湖北省随州市2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题【含答案详解】

2026年1月随州市普通高中高三年级质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.函数的极大值点为（）A.0 B. C. D.3.在梯形中，，，则（）A. B. C. D.4.一个装有水的圆柱形玻璃杯，测得其内部半径为，将一个半径为的玻璃球完全浸入水中，水没有溢出，则杯中水面上升了（）A. B. C. D.5.已知圆与抛物线交于A，B两点，若为正三角形，则（）A B. C. D.6.已知函数是定义在上偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.7.某操场的正前方有两根高度均为、相距6m的旗杆，（两根旗杆都与地面垂直）．有一条10m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则（）A. B. C. D.1m8.在正项数列中，，，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，，则（）A.的实部为1 B.的虚部为 C.为纯虚数 D.10.在等差数列和等比数列中，，，数列的前项和为，则（）A.的公差为3 B.的公比为2 C. D.11.平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，结论正确的有（）A.在图1中，可以绘制7个不同的“通路”B.在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路”C.在图2中，可以绘制7个不同的“回路”D.在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路”三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.假设某超市今年上半年每个月销售额（单位：万元）与广告支出（单位：万元）的经验回归方程为．若该超市计划明年5月份的销售额为10万元，则估计该超市明年5月份的广告支出为________万元．13.若，且，则________，________．14.如图，单位圆的圆心为坐标原点，将轴右侧半圆上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线．若水平直线与曲线交于点，则的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角、、的对边分别为、、，且．（1）求；（2）若的面积为，求的最小值．16.如图1，在中，，，D，E，F分别是，，的中点．将沿着线段翻折至的位置，连接，，得到四棱锥，如图2所示，连接．（1）证明：．（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．17.如图，甲、乙准备玩跳格子游戏，规则如下：每一轮游戏先进行成语接龙，获胜的人等可能地前进1格或2格，失败的人原地不动，一轮游戏结束．在成语接龙中，甲获胜的概率为，没有平局，且每轮比赛的结果都相互独立．（1）求第1轮游戏结束，甲前进2格的概率；（2）求第2轮游戏结束，甲前进的格数比乙前进的格数大的概率；（3）若第3轮游戏结束，甲前进的格数与乙前进的格数之和为，求的分布列与数学期望．18.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求；（3）若函数有且只有两个零点，求的取值范围．19.已知是双曲线的右焦点