专题 解三角形培优归类（15题型）（解析版）

解三角形培优归类

目录

题型1三角形形状判断.....................................................................................................................2

题型2三角形几解的判断.................................................................................................................3

题型3解三角形求角度(范围最值)...................................................................................................5

题型4复合型三角函数最值.............................................................................................................7

题型5边角互化：面积最值型...........................................................................................................9

题型6边角互化：周长最值型..........................................................................................................12

题型7边角互化：比值范围型..........................................................................................................14

题型8边角互化：四边形面积最值型...............................................................................................16

题型9射影定理型...........................................................................................................................19

题型10图形解析型：中线型............................................................................................................21

题型11图形解析型：角平分线型...................................................................................................25

题型12图形解析型：三角形的高...................................................................................................30

题型13图形解析型：双余弦定比分点............................................................................................33

题型14图形解析型：外心与外接圆...............................................................................................37

题型15图形解析与计算综合型.....................................................................................................43

1

题型1三角形形状判断

正余弦定理：化角为边型

若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

正余弦定理：化边为角型

若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”

1.(24-25高三·江苏阶段练习)在△ABC中，已知，则△ABC的形状为

【答案】等腰或直角三角形

【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可.

asinAbsinBasinAbsinB

【详解】在△ABC中，由=及余弦定理，得=，

a2+c2-b2b2+c2-a22accosB2bccosA

整理得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

而0<2A<2π,0<2B<2π,0<2A+2B<2π,因此2A=2B或2A+2B=π,

所以A=B或A+B=，即△ABC为等腰三角形或直角三角形.

故答案为：等腰或直角三角形

2.(24-25高三江苏徐州·阶段练习)在△ABC中，若acosB+acosC=b+c，则该三角形为三角

形．

【答案】直角

【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到cosA(sinC+sinB)=0，进而求得

cosA=0，得到A=，即可得到答案.

【详解】在△ABC中，因为acosB+acosC=b+c，

由正弦定理，可得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，

又因为A+B+C=π,可得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

且sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinAcosB+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB，

所以cosAsinC+cosAsinB=cosA(sinC+sinB)=0，

因为0<B<π,0<C<π,可得sinB>0,sinC>0，所以cosA=0，

又因为0<A<π,所以A=，所以△ABC为直角三角形.

故答案为：直角.

3.(21-22高一下·北京·阶段练习)已知△ABC的三个内角A,OB,OC所对的边分别为a,Ob,Oc，则

下列条件能推导出△ABC一定为锐角三角形的是．

①a2+b2>c2；②==；③cos2A+cos2B-cos2C=1；④tanA+tanB+tanC>0.

【答案】②④

【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理逐项判断即可求解.

2

【详解】对于①,若a2+b2>c2，由余弦定理可知cosC

即角C为锐角，不能推出其他角均为锐角，故①错误；

对于②,因为，则sinA:sinB:sinC=5:6:7，

由正弦定理得a:b:c=5:6:7，设a=5k，b=6k，c=7k，k>0，

可得c为最大边，C为三角形最大角，

根据余弦定理得cosC===>0，

则C为锐角，可得△ABC一定是锐角三角形，故②正确；

对于③,因为cos2A+cos2B-cos2C=1，

则1-sin2A+1-sin2B-(1-sin2C)=1，整理可得sin2A+sin2B=sin2C，

由正弦定理可得a2+b2=c2，可得C为直角，故③错误；

对于④,因为由于tan(A+B)==-tanC，

-

则tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，

故tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

由于tanA+tanB+tanC>0，故tanAtanBtanC>0，

故A，B，C均为锐角，△ABC为锐角三角形，故④正确．

故答案为：②④.

4.(24-25高三·上海·阶段练习)在△ABC中，c-acosB=(2a-b)cosA(a、b、c分别为角A、B、C的对

边)，则△ABC的形状为.

【答案】等腰或直角三角形

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得.

【详解】在△ABC中，c-acosB=(2a-b)cosA及正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-

sinBcosA，

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，则cosAsinB=2sinAcosA-sinBcosA，

于是cosA(sinB-sinA)=0，则cosA=0或sinB=sinA，而A,B∈(0,π)，因此A=或B=A，

所以△ABC为等腰或直角三角形.

