1=1,an+12-a(1)求{an}的通项公式;(2)记bn=an·sinan2·π,求数列{bn}解(1)因为an+12-a所以当n≥2时,an2=(an2-an-12)+…+(a22-a12)+a12=8(n-1)+…+8×1+1=8[1+2+3+因为an>0,所以an=2n-1,n≥2.当n=1时,a1=1符合上式,所以an=2n-1.(2)bn=an·sinan2·π=(-1)n+1·(2n-1),所以当k∈b2k-1+b2k=(4k-3)-(4k-1)=-2,故b1+b2+b3+…+b2026=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2023+b2024)+(b2025+b2026)=-2×1013=-2026.3.(2025·黄冈调研)设数列{an}(n∈N*)满足:a1+a22+…+ann=n2.等比数列{bn}的首项b1(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列anbnn的前n解(1)∵a1+a22+…+ann=n2∴a1+a22+…+an-1n-1=(n-1)∴ann=n2-(n-1)2=2n即an=n(2n-1),n≥2,当n=1时,a1=1,满足上式.∴an=n(2n-1)=2n2-n,根据等比数列{bn}的首项b1=1,公比为2,可知bn=2n-1.(2)由(1)知anbnn=(2n-1)·2∴Tn=1·20+3·21+…+(2n-1)·2n-1,2Tn=1·21+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n.∴-Tn=1+2·21+…+2·2n-1-(2n-1)·2n=1+2·2(1-2n-1)1-2-(2n=1+4(2n-1-1)-(2n-1)·2n=2·2n-(2n-1)·2n-3=(3-2n)·2n-3.∴Tn=(2n-3)2n+3.4.(2025·南京段测)已知{an}是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a2=3,a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)定义:在数列{an}中,使log3(an+1)为整数的an叫做“调和数”,求在区间[1,2026]内所有“调和数”之和.解(1)设{an}的公差为d.因为a1,a3,a7成等比数列,所以a32=a1·a则a所以a1=2