2025届甘肃省高台某中学高三第一次摸底考试数学试题文试题

2025届甘肃省高台一中高三第一次摸底考试数学试题文试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=则集合A真子集的个数为（）

x+3

A.3B.4C.7D.8

2.已知数列｛q｝的前〃项和为S“，且（S”+1）（S“+2+I）=（S.M+1）2（〃WN‘），4=1,%=2,则邑=（）

〃（/7+1）,,

A.—i---LB.2C.2"-1D.2+1

2

3.在「.ABC中，角4,及。的对边分别为若c-acos8=（2a-Z?）cosA,则&A3c的形状为（）

A.直角三角形B.等腰非等边三角形

C.等腰或直角三角形D.钝角三角形

4.已知三棱锥。-43c的外接球半径为2,且球心为线段的中点，则三棱锥力-AAC的体积的最大值为（）

2416

A.—B.D.—

33cI3

UUUHUIU

5.在,.A8C中,己知AZ?AC—9，sin=cosAsinC>J八”c=6,广为线段八8上的一点，且

CB则1+一的最小值为（

+)'

CA同大）'

A."456

B.12C.一--H

123312--4

6.已知。£(0,4)，且tana=2,则cos2a+cosa=()

26-3B,正心「6+326+3

A、■------

555丁

7.为得到二二sm［二一］的图象，只需要将二:“二二的图象（）

A.向左平移二个单位B.向左平移汾单位

C.向右平移二个单位D.向右平移衿单位

8.函数/（用=sin妙3>0）的图象向右平移白个单位得到函数y=的图象，并且函数g。）在区间已刍上

•263

单调递增，在区间［《,£］上单调递减，则实数/的值为（）

32

735

A.—B.-C.2D.一

424

9.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体

包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺

安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（）

10.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才

正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积

为（）

A.（8石+4友+4）兀B.（86+8忘+4）兀

C.卜6+4及+16）兀D.（8石+8及+16）兀

4

11.^«=log23,Z>=log47,e=0.7,则实数的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cI）.c>h>a

12.函数f（x）=sin2x+/〃sinx+3x在［刍,4］上单调递减的充要条件是（）

63

o/a

A."?<-3B.m<-4C-m<---D.m<4

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候

选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比

值）最高可能为百分之________.

“我身边的榜样”评选选票

候选人符号

甲注：

1.同意圆“。”，不同意画画”.

乙2.等张旌票“。”的个数下超过2时才为有效票.

丙

14.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法

从这三个年级的学生中抽取一个容量为72（1的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取人.

15.己知三棱锥P—A8C,/%=/$=PC,,'ABC是边长为4的正三角形，D,E分别是44、A8的中点，F

为棱BCJL一动点（点。除外），乙CDE二§,若异面直线AC与。尸所成的角为见JELcos"：；,贝。。产=.

16.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋腐”意指四个面都

是直角三角形的三棱锥.某“憋瞒”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为2五，

则该几何体外接球的表面积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在以A3CDE户为顶点的五面体中，底面A8CD为菱形，NA3C=120。，AB=AE=ED=2EFfEF"AB,

点G为CD中点，平面E4O_L平面A3CO.

A

（1）证明：BDA.EG；

（2）若三棱锥/”"=4,求菱形A8CD的边长.

18.(12分)已知函数f(Y)=2ln(r+l)+qin,函数g(r)=〃.1一方In丫

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)证明：当xNO时，/(x)K3x+l.

(3)证明：当x>—l时，/(x)<(x2+2A+2)es,nr.

19.(12分)已知椭圆G：W+与=1(〃>〃>0),上顶点为8(0,1),离心率为巫，直线/:)，=依-2交y轴于。点,

a~h~2

交椭圆于P,。两点，直线8P,8。分别交x轴于点M,N.

(I)求椭圆G的方程；

(II)求证：S4BOM•SgcN为定值•

20.(12分)在aA6c中，角A,B,C的对边分别为,其中。<。，"+W=r°s(8+C).

besinCeosC

(1)求角C的值：

(2)若c=45,a=Tl叵,。为AC边上的任意一点，求AO+28。的最小值.

