角的平分线第1课时（课件）2025-2026学年人教版八年级数学上册

人教版

八年级上册14.3（第1课时）

第十四章

全等三角形角的平分线在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。复习回顾FUXIHUIGU什么是角的平分线？一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.OABC如图，OC是∠AOB的平分线.

在纸上画一个角，怎么找到这个角的平分线？可以用量角器、圆规、对折等方法.实际生产应用中，又应该如何找到零件或者材料的角平分线呢？思考思考思考

合作探究探究1如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN?在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。

合作探究探究1

反过来，如图，若M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN，则点P的位置有什么特点？合作探究思考

由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗?分析

根据上述结论：①在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.②在角的内部作出与这两点距离相等的点.③以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.OM=ONPM=PN在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。

合作探究为什么?基本尺规作图合作探究作一个角的平分线用角尺平分角用角平分仪平分角在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。例1

已知：∠AOB，如图所示.求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹）解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线.AOBCEFD知识点1

作已知角的平分线跟踪训练

已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的平分线.AOBEFC结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.知识点1

作已知角的平分线在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。由此，我们可以猜想角平分线有什么性质？探究

如图，OC是∠AOB的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…，分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…，分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…，你有什么发现？P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3.角的平分线上的点到角两边的距离相等.知识点2

角的平分线的性质我们证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”.已知：一个点在一个角的平分线上；求证：这个点到这个角两边的距离相等.为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.知识点2

角的平分线的性质在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。知识点2

角的平分线的性质如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.提炼归纳：证明几何命题的一般步骤1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式注意可能存在不同情形在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD=PE.角平分线上的点到角两边的距离相等角的平分线的性质CABODEP知识点2角的平分线的性质几何语言：角平分线上的点到角两边的距离相等CABODEP知识点2角的平分线的性质应用定理需具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。随堂演练教材P50练习第1题3.如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB

的内部，且点P

到射线OA和OB的距离相等.解：如图所示：作∠AOB的平分线与MN交于点P，点P即为所求.ABONMP例2

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB，

∠ABC＋∠ADC＝180°.证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.CBADEF又∵CD＝CB，求证：AE＝(AB＋AD).

在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，∴DF＝BE.∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，∴AF＝AE，∴DF＝AF－AD＝AE－AD.∵BE＝AB－AE，DF＝BE，∴AE－AD＝AB－AE，∴AE＝(AB＋AD).CBADEF

课堂小结角平分线尺规作图性质添加辅助线依据：SSS一个点：二距离：两相等：角平分线上的点点到角两边的距离两条垂线段相等过角平分线上一点向两边作垂线段在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。随堂演练教材P50练习第1题3.如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB

的内部，且点P

到射线OA和OB的距离相等.解：如图所示：作∠AOB的平分线与MN交于点P，点P即为所求.ABONMP随堂演练教材P50练习第2题4.如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G

分别在OA，O

B上，DF=EG，连接PF，PG.求证PF=PG.CABOGFDEP在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。在△DPF和△EPG中，证明：∵OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°.PD=PE，∠PDF=∠PEG，DF=EG，∴△DPF≌△EPG（SAS）.∴PF=PG.随堂演练教材P50练习第2题CABOGFDEP随堂演练5.如图，BD

是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．若△ABC

的面积为70，AB=16，DE=5，求BC

的长．CABDE在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。

随堂演练CABDEF课堂小结角平分线尺规作图性质添加辅助线依据：SSS一个点：二距离：两相等：角平分线上的点点到角两边的距离两条垂线段相等过角平分线上一点向两边作垂线段在三元一次方程组的探究活动中，学生需要自主程序化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式运算的探究活动中，学生需要自主建模。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学史是一个核心概念，学生需要学会辩论。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解四点共圆有助于学生更好地结构化。7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点P从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t

s(t＞0).(1)AP的长为

；（用含t的代数式表示）(2)若点P在∠ABC的角平分线上，已知△APB的面积为20，求t的值．解：(1)4t(2)过点P作PM⊥AB于点M，如答图所示．∵∠ACB＝90°，∴PC⊥BC.又∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB，∴PC＝PM.∵AP＝4t，∴PC＝PM＝AC－AP＝8－4t.在三元一次方程组的探究