甘肃省多校高三上学期12月阶段性考试数学试题

高三阶段性考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4.本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、向量、复数、数列．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的解集，求得，结合集合的交集的定义和运算，即可求解.【详解】由不等式，可得，解得，所以，因为，所以.故选：D.2.已知复数满足，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数除法运算求得，进而求得.【详解】因为，所以．故选：C3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分不必要条件进行判断即可．【详解】因为，所以，即，反之，由，得或，不能推出，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A4.已知正数满足，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】利用已知等式对进行变形，再利用基本不等式求和的最小值．【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，．故选：B．5.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.9 B.18 C.27 D.36【答案】C【解析】【分析】等差数列的性质：若，则，结合等差数列前项和公式即可求解.【详解】由等差数列的性质得，则，所以.故选：C.6.小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果.【详解】在中，，，米，在中，由正弦定理可得，所以，又因为，所以，解得米，在中，，米，所以米，故选：D.7.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】．故选：B8.已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（）A. B.2C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据题目条件，使用正弦定理转化为，代入计算出最大值，再使用余弦定理计算出，从而得出，使用面积公式计算出面积的最大值.详解】已知，由正弦定理化简得：，代入得：，当且仅当“”时取等，由余弦定理可得：，，由同角三角函数关系可得：，则面积.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.（多选题）已知向量，下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则或 D.若，则或【答案】AC【解析】【分析】根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，可判定A正确，B错误；利用向量垂直的坐标表示，可判定C正确，D错误.【详解】若，可得，解得，所以A正确，B错误；若，可得，解得或，所以C正确，D错误．故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A.B.图象的对称中心为C.是偶函数D.的单调递增区间为【答案】ACD【解析】【分析】先根据图象求解出的值，然后可得的解析式，由此可判断A；根据整体代换法可求出的对称中心，由此可判断出B；根据图象变换可求的解析式，则的奇偶性可知，由此可判断C；根据整体代换法可求出的单调递增区间，由此可判断出D.【详解】显然，由，得，由，得，因为，所以时，则，A正确；令，得，所以图象的对称中心为，B错误；的图象向左平移个单位长度得到，显然是偶函数，C正确；令，得，所以的单调递增区间为，D正确；故选：ACD.11.已知函数的定义域为，，，且，则的值可能为（）A.101 B.102C.103 D.104【答案】BCD【解析】【分析】由题意得，进而得出，再令即可.【详解】因，则，因，则，则，即，令，则，因，则，则的值可能为.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是单调递减的等比数列，其前项和为，若，则______．【答案】60【解析】【分析】根据给定条件，结合等比数列性质求出，再利用前项和公式求解.【详解】设递减的等比数列的公比为，，则是方程的两个根，又，解得，，解得，所以．故答案为：6013.函数零点个数为______．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用导数，求出函数的单调区间及最值，根据函数的趋势，作出函数的图象，根据图象即可得答案；方法二：令，得，作出函数的图象，根据图象即可得答案.【详解】的定义域为，且，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，又当时，，当时，，所以函数的零点个数为2．（方法二）的定义域为，令，得，作出函数的图象，如图所示：由图可知，的图象与的图象有2个公共点，所以函数的零点个数为2．故答案：214.已知为奇函数，若，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质求出，再由函数的单调性解不等式即得．【详解】因为为奇函数，所以，因，则可得，即．又等价于，易知函数在上单调递增，所以，解得．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知正项数列满足，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用递推式结合已知条件求出公比，再利用求出，从而求出的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，列出和，再利用错位相减法结合等比数列前项和公式求．【小问1详解】因为数列为正项数列，所以，故，又，所以，故是公比为的等比数列，又因为，，所以，解得，所以．【小问2详解】，①，②，式①减去②得，．16.已知函数的最小正周期为，且．（1）求的解析式；（2）求在上的值域；（3）设函数，若，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正切函数的性质求出即得.（2）利用正切函数的性质求出指定区间上的值域.（3）由（1）的结论，结合正切函数的周期性列式求出最小值.【小问1详解】由的最小正周期，得，解得，函数，而，则，于是，解得，由，得，所以的解析式为．【小问2详解】由，得，则，所以在上的值域为.【小问3详解】由（1）知，由，得，则，解得，而，所以当时，的最小值为.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，并求的最小值．【答案】（1）（2）单调递增区间是和，单调递减区间是；【解析】【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程；（2）先求出导函数，再根据极值得出参数，再得出导函数正负得出函数单调性进而得出最小值.【小问1详解】当时，，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即．【小问2详解】因为，所以．因为在处取得极值，所以，解得，则，．由，得；由，得或．所以的单调递增区间是和，单调递减区间是．因为的极小值为，且，所以的最小值为；所以．18.已知的内角的对边分别是，的面积为，且．（1）若，求锐角的值；（2）求的最小值，并求出此时的值．【答案】（1）（2）最小值为4，【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式和外接圆半径公式，结合已知的正弦乘积条件求出外接圆半径，再通过正弦定理求出角.（2）由外接圆半径和正弦乘积条件得到的值，将所求式子通分后，利用基本不等式求最小值，再结合等号成立条件求出.小问1详解】设外接圆的半径为．因为，所以．又因为，所以．因为，所以，又角为锐角，则．【小问2详解】由（1）知．因为，由正弦定理得．因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，此时，解得，从而．19.已知函数．（1）讨论的单调性．（2）已知，函数，且仅有两个零点．①求的取值范围；②证明：的两个零点之积小于1．【答案】（1）答案见解析；（2）①；②证明见解析.【解析】【分析】（1）分类讨论m的取值结合导数研究函数的单调性即可；（2）①通过同构将问题化为的零点个数，分别用导数研究的单调性，计算参数范围即可；②借助①的结论结合极值点偏移构造差函数判定函数单调性证明即可.【小问1详解】由可知，对于方程，若，即或，①当时，有两个不等正实根，此时在上，在上，当，有两个不等负实根，此时在上，②若时，恒成立，此时在上，综上