21.(12分)如图，在正四棱锥P-A8C。中，底面正方形的对角线4。,8。交于点。且。0=248.

(1)求直线8尸与平面PC。所成角的正弦值；

(2)求锐二面角尸。一。的大小.

22.(10分)已知椭圆£+£=l(a>〃>0),点A(l,0),3(0』)，点P满足OA+今OB=OP(其中O为坐标原

点)，点及。在椭圆。上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆的右焦点为尸，若不经过点尸的直线/：丁="+帆(攵<0,〃7>0)与椭圆。交于M,N两点.且与圆

/+),2=i相切.,MN/的周长是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

解出集合4,再由含有〃个元素的集合，其真子集的个数为2"-1个可得答案.

【详解】

解:由4={X£2|后《()♦,得人={/£2|-3〈工《0}={-2,-1,0}

所以集合A的真子集个数为2,-1=7个.

故选：C

【点睛】

此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有〃个元素的集合，其真子集的个数为2"-1个，属于基础

题.

2、C

【解析】

根据已知条件判断出数列{&+1}是等比数列，求得其通项公式，由此求得S”.

【详解】

由于(SA+1)(S“+2+1)=(S,X+1)25£N・)，所以数列{5,+1}是等比数列，其首项为工+1=4+1=2,第二项为

4

S2+l=a+«2+l=4,所以公比为/=2.所以S.+l=2",所以S“=2"-1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

3、C

【解析】

利用正弦定理将边化角，再由xin(A+A)=7nC,化简可得sinACQSH=sin4CQSA，最后分类讨论可得:

【详解】

解：因为c-acos"=(2a-〃)cosA

所以sinC-sinAcosB=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sin8cosA

所以sin(A+8)-sinAcos£?=2sinAcosA-sin8cosA

所以sinAcos8+sin8cosA-sin48sB=2sin4cos4-sinHeosA

所以sinBcos/\=sinAcosA

当cosA=()时A=工，A48C为直角三角形；

2

当COSA工0时sinA=sin笈即A=8，AA8C为等腰三角形；

・•・AA8C的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

4、C

【解析】

由题可推断出,A8C和都是直角三角形，设球心为。，要使三棱锥。一ABC的体积最大，则需满足力=。。，

结合几何关系和图形即可求解

【详解】

先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA=OB=OC,故A8c是直角三角形，设A8=x,AC=y,则有

x2+/=42>2xy,又5凶8c=gx)'，所以50眩二3个44,当且仅当x=)，=2a时，SMBC取最大值4,要使三

IIx

棱锥体积最大，则需使高〃=0Q=2,此时匕8c“=§SM^/=§X4X2=§,

故选：C

【点睛】

本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题

5、A

【解析】

在.•.人3c中，设=BC=a,AC=b,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0,可得

C=g,再由已知条件求得。=4,b=3,c=5,考虑建立以AC所在的直线为x轴，以8c所在的直线为),轴建

立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x+3y=12,然后利用基本不等式可求得’的最小值.

【详解】

在中，设=BC=a,AC=h,

.sinZ?=cosAsinC>即sin（A+C）=ccsAsinC,即sin4cosC+cosAsinC=cosAsinC,「.sinAcosC=0,

0</1<不，.,.sinA>0,/.cosC=010<C<7F»:.C=—

2

an,,八一吏1,.,,,Z?csinA4a

AB-AC=9，即cZ?cosA=9,又SASC=一〃csinA=6,/.tanA=-------,

2becosA3b

1!—=­a=4

SABC=*=6,则c力=12,所以，<〃3，解得，、c=\ja2+Z?2=5・

2加12也=3

以AC所在的直线为工轴，以AC所在的直线为).轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则C（0,（））、A（3,0）、8（0,4）,

P为线段AB上的一点，则存在实数丸使得AP=几/W=2(-3,4)=(-3Z,U)(0</l<l),

/.CP=CA+CB=（3-32,42）,

CACB一一u

设4=研则…=1,q=（1,0）,e=（0,1）,

CA2

百CAC8■/、[x=3-3/l

,消去义得4x+3y=12,••.巾+2=1,

.'CP=x--y-r—r=xel+ye2=(x,y)t

(川y=4434

7百7

iiX

所以，---=口=土+上+2”二上.—=----1---,

5y)343)，4x12V3y4x12312

当且仅当工=立），时，等号成立,

2

因此，,一！的最小值为立7

+—

x312

故选：A.

