06 高分提能六　圆锥曲线中非对称韦达定理的解题技巧 【答案】作业

提能特训(六)1.解:(1)由题知4a2∴椭圆C的方程为x28+y(2)当直线l的斜率为0时,不妨设M(-22,0),N(22,0),由平面几何知识得|BP|=4-2222-2=2此时|BP|下面证明当直线l的斜率符合题意且不为0时,恒有|BP|设直线l:x=my-4,M(x1,y1),N(x2,y2).由x=my-4,x2+4y2令Δ=64m2-4×8×(m2+4)>0,解得m2>4,则y1+y2=8mm2+4,y1·y此时直线AM的方程为y+1=y1+1x令x=-4,得yP=-2(同理可得yQ=-2(方法一:和积转化——寻找两根之和与两根之积的关系.|PB||BQ|=|yP因为y1+y2=my1y2,所以|PB||BQ|=my方法二:半代换——对能代换的部分使用韦达定理,剩下的部分进行配凑.|PB||BQ|=|yP||y方法三:先猜后证——先寻找一个特殊情况得到定值1,不难发现点P,Q关于点B对称,再通过证明点P,Q的纵坐标互为相反数,从而得到其余情况也是定值1.yP+yQ=-(2+m)-2(-2(2+m)m8m2+4-8mm2+4(my12.解:(1)以OB为对角线的正方形OPBQ(不妨设P在第一象限)的顶点分别为O(0,0),B(a,0),Pa2,a2,Qa2,-a所以a24a2+a24b2=1,所以a2b2=3,即a2=3b2,所以c2=a2-b2(2)方法一(特值验证):当a=2时,b=233,所以椭圆C的方程为x2+3y2①当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,不妨设M在第一象限,则M(1,1),N(1,-1),所以k1=11-(-2)=13,k2=-1②当直线l的斜率存在时,设l的方程为x=my+1,m≠0,M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y2<0<y1,则y1+y2≠0.由x=my+1,x2+3y2=4可得(m2+3)所以y1+y2=-2my1y2=-3m要证k1k2=13,只需证只需证3y1(x2-2)=y2(x1+2),只需证3y1(my2-1)=y2(my1+3),只需证2my1y2=3(y1+y2),因为y1+y2≠0,m≠0,所以只需证y1y2因为y1+y2=-2mm2+3,y1y所以y1y2y1+y2综上所述,k1k2方法二(整体代换):当a=2时,b=233,所以椭圆C的方程为x2+3y2设l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y2<0<y1.由x=my+1,x2+3y2=4可得(m2+3)所以y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2即2my1y2=3(y1+y2).k1k2=y1xy1(m32(y1+所以k1k2方法三(设而不求):当a=2时,b=233,所以椭圆C的方程为x2+3y2设l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y2<0<y1.由x=my+1,x2+3y2=4可得(m2+3)y2+2my-3=0,Δ=16m2+36>0,所以y1+y2因为N在椭圆C上,所以x22+3y22=4,即所以y2x2-2k1k2=y1x1+2y2x2-3-3-3m2+3m2-3方法四(引入参数):当a=2时,b=233,所以椭圆C的方程为x2+3y2设M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设y2<0<y1,因为M在椭圆上,所以x12+3y12=4,所以y1所以k1=y1x1+2=-13·x1-2y1,同理k2=y则t=(x2-所以tx1y2+2ty2=x2y1-2y1①,x1y2-2y2=tx2y1+2ty1②,①+②得(t+1)x1y2+2(t-1)y2=(t+1)x2y1+2(t-1)y1.当t=-1时,y2=y1,不合题意,舍去;当t≠-1时,x1-2(1-t)t+1y2又直线MN过定点(1,0),所以2(1-t)t综上所述,k1k23.解:(1)由题意得A1(-a,0),A2(a,0),P(0,b),则PA1·PA2=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-c2又e=ca=22,a2=b2+c2,(2)证明:当直线l的斜率不存在时,直线AM与y轴重合.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx-4,A(x1,y1),B(x2,y2),则M(-x2,y2),由x22+y2=1,y=kx-4,消去y得(1+2k2)x2-16kx+30=0,由Δ=(-16所以x1+x2=16k1+2k2,x1xkAM=y1-y2x则直线AM的方程为y-y1=k(x1-x2即