故答案为：等腰或直角三角形

题型2三角形几解的判断

判断三角形解的个数有2种：

画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。

①若无交点，则无解；

②若有一个交点，则有一个解；

③若有两个交点，则有两个解；

④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。

3

公式法：运用正弦定理进行求解。

①a=bsinA，△=0，则一个解；

②a>bsinA，△>0，则两个解；

③a<bsinA，△<0，则无解。

5.(22-23高一下·湖北襄阳·期中)在△ABC中，A=60°,BC=23,BC边上的高为2，则满足条件的

△ABC的个数为.

【答案】2

【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A到BC的距离的最大值，和BC边上的高为2比

较，即可确定答案.

【详解】因为△ABC中，A=60°,BC=23，

所以△ABC的外接圆半径为R=×=2,

灬

即A位于以2为半径的圆弧BAC上，

如图，当△ABC为正三角形时，此时顶点A到BC的距离的最大值为23sin60°=3>2,

如图当A位于E,F处时，此时BE,CF为外接圆直径，则EC⊥BC,FB⊥BC,

则EC=FB=42-(23)2=2，满足A=60°,BC=23,BC边上的高为2，

故满足条件的△ABC的个数为2个，

故答案为：2

【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出

结论.

6.(22-23高三上海阶段练习)在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a、b、c，已知a=4，B=30°,要使

该三角形有唯一解，则b的取值范围为.

【答案】[4,+∞)∪{2{

【分析】利用正弦定理得出b，根据A+C的度数和三角形只有一解，可得A只有一个值，根据正

弦函数的图象与性质得到A的范围，从而得到b的范围.

【详解】因为a=4，B=30°,

由正弦定理可得：，

又A+C=180°-30°=150°,且三角形只有一解，可得A只有一个值，

0<A≤30°或A=90°,

4

∴0<sinA≤或sinA=1，

∴2≤,或=1

2

又b=，

sinA

∴b的取值范围为[4,+∞)∪{2{，

故答案为[4,+∞)∪{2{

【点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，特殊角的三角函数值，属于中档题.

7.(24-25高三·北京阶段练习)在△ABC中，a=4,B=30°,请给出一个b值，使该三角形有两解.

【答案】3(答案不唯一)

【分析】先由正弦定理得到sinA=，由三角形有两个解，可得b<a且sinA<1，进而可得答案.

【详解】根据正弦定理得到⇒sinA

因为三角形有两个解，

b<a且sinA<1，

即b<4且<1，可得2<b<4

所以b=3时，三角形有两个解.

故答案为：3(答案不唯一).

8.(24-25高三吉林·模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，sinC=，若△ABC有

两解，则c的一个可能整数值为.

【答案】2/3

【分析】根据正弦定理可得c，由△ABC有两解可得sinC<sinA<1，根据不等式的性质即可求

解.

【详解】由正弦定理及题中条件可得c==.

∵△ABC有两解，∴sinC<sinA<1，即<sinA<1，

,即1<c<4.

sinA

∴c的一个可能整数值为2(或3).

故答案为：2(或3).

题型3解三角形求角度(范围最值)

求三角形角度，要涉及到角的锐钝的判断，可以通过余弦值的正负判断。如果不能直接判断，那么借助其

他角来判断。如涉及到锐角三角形，则三个角都要转化判断锐钝。

5

9.(25-26高三上·北京·开学考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=23，b=3，则∠B

的最大值是.

【答案】/60°

【分析】由余弦定理及基本不等式求出cosB的范围，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出B

范围.

【详解】由余弦定理得cosB，当且仅当c=3时取

等号，

因为0<B<π,y=cosx在(0,π(单调递减，所以0<B≤,即∠B的最大值是．

故答案为：

——→—→——→→

10.(2025高一·全国·专题练习)已知G是△ABC的重心，aGA+bGB+cGC=0，其中内角A,B,C的

对边分别为a,b,c，则∠A=．

【答案】/30°

【分析】三角形重心的性质以及向量的线性运算，将已知向量等式转化为边的关系，再利用余弦定理求出

角A.

——→—→——→→

【详解】解法1：因为G为△ABC的重心，所以GA+GB+GC=0，

——→——→—→3——→—→→

从而，将其代入已知条件中，可得A=

GC=-GA-GB(a-3c(G+(b-c(GB0．

——→—→

又因为GA与GB不共线，所以a-c=b-c=0，即a=b=c，所以cosA=，即∠A=

π．

6

—→——→——→—→——→—→—→—→—→——→

解法2：(以AB，AC为基底)因为GA=(-AB-AC(，GB=(AB+CB(=(2AB-AC(，

——→——→—→—→——→——→—→——→→—→——→

GC=(AC+BC(=(-AB+2AC(，所以aGA+bGB+cGC=0可化为(-AB-AC(+

—→——→—→——→→—→——→→

(2AB-AC(+c(-AB+2AC(=0，即-+c(AB++-c(AC=0．

a2b33

—→—→-+c=0Γa=c

Γ

9,,

因为AB与AC不共线，所以解得3

+-23==3

{L9c0,{Lb3c,

所以cosA=，即∠A=．故答案为：或30°

11.(2025高三·全国·专题练习)若△ABC的内角A,B满足+2cosC=0，则当角B取最大值时，角C

的大小为．

【答案】

【分析】首先得tanB，然后由基本不等式得角B取最大值时，角B、角A的

值即可.

【详解】由条件得sinB=2sinAcos(A+B(，因此sinB=2sinAcosAcosB-2sin2AsinB，

6

所以tanB==，由此可知A∈(0,B∈(0,，tanA>0，

从而tanB=≤,当且仅当tanA=，即A=时，(tanB(max=，B的最大

值为，

所以角C的大小为．故答案为：.

12.(2025高三·全国·专题练习)在△ABC内，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2+b2≥4abcosC，且

cos(A-B(=，则cosC的取值范围是．

【答案】(-,

【分析】根据余弦定理和已知条件得c2≥2ab.cosC，进而利用正弦定理边角互化得sin2C≥2sinA.sinB

.cosC，由余弦的和差角公式可得2sinAsinB=+cosC，即可代入化简求解.

【详解】由余弦定理a2+b2=c2+2abcosC得c2+2ab.cosC≥4ab.cosC⇒c2≥2ab.cosC，

由正弦定理，得sin2C≥2sinA.sinB.cosC，

因为cos(A-B(=cosAcosB+sinAsinB=，

又cosC=-cos(A+B(=-(cosAcosB-sinAsinB(，所以2sinAsinB=+cosC，

所以sin2C≥+cosC(.cosC，即1-cos2C≥+cosC(.cosC，

化简得12cos2C+cosC-6≤0,解得-≤cosC≤.又2sinAsinB=+cosC>0,故cosC>

-1

6

所以cosC的取值范围是(-,．故答案为：(-,

题型4复合型三角函数最值

复合型角或者三角函数范围最值，

1.以给了函数值的角度为基角来拆角。

2.讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号

3.所求复合型角的范围，以及对应的正(或者余)弦符号，确认对应复合型角度

13.(2025高三·全国·专题练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知=，且C∈

(0,，则的取值范围为()

,,,,

7

【答案】C

【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及余弦函数性质建立不等式求出范围.

【详解】在△ABC中，由=及正弦定理得=，即c2=6ab，则=，

令=t，由a+b>c，得t>1，由余弦定理得cosC==

==3t2-4，由C∈(0,，得cosC∈,1(，因此<3t2-4<1，

35615sinA+sinB615

整理得<t2<,解得t∈,，所以的取值范围为,.

23(23(sinC(23(

故选：C

14.(24-25高一下·湖南永州·期末)在锐角△ABC中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，△ABC的面积

2

为S，若2S+acsinA=c2sinC，则tan(C-A(+的可能取值为()

tanA

A.22B.3C.4D.42

【答案】C

【分析】使用面积公式以及正弦定理化简得到ab+a2=c2，并结合余弦定理求得C=2A，根据锐角三角

形可得<A<，然后化简式子并使用对勾函数的性质可得结果.

【详解】在锐角△ABC中，2S+acsinA=c2sinC，

所以acsinB+acsinA=c2sinc，即asinB+asinA=csinC，

由正弦定理有ab+a2=c2，又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，

∴ab+a2=a2+b2-2abcosC,∴a+2acosC=b，

由正弦定理有sinA+2sinAcosC=sinB=sin(A+C(=sinAcosC+cosAsinC，

∴sinA=sinCcosA-cosCsinA=sin(C-A(，△ABC，所以A=C-A，即C=2A，

Γ0<A<

|

3

又锐角△ABC中，{0<B=π-A-C=π-3A<,∴<A<∴tanA∈,，

(31(

L|0<C=2A<

22732

∴tan(C-A(+=tanA+∈3,，故tan(C-A(+的可能取值为4，

tanAtanA(3(tanA

答案选：C.

15.(24-25高三江苏无锡·阶段练习)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c2=2a2-2b2，则A-

B的最大值为()

A.πB.πC.πD.π

6543

【答案】A

【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到tanA=3tanB，再利用基本不等式即可得解.

【详解】由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB①,a2=b2+c2-2bccosA②,

由①-②得，b2-a2=-b2+a2+2bccosA-2accosB,

故2(a2-b2(=2c(acosB-bcosA(，

因为c2=2a2-2b2，所以c=2(acosB-bcosA(，

8

由正弦定理得sinC=2(sinAcosB-sinBcosA(，

即sin(A+B(=2(sinAcosB-sinBcosA(，

所以sinAcosB+sinBcosA=2(sinAcosB-sinBcosA(，

则3sinBcosA=sinAcosB，

因为在△ABC中，cosA,cosB不同时为0，

故sinA>0,sinB>0,，所以tanB=3tanA,，

又c2=2a2-2b2>0，所以a>b，则A>B，故0<B<，则tanB>0，

所以tan(A-B(===≤=，

当且仅当tanB，即tanB时，等号成立，此时A-B≤.

故答案为：.

16.(2025高三·全国·专题练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知=，且C∈

(0,，则的取值范围为()

A.

【答案】B

【分析】根据正弦定理边角互化可得c2=6ab，进而根据余弦定理可得cosC=3t2-4，结合三角函数的性

质即可求解.

【详解】由题知=，由正弦定理得=⇒c2=6ab．

设==t⇒a+b=tc，由三边关系可得a+b>c，所以t>1．

由余弦定理得cosCt2-4．

因为C∈(0,，所以cosC∈,1(，则有<3t2-4<1，

整理得<t2<，解得t∈,，

故选：B．

题型5边角互化：面积最值型

三角形面积，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：

①S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB=

②S△ABC=(a+b+c)·r(r是切圆的半径)

9

17.(2025高三·全国·专题练习)已知△ABC内接于单位圆，且(1+tanA((1+tanB(=2，则S△ABC的最大值

为()

A.2B.2-1C.2D

2

【答案】D

【分析】依据条件可得C=3π，然后根据正弦定理、余弦定理以及面积公式可知结果.

4

【详解】∵(1+tanA((1+tanB(=2，∴tanA+tanB=1-tanA.tanB，

tanA+tanB3π

∴tanC=-tan(A+B(=-=-1，∵C∈(0,π(，∴C=.

1-tanAtanB4

又△ABC的外接圆为单位圆，其半径R=1，

由正弦定理可得c=2RsinC=2，

由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC，

代入数据可得2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=(2+2(ab，

2

当且仅当时a=b时，“=”成立，∴ab≤,

2+2

1122-12-1

∴△ABC的面积S△ABC=absinC≤.=，S△ABC的最大值为.

22+2222

故选：D.

18.(24-25高三·江苏苏州·模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=1a+

2

ccosB，b=2，则△ABC的面积的最大值为()

A.3B.1C.2D.4

2333

【答案】D

2a

【分析】利用余弦定理将角化边得到2b=a2+2c2，再由余弦定理得到cosB=，从而表示出sinB，最

4c

后由面积公式及二次函数的性质计算可得.

b2+a2-c2a2c2-b2

【详解】因为bcosC=1a+ccosB，由余弦定理可得b.=1a+c.，

22ba2ac

所以b2+a2-c2=a2+a2+c2-b2，所以2b2=a2+2c2，又b=2，所以a2+2c2=8，

22c-

又cosB===，所以sinB==，

16c2

2c-222

所以S△ABC=acsinB=ac=(16c-a(a=(64-9a(a=

16c2

2

(9a-，

2

所以当a=，即a=时，S△ABC取得最大值，且(S△ABC(max=×=.

故选：D

19.(2024·陕西·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知c=6,=，则

△ABC面积的最大值为()

10

A.B.C.12D.15.

【答案】C

【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出ab的关系，再利用余弦定理求出cosC，进而可得出sinC，再根

据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.

【详解】由，由正弦定理得=，即(b-2a((b+3a(=0，

所以b=2a，

由余弦定理得cosC==，

所以sinC=·1-cos2C=1-=，

42(2-(2+

12-9a+360a-1296-9a202304

所以S△ABC=absinC=a.=，

24a24

2

当a=20，即a=25时，S△ABC取得最大值12.