【点睛】

本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,

CA

解题的关键是理解可是一个单位向量，从而可用工、）'表示CP，建立工、）'与参数的关系，解决本题的第二个关

键点在于由、=3-32,>=44发现4.丫+3），=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属

于难题.

6、B

【解析】

分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得COS。的值，之后借助于倍角公式，将待求的

式子转化为关于COSQ的式子，代入从而求得结果.

详解：根据题中的条件，可得。为锐角,

根据iana=2,可求得cosa=@

5

而cos2ct+cosa=2cos2a+cosa-1=—+-1=—―->故选B.

555

点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法

要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.

7、D

【解析】

y=sin（2x--）=sin[2（x--）]-

试题分析：因为’36,所以为得到二=加（二-：）的图象，只需要将二二sm二的图象向

右平移讣单位；故选D.

考点：三角函数的图像变换.

8、C

【解析】

由函数/(x)=siiwx(G>0)的图象向右平移行个单位得到g(x)=s词加工-=s泳s-等)，函数g(x)在

I4141乙

区间9上单调递增，在区间三三

_03JL32_

上单调递减，可得K时，g(x)取得最大值，即(3x(-皆)=]+2%万，keZ,G>(),当k=0时，解得①=2,

故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”

的规律求解出g"),根据函数g(x)在区间会?上单调递增，在区间上单调递减可得x=?时，g(x)取

得最大值，求解可得实数①的值.

9、C

【解析】

分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有4种，

进而得到结果.

【详解】

当“数''位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有A；种情况，由间接法得到满足条件

的情况有6-C：8A；

当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有A；种，

由间接法得到满足条件的情况有6-C；A；A：

共有：+种情况，不考虑限制因素，总数有醴种，

故满足条件的事件的概率为：

故答案为：C.

【点睛】

解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类：②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解

排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.

10、C

【解析】

根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.

【详解】

最上面圆锥的母线长为2正，底面周长为2兀'2=4兀，侧面积为:X2&X4兀=40兀，下面圆锥的母线长为26，

底面周长为2兀X4=8TI,侧面积为!X2XAX8兀=8石兀，没被挡住的部分面积为兀x4?—兀x2?=12兀，中旬圆柱的

2

侧面积为27ix2xl=47r.故表面积为卜石+4夜+16）万，故选C.

【点睛】

本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.

11、A

【解析】

将〃化成以4为底的对数，即可判断〃出的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出Ac与1的大小关

系，从而可判断三者的大小关系.

【详解】

依题意,由对数函数的性质可得。=log：3=log49>/?=log47.

4

又因为c=0.7<0.7°=1=log44<log47=/?,故

故选:A.

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相

同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;

若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.

12、C

【解析】

先求导函数，函数在［£,£］上单调递减则，（幻40恒成立，对导函数不等式;换元成二次函数，结合二次函数的性质

63

和图象，列不等式组求解可得.

【详解】

依题意，f(.r)=2cos2.r+mcos.r+3=4cos2x+mcosx+1.

令cosx=f,则feg,争,故4/+〃〃+iMo在争上恒成立;

,1「C

4x—+x—+1,,0"4,-4

42,解得、

结合图象可知，1

4x-+tnx—+L,0一"3"

42

故,n“巫

3

故选：C.

【点睛】

本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法:

⑴代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角”（或利用基本三角函数的单调性列不等

式求解;

（2）图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、91

【解析】

设共有选票100张，且1,2,3票对应张数为兀乂Z,由此可构造不等式组化简得到z=x+9,由投票有效率越高z越小,

可知Zmmng，由此计算可得投票有效率.

【详解】

不妨设共有选票100张，投1票的有X,2票的有）'，3票的有2,则由题意可得：

x+2y+3z=88+75+46=209

-x+y+z=\00,化简得：z-x=9,即z=x+9,

x,y、zwN

投票有效率越高，z越小，则4=0,z=9,

故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为Wxl00%=91%.

100

故答案为：91%.

【点睛】

本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据己知条件构造出变量所满足的关系式.

14、1.

【解析】

先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.

【详解】

15005

由题意，高三学生占的比例为

1200+900+1500n

所以应从高三年级学生中抽取的人数为720*且=3(K).

12

【点睛】

本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运

算与求解能力，属于基础题.

【解析】

取AC的中点G,连接GP,GB,取PC的中点M,连接DM，/"，DF,直线AC与。尸所成的角为/MQ9,

计算M/2=/-24+2，。尸2=片_4〃+io,根据余弦定理计算得到答案。

【详解】

取AC的中点G,连接GP,GB,依题意可得AC_LGP,AC1GB,

所以AC1平面GPB,所以ACJ.PB,

因为O,E分别%、A8的中点，所以DEVBP,因为=所以PBtCD,

2

所以3月，平面P4C,故6P_L/4P,故PA=PB=PC=2叵,

故PAPRPC两两垂直。

取PC的中点连接DM,MF,DF,因为DM//AC,

所以直线AC与所成的角为ZMDF,

设CF=a(0<a44),则M/+c尸2一2加。•。/cos?=/一2々+2,

DF2=DP2+P户2=2+8+/J_2X2向x—=r/2-4^/+10.

2

\2-2a6-47

所以cosJ=---j=---r=---

4j/-4〃+IO2五2-4〃+1010

化简得(6〃+41)(2〃-5)=0,解得4=|,即。/=|.

故答案为：I

2

【点睛】

本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

16、12K

【解析】

三视图还原如下图：AB=26,BD=CD=y[i,BC=2,由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以

R=6,S=4/zTf=127,填12兀。

【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直

角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)详见解析；(2)2.

【解析】

(1)取AO中点。，连OE,OG,可得结合平面平面43CD,可证

OE1平面A5CD,进而有OEJ.47),再由底面是菱形可得AC_LAO,可得OG上BD,

可证得8Q_L平面吩，即可证明结论；

(2)设底面边长为由E尸〃A&AR=2EF,VE_rDC=^VA_rvc=^VC_AOCr求出体积，建立a的方程，即可求

出结论.

【详解】

(1)取4。中点0,连0E,

底面AACD为菱形，AB=AD=AE=ED,

：.OE1AD,平面平面/48CD,

平面平面AACD=4D,O£u平面4。石，

：,OE1平面ABCD,8。u平面ABCD,；.OE工BD,

底面A5CD为菱形，.•.AC_LBZ),

G为CD中点，OG//AC,:.OG18Dt

0GOE=O,OG,OEu平面£06,

BD上平面EOG,EGu平面EOG,;.BD工EG；

73

(2)设菱形4BCO的边长为a,则OE:——a

2

•;EF//AB,AB=2EF,

•y=—V_l_1

••VE-FBC2『A-尸8c-ABC~2vVE-ABC一/，

v_Icoc_1岛62_/_I

-XXXa

^E-ABCOEXSA/)C-—一万一

.•"=2,所以菱形A8C&的边长为2.

【点睛】

本题考查线线垂直的证明和椎体的体积，注意空间中垂直关系之间的相互转化，体积问题要熟练应用等体积方法，属

于中档题.

18、(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

(1)求出g(D的定义域，导函数,对参数〃、b分类讨论得到答案.

(2)设函数〃(x)=/(i)-(3x+l),求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.

(3)由(1)可知x>l+lnx,可得(工+1月匕1+1电彳+1)屋叫，即(x+iym21n(x+l)+sinx+l又

(x2+2x+2)esint>(x+l)2c5inx即可得证.

