2025年全国初中数学联赛真题解析与答案汇编

“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛

试题参照答案及评分原则

一、选择题（共5小题，每题6分，满分30分.每题均给出了代号为A,B,C,D

的四个选项，其中有且只有一种选项是对的的.请将对的选项的代号填入题后的括号里.

不填、多填或错填都得0分）

424

（1）已知实数X,y满足-7一一7=3,/+/=3,则一r+寸的值为（A）.

Xx~X

⑻呼©等(D)5

解：由于』＞0,),2"，由己知条件得

12+74+4x4x31+V13)-1+71+4x3T+而

~r=--------------=------，V*-----------------------

X28422

49?

因此一r+y^r+B+B—Vur—V+Gn7.

XXX

（2）把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投

掷2次，若两个正面朝上的编号分别为,小〃，则二次函数），=/+〃a+〃的图象与不轴

有两个不一样交点的概率是（C）.

(A)—（3）（吗(D)-

12?2

解：基本领件总数有6义6=36,即可以得到36个二次函数.

由题意知△=J%?-4〃＞0,即〃「＞4〃.

17

通过枚举知，满足条件的〃?，〃有17对.故P二一.

36

（3）有两个同心圆，大圆周上有4个不一样的点，小圆周上有2个不一样的点，则

这6个点可以确定的不一样直线至少有（B）.

（A）6条（B）8条

13条（D）12条

解：如图，大圆周上有4个不一样的点儿B,C,D,

两两连线可以确定6条不一样的直线；小圆周上的两个

点反〃中，至少有一种不是四边形川皎的对角线AC

B

与物的交点，则它与4B,C,〃的连线中，至少有两条不一样于4B,C,〃的两两连

线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.当这6个点如图所示放置时，恰好可以

确定8条直线.因此，满足条件的6个点可以确定的直线至少有8条.

（4）已知A3是半径为1的圆。的一条弦，且=认为A8一边在圆。内，乍正

△ABC,点。

为圆。上不一样于点4的一点，且。8=A8=a,DC

的

延长线交圆。于点£,则AE的长为（B）.

（A）—a（B）1

2

(C)—(D)a

2

解：如图，连接应OA,0B,设NO=a,

则ZEC4=120。-a=ZEAC.

又由于/八80=348£）=3（60。+180。-2a）一120。一口,

因此/MCEg△A8。，于是AE=Q4=1.

（5）将1,2,3,4,5这五个数字排成一排，最终一种数是奇数，且使得其中任意

持续三个数之和都能被这三个数中的第一种数整除，那么满足规定的排法有（D）.

（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种

解：设q,a2,av%是1，2,3,4,5的一种满足规定的排列.

首先，对于q,%，%4,不能有持续的两个都是偶数，

否则，这两个之后都是倡数，与已知条件矛盾.

又假如生（1W1W3）是偶数,4讨是奇数，则4+2是奇数，

这阐明一种偶数背面一定要接两个或两个以上的奇数，

除非接的这个奇数是最终一种数.

因此q,生，%，/，4只能是：偶，奇，奇，偶,奇，有如下5种情形满足条件:

2,1,3,4,5；2,3,5,4,1；2,5,1,4,3：

4,3,1,2,5；4,5,3,2,1.

二、填空题（共5小题，每题6分，满分30分）

（6）对于实数u,v,定义一种运算“*”为：w*v=Wv+v.若有关x的方程

3*(4*幻=一1有两个不一样的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是__________

4

【答】a>0,或a<-l.

解：由x*(a*x)=-L,得(。+1)/+(。+1)工+」=0,

44

。+1。0,

依题意有，解得，«>0,或。<一1.

△=3+1)2_(〃+1)>0,

(7)小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟

从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相似，并且18路公交车总

站每隔固定期间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟.

【答】4.

解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是)，米/分，同向行驶的相邻

两车的间距为s米.

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6/-6y=s.①

每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，贝U3x+3y=s.②

由①，②可得s=4x,因此-=4.

x

即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.

(8)如图，在△ABC中，AF7,力6M1,点M是8。的中点，是N砌。的平分线,

MF//AD,则用的长为.

【答】9.

解：如图，设点A，是力。的中点，连接机M

则柳,〃力反又MFHAD,

因此/FMN=/BAD=/DAC=AMFN,

因此FN=MN==AB.

2

因此FC=FN+NC=、AB+LAC=9.

22

(9)△力砥中，AB=7,BC=8,。=9,过△//回的内切圆圆心/作比'〃84分别与

他力。相交于点仅总则庞、的长为

■田、16

【答】—.

3

解：如图，设△月灰的三边长为a,b,c,内切圆/的半径为八比'边上的高为儿,

则;叫=5%时=：（。+。+少，

因此上=-^—

haa+b+c

由于AADESAABