19.1 二次根式及其性质（第1课时）-教案

分课时教学设计第一课时《19.1二次根式及其性质（第1课时）》教学设计课型新授课☑复习课口试卷讲评课口其他课口教学内容分析本课内容是“二次根式及其性质”的第一课时，属于初中数学“数与式”板块的重要内容．是学生已学的算术平方根、平方根概念及乘方与开方互为逆运算的知识为基础，通过广播电视塔信号传播半径的实际问题引入，搭建起从有理数运算到无理式运算的桥梁．二次根式的概念是后续学习性质、运算法则的逻辑起点，其双重非负性等核心要点不仅完善了“式”的知识体系，更为后续勾股定理、一元二次方程等内容的学习提供必要支撑，在整个初中代数知识结构中起到承上启下的关键作用．学习者分析学生已具备实数概念、算术平方根运算等基础，且正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，具备一定的观察归纳和逻辑推理能力．但本节课是学生首次系统接触二次根式，对于“被开方数非负”这一隐含条件的理解容易忽视，且容易混淆二次根式与已学的整式、分式概念．同时，学生对抽象概念的理解仍需借助具体实例，部分学生在将实际问题转化为数学表达式时可能存在困难，需要通过具象化情境和分层练习帮助其突破认知障碍．教学目标1．根据算术平方根的意义了解二次根式的定义．2．通过探索二次根式有意义的条件，知道为什么被开方数（式）必须是非负的，加深对二次根式定义的理解．教学重点从算术平方根的意义出发理解二次根式的定义．教学难点二次根式有意义的条件．学习活动设计教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1：师出示学习目标：1．根据算术平方根的意义了解二次根式的定义．2．通过探索二次根式有意义的条件，知道为什么被开方数（式）必须是非负的，加深对二次根式定义的理解．学生活动1：学生齐声读本课的学习目标活动意图说明：明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2：情境：广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？导言：解决上面的问题需要二次根式的有关知识．本章我们将在已学的算术平方根的基础上，类比整式、分式，学习二次根式的概念、性质和运算法则．通过本章的学习，为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础。学生活动2：学生认真听讲并积极思考活动意图说明：通过情境的引入，为学习二次根式做好准备环节三：新知讲解教师活动3：思考1：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：（1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m．答案：65（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为________．答案：a（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t2．如果用含有h的式子表示t，那么t为________．答案：h想一想：你发现这些结果65,预设：它们表示一些正数的算术平方根．归纳：一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫作二次根式．追问：在二次根式a中，为什么a不能是负数？讲解1：我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0．讲解2：回顾我们学过的式子，如5，a，a＋b，－ab，st，－x3，a(a指出：二次根式也是代数式．例1：下列各式中，一定是二次根式的是（

）A．−2 B．33 C．a+1 D．答案：D解：A．−2的被开方数为−2<0，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．33的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；C．若a<−1，a+1无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；D．5故选：D．归纳：判断一个式子是二次根式的条件（1）含有二次根号；（2）被开方数（或式子）是非负数.例2：当x满足什么条件时，x−2解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，x−2思考2：当x是怎样的实数时，x在实数范围内有意义？x2呢？x解：根据二次根式的定义可知，满足a是二次根式的条件是a≥0．因此当x≥0时，x在实数范围内有意义．因为x2≥0，所以x可以为任意实数．要使x3≥0，必须满足x≥0．归纳：使代数式有意义的字母取值范围的条件（1）二次根式型：a．被开方数≥0（2）分式型：AB（3）零指数幂型：a0＝1．底数≠0学生活动3：独立完成算术平方根意义填空，小组讨论结果由来及对应的例题，最后班内汇报后听老师的点评与讲解活动意图说明：借助具体实例帮助学生理解二次根式的定义及有意义的条件，并通过例题夯实知识应用能力.环节四：课堂小结教师活动4：问题：本节课你都学习到了哪些知识？教师通过学生的回答，进行归纳学生活动4：学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明：通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．板书设计课题：19.1二次根式及其性质（第1课时）一、二次根式的定义二、二次根式有意义的条件教师板演区学生展示区课堂练习【知识技能类练习】必做题：1．下列式子中，属于二次根式的是（

）A．38 B．−5 C．x2+1答案：C2．若二次根式2026−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是．答案：x≤20263．当x取何值时，下列二次根式有意义？(1)x−3(2)1(3)x解：（1）要使x−3有意义，则x−3≥0，解得x≥3，即当x≥3时，x−3有意义；（2）要使12x+1有意义，分母2x+1≠0，且被开方数1∴2x+1>0，解得x>−1即当x>−12时，（3）因为x2≥0，所以即无论x取何实数，x2+1都大于0，所以x2即当x为任意实数时，x2选做题：4．若3−2x在实数范围内有意义，则x的（

）A．最大值是32 B．最小值是32 C．最大值是23答案：A【综合拓展类练习】5．已知m−10+310−m=n−6，求m，n解：根据二次根式的被开方数非负，可得：m−10≥0解得：m=10．将m=10代入原式，得：10−100+0=n−6解得：n=6．m2∵64的平方根是±8，∴m2−n作业设计【知识技能类作业】必做题：1．下列各式中，是二次根式的是（

）A．−6 B．x2+2x+3 C．a 答案：B2．若x−9+(x−10)0在实数范围内有意义，则实数x答案：x≥9且x≠103．求使下列各式有意义的字母x的取值范围：(1)3−x；(2)x+3+(3)x−2+解：（1）∵3−x∴3−x≥0∴x≤3；（2）∵x+3∴x+3≥0，8−x≥0∴−3≤x≤8；（3）∵x−2∴x−2≥0，2−x≥0∴x=2．选做题：4．若x、y都是实数，且y=x−3+3−x解：由题意可知，x−3≥0，3−x≥0，∴x=3，∴y=x−3∴x+3y=3+3×8=27，∴x+3y的平方根是±27【综合拓展类作业】5．已知二次根式2x−4，回答下列问题：(1)当x为何值时，该二次根式有意义？(2)当x=6时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为2时，求x的值．解：（1）要使该二次根式有意义，需满足2x−4≥0，解得：x≥2，∴当x≥2时，该二次根式有意义．（2）当x=6时，则2x−4=令2x−4=2时，则2x−4=4解得：x=4．教学反思本课通过实际情境导入有效激发了学生兴趣，但在教学中对学生