【详解】

(D解：晨行的定义域为(0,e)，g'(x)="S，

X

当〃>(),〃<0时，g'(x)>。，则g(x)在(。,+8)上单调递增;

/I\/1

当4>0,人>0时，令g'(x)>0，得令g<x)<0,得0<x<2

,则g(工)在上单调递减，在

上单调递增；

当。<0,b>0时,g'(x)vO,则g(x)在(0,y)上单调递减;

»jf1/i

当avO,bvO时，令夕(力>0,得0cxe令g<x)<0,得工吟贝!g")在［(),工)上单调递增，在|7+°0

上单调递减；

9

(2)证明：设函数〃(x)=/(x)-(3x+l),则〃(x)=^^+cosx-3.

人I1

2

因为所以育G(O,2],cosXG[-1,1],

则〃(x)W(),从而人(文)在[0,中功上单调递减，

所以/z(x)=/(x)-(3x+l)</?(0)=0,即/(x)W3x+l.

(3)证明：当。=〃=1时，j?(x)=x-l-lnx.

由(1)知，g(x)nin=g(l)=°，所以g(x)=x-l-InxNO,

即xNl+lnx.

当x>-l时，(x+l)2>0,(x+1)2esinx>0,

2sinv

则(x+/N^l+ln[(x+l)e],

即(x+1)2esinv〉2In(x+1)+sinX+1,

sinr

又+2.r+2产>(x+1,e,

所以(丁十21+2*g>21n(x+l)+sinx+l,

即/(x)<(f+2x+2)a”.

【点睛】

本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.

19、(I)f+Vf；(H)证明见解析•

【解析】

(I)根据题意列出关于。，b,C的方程组，解出。，b,C的值，即可得到椭圆G的方程;

(II)设点尸(为，y),点。(占，为)，易求直线8P的方程为：)=1二里14，令)，=0得，％”=丁匚，同理可得

X=；~—>所以

N12

113vx

=TX1X|XWIX-X3xIxv1=-XI-I,联立直线/与椭圆方程，利用韦达定理代入上式,

2249-3〃(玉+&)+xtx2

化简即可得到邑sw•S^JICN=2,

【详解】

b=\

£=V2

(I)解：由题意可知:

a2

a2=b2+c2

..椭圆G的方程为：y+y2=l；

(II)证：设点P(xt,x),点Q(X2,y2),

fy=kx-2

联立方程<X22消去)'得：(1+2片)炉—6=0,

—+y2=l

、2-

8k6…

x.+x=-----,xx,=------①,

1-21+2r1-1+2公

点P(X，y),5(0J),

••直线8P的方程为：令》=0得，1=卢~0),

一y

x,

同理可得N(,0),

If

1133

二S3/Sw=-xlx|xA/|x-x3x|xA,|=-x|xA/.xiV|=-x|

乙N■'i-xif

2x|।=，|

2I,

4(3_左4)(3—履2)49-3A(X+x,)+kxtx2

6

31+2公36_1+2攵

把①式代入上式得：SM,“・SA8C，=WX

八24二6k241+2公,~9-2

9-------1------

1+2无21+2公

为定值5•

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解；关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式，利用

韦达定理化简三角形面积得到定值：考查计算能力与推理能力，属于中档题.

20、(1)一；(2)9+27JJ.

4

【解析】

(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果;

27

(2)在AAAC中，由余弦定理得。=AC=63,在MCZ)中结合正弦定理求出从而得出CD,即可

sine?

得出)，=4。+24。的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出4)+28。的最小值.

【详解】

(1)出

sinCeosC

c,cosA

「・2cosA=­；--------9

sinCcosC

由题知，则NAvNC,贝iJcosA/0

.\2sinCcosC=l>

/.sin2C=L

.-.c=-：

4

(2)在AA8c中，由余弦定理得=。2-从-2aZ?cosC,

.\b=AC=63»

设N8OC=dAv8<红，其中sinA=3.

45

BD_BC

在二BCD中,.TCsin0»

sin一

4

.BD2772

♦•六一丽’

4

二.BD=——,

sin。

8=辱.345。)=生吟辿，

sin。、/sin。

b,i5“A27(sin^+cos0)2x27”____2-a)s0

所以y=AD+2BD=63----------------+-----=36-27+27x--------,

sin。sin。sin。

2-cos^_2-cos。

sin。0-sin^'

所以，的几何意义为(0,2),(sin&cos0)两点连线斜率的相反数,