故选：C.

2a-c

20.(23-24高三·福建泉州·阶段练习)在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知

6

C

=cos且b=6，则锐角△ABC面积的取值范围为()

cosB

A.(0,43(B.(43,93[C.(63,93[D.(0,63[

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理求出角B，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变

换转化为三角函数求范围即可.

a-ca-c

【详解】∵2=cosC且b=6，∴2=cosC,

6cosBbcosB

2sinA-sinCcosC

根据正弦定理得，=,

sinBcosB

即(2sinA-sinC(cosB=sinBcosC，

整理得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sinA，

1

∵A∈0,，∴sinA>0，∴2cosB=1，解得cosB=，B=，

((2

abc6

∵===2R==43，∴a=43sinA，c=43sinC,

sinAsinBsinC3

2

12π

∴△ABC的面积S=acsinB=123sinA.sinC=123sinAsin-A

2(3(

∴S=123sinAcosA+sinA(=123cosAsinA+sin2A(=

63sin2A+(

=63sin2A-cos2A+=63sin(2A-+33∵

△ABC为锐角三角形，∴0<A<，∴0<C=-A<，∴

<A<，∴2A-∈,∴sin(2A-∈,1，

11

∴S=63sin(2A-+33∈(63,93[.故选：C.

题型6边角互化：周长最值型

解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度

有关的范围问题，

常用处理思路：

①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限

制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值

21.(2025·广东广州·模拟预测)记锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知B=2C，a=

2，则b+c的取值范围是()

A.(2,3+1(B.(3+1,+∞(C.(2,22+2(D.(3+1,22+2(

【答案】D

【分析】根据三角形内角和得A=π-3C，结合正弦定理计算b+c=，利用两角和的正

弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得b+c的取值范围．

【详解】因为B=2C，所以A=π-3C．

由正弦定理，有b=,c=所以b+c=．

因为sin3C=sin(2C+C(=sin2CcosC+cos2CsinC=sinC(2cos2C+cos2C(=sinC(4cos2C-1(．

又2sin2C+2sinC=2sinC(2cosC+1(，

所以b+c

因为△ABC是锐角三角形，所以0<C<,0<2C<,0<π-3C<

所以<C<，所以cosC∈,．

所以b+c=∈,，即b+c的取值范围是(3+1,22+2(，

故选：D．

22.(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中)在△ABC中，已知2asinA=(2b-c(sinB+(2c-b(sinC，a=

2，则△ABC周长最大值为()

A.4B.6D.

【答案】B

【分析】利用正弦定理角化边，再利用基本不等式求出最小值.

12

【详解】在△ABC中，由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC及正弦定理，

得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c，整理得a2=b2+c2-bc，而a=2，

2

22b+c12

因此4=(b+c)-3bc≥(b+c)-3=(b+c)，解得b+c≤4，当且仅当b=c时取等号，

(2(4

所以当b=c=2时，△ABC周长取得最大值6.

故选：B

23.(24-25高三·贵州贵阳·阶段练习)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c、，若c=

C

3，且acos=3sinA，则a+2b+3c的取值范围为()

2

A.(4+33,63(B.(5+33,27+33[

C.(4+33,27+33[D.(6+33,27+33[

【答案】C

【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求a+2b+3c的取值范围.

C

【详解】因为c=3，故acos=3sinA=csinA，

2

C

由正弦定理可得sinAcos=sinCsinA，而A为三角形内角，故sinA>0，

2

C

故cossinC=2sincos，而C为三角形内角，故为锐角，

2

CCC

故cos>0，故sin=1，故=即C=，

2222

故2RR为外接圆半径)，故a+2b+3c=2sinA+4sinB+33，

2π2π

因为A+B+C=π,C=，所以B=-A，则sinB=sin-A=sinA+.

3(3(((

故a+2b+3c=2sinA+4sin(A++33

=2sinA+4sinAcos+4cosAsin+33

=4sinA+23cosA+33=27sin(A+φ(+33，

其中cosφ=,sinφ=，且φ∈(0,，

由锐角三角形ABC可得A∈(0,,-A∈(0,，故A∈,，

故A+φ∈+φ,+φ(，

因为sinφ=<，且φ∈(0,，故φ∈(0,，则<+φ<，<+φ<，

所以A+φ=时，sin(A+φ(=1，27sin(A+φ(+33=27+33取得最大值.

