《时间序列分析》课件 第6章 非平稳时间序列

时间序列分析张成思2

第6章非平稳时间序列

6.1确定性趋势模型

6.2随机趋势模型

6.3去除趋势的方法8.1确定性趋势模型

所谓确定性趋势，是指模型中含有明确的时间t变量，从而使得某一时序变量随着时间而明确地向上增长。最简单的线性确定性趋势模型可以写成

其中表示均值为0的平稳随机变量。

对方程两边同取期望，可得

方程说明，只要系数不为0，则序列的均值随时间推移而不断增大。正因为这个特点，确定性趋势模型也称为“均值非平稳”过程图6-1中国真实GDP时序数据:1992年第1季度—2024年第1季度6.2随机性趋势模型6.2.1随机趋势模型的基本定义

考虑AR(1)模型：其中代表方差为的白噪音过程。

将模型写成：。

如果假设初始观测值为

，那么通过反复迭代可以得到：

这个表达式可以看成是一种随机常数项，由于每个随机扰动因子对

的条件均值的影响都是永久性的，所以这样的模型经常被称为随机趋势模型。6.2.2随机游走模型

实际上，模型方程式的形式就是一个随机游走过程。那么随机游走过程的特点有哪些呢？首先，从基本定义式可以看到，随机游走过程就是一个常数项为0并且自回归系数为1的AR（1）模型。

进一步考察随机过程的均值和方差：根据自协方差的定义，有：进而，可以获得自相关函数的表达式：图6-2随机游走过程与高持久性AR(1)模型的比较6.2.3带有截距项的随机游走模型如果现在假设模型(6.8)中增加了一个常数项，即

其它假设均不变。此时的模型称为带有截距项的随机游走过程

RWD的均值、方差:RWD的自协方差:RWD的自相关函数:图6-3RWD过程及其样本自相关函数6.3去除趋势的方法

在实际应用当中，平稳时间序列要比非平稳时间序列具有更多吸引人的特性。另外，平稳时间序列与非平稳时间序列在某些重要特性方面差异明显。

但是，含有趋势的时间序列却永远也不会回复到一个长期的固定水平。随机扰动对含有趋势的时间序列的影响将是长久的，表现出一种长期的记忆性。

如果含有趋势成分的非平稳时间序列参与到计量回归中，许多经典的回归估计假设条件将不再满足，所以就必须小心解释相应的统计检验和统计推断，有的情况下会出现所谓的“伪回归”现象，而有的条件下需要应用协整分析方法。

一般来说，常用的去除趋势的方法有差分法和去除趋势法，前者主要针对随机趋势非平稳时间序列，而后者主要针对含有确定性趋势的非平稳时间序列。

6.3.1差分法

差分法一般用来去除含有随机趋势的非平稳时间序列。如果从AR模型的平稳性条件来考虑，它非平稳，就是因为它的特征方程的根含有一个单位根。所以也被称为“单位根过程”，或者“一阶单整过程”，记做I(1)，其中“I”表示单整，“(1)”表示单整的阶数。

随机趋势非平稳过程可以通过差分法变为平稳过程。如果是I(1)，则一次差分即可实现，而对于I(2)过程，则可以通过两次差分获得平稳过程。

以随机游走过程为例，一阶差分就是指使用原过程获得一次差分项

的表达式，其中“

”表示差分符号。所以：

从模型方程式可以看出，基于随机游走过程的一次差分

是一个平稳的随机时序变量，因为

等于平稳白噪音过程

。图6-4RWD过程与其一次差分后的序列

以上处理方法很容易拓展到高阶单整序列。例如，假设

是一个I(2)过程，那么对其二次差分就可以获得平稳序列，即：

其中：“

”表示二次差分符号。依此类推，“

”表表示三次差分符号，而“

”表示n次差分符号。对于ARIMA(p,1,q)来说，

虽然我们这里讨论的是一阶单整形式的ARIMA模型，但二阶或者其他高阶ARIMA模型可以运用类似的思路获得平稳的差分序列。概括地说，一个ARIMA(p,d,q)过程，经过d次差分后就可以获得对应的平稳过程。6.3.2去除趋势法

当然，如果不能确定时间趋势成分是否仅为一次幂的形式，还可以采用更一般的确定性趋势非平稳序列的模型形式，如：

。

然后可以通过OLS回归，运用“向下检验法”的原则或者信息准则法确定出

的阶数，最终获得平稳序列

的估计值即可。6.3.3去除趋势的方法比较

前面小节讨论了差分法和去除时间趋势法，并且认识到不同的趋势非平稳序列需要采用不同的去除趋势成分的方法。实际上，去除含有趋势成分的非平稳时间序列的方法还有很多滤波方法。常见的有HP滤波、卡尔曼滤波，以及近年来新发展起来的BK滤波和CF滤波。图6-5去除趋势法获得的序列及其自相关函数图和部分自相关函数图

本小节开始我们还提到过其他一些常用的滤波法，利用这些方法也可以获得非平稳时间序列的平稳序列成分。HP滤波就是很常用的一种。

假定一个非平稳时间序列yt可以分解为趋势成分μt和平稳成分(yt-μt),HP滤波使用下列算法求解趋势成分μt,即最小化下列函数其中,T是样本大小,λ被称为惩罚参数(penaltyparameter),用来控制趋势成分μt的平滑程度,λ越大,该序列越平滑

从式(6.3)不难看出,当λ=0时,最小化式(6.3)的结果给出的是yt=μt,即yt序列的趋势成分等于其本身。而在另一极端情况下λ→∞,最小化式(6.33)的结果给出的是(μt+1-μt)-(μt-μt-1)=0。也就是说,在λ→∞的情况下,趋势的变化幅度是恒定的,从而趋势成分就是一个线性时间趋势,因为μt-μt-1=μt-1-μt-2

注意，因为模型(6.33)中的T并不影响函数最小化过程的实质性结果，所以有的教