当A=时，27sin(A+φ(+33=4sinA+23cosA+33=4×+23×+33=5+

33，

当A=时，27sin(A+φ(+33=4sinA+23cosA+33=4+33<5+33，

故4+33<a+2b+3c≤27+33，

故选：C.

13

24.(24-25高二上·河北张家口·开学考试)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若ccosA-

3csinA-b+2a=0，且c=3，则△ABC周长的最大值为()

93

A.3B.C.6D.9

4

【答案】D

【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出角C，再利用余弦定理及基本不等式求解即得.

【详解】在△ABC中，由ccosA-3csinA-b+2a=0及正弦定理，

得sinCcosA-3sinCsinA-sinB+2sinA=0，而sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

则3sinCsinA+cosCsinA=2sinA，而sinA>0，整理得sin(C+=1，

又0<C<π,解得C=，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得9=a2+b2-ab

2

=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-3=(a+b)2，解得a+b≤6，当且仅当a=b=3时取等号，

所以△ABC周长的最大值为9.故选：D

题型7边角互化：比值范围型

最值范围：分式比值型

化边为角型

1.通过正余弦定理，把边转化为角。

2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式

3.对单变量(单角)求最值。

角化变型：

主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化

25.(23-24高三·陕西咸阳·期中)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=，

,则的取值范围是()

A.,B.,C.,D.,

【答案】A

【分析】根据正弦定理边角互化得csinC=1，进而将问题转化为，根据锐角三角形

得角的范围，即可根据三角函数的性质求解.

【详解】由正弦定理以及可得,故csinC=1，

又由于△ABC为锐角三角形，故故

14

<A<，

因此<sinA<1，故=∈,，故选：A

26.(24-25高一下·重庆万州·期中)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面

积，且3S=a2-(b-c)2，则的取值范围为()

A.,

【答案】C

【分析】由3S=a2-(b-c)2，利用三角形面积公式与余弦定理，可得3sinA+4cosA=4，再根据同角三

角函数的平方关系可得sinA=，cosA=，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得

=+，结合条件可得tanC取值范围，进而求得的取值范围.

【详解】在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，且△ABC的面积S=bcsinA，

由3S=a2-(b-c)2，得bcsinA=2bc+a2-b2-c2=2bc-2bccosA，化简得3sinA+4cosA=4，

又A∈(0,，sin2A+cos2A=1，联立解得sinA=，cosA=，

所以====+，

△ABC为锐角三角形，有0<C<，B=π-A-C<，得-A<C<，

则有tanC>tan-A(==，可得∈(0,，所以∈,.

故选：C

27.(24-25高三·山东枣庄·阶段练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c-b=2bcosA，

则的取值范围是()

-

A.(-1,1(U(3,+∞(B.(1,2+3(C.(3,2+3(D.(3,+∞(

【答案】D

【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到A=2B，再由正弦定理将边化角，转化为

B的三角函数，由B的范围计算可得.

【详解】因为c-b=2bcosA，则由正弦定理得sinC-sinB=2sinBcosA，

又sinC=sin[π-(A+B([=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA，

则sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)，

又A∈(0,π(，B∈(0,π(，则A-B∈(-π,π(

所以B=A-B或B+(A-B(=π,即A=2B或A=π(舍去)，

0B<π

所以(,解得0<B<，则<cosB<1，

{(0-3B<π

所以===

---

15

因为sinB≠0，

所以===1+

---

因为2cosB-1∈(0,1(，所以∈(2,+∞(，所以1+∈(3,+∞(，

即的取值范围是(3,+∞(．

-

故选：D．

28.(24-25高三上·河北·期中)已知△ABC是锐角三角形，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S为

△ABC的面积，4S=a2+b2-c2，则的取值范围为()

A.(0,2(B.C.(0,D.

【答案】B

【分析】利用三角形的面积公式结合余弦定理化简得出tanC的值，结合角C的取值范围可得出角C的

值，根据△ABC是锐角三角形求出角B的取值范围，可求出tanB的取值范围，再利用正弦定理结合两

角和的正弦公式可求得的取值范围.

【详解】因为4S=a2+b2-c2，由三角形的面积公式和余弦定理可得absinC=2abcosC，

整理可得sinC=cosC，

因为C∈(0,π(，则sinC=cosC>0，可得tanC=1，所以，C=，

<

因为△ABC为锐角三角形，则，即，解得<B<，

{π-<

所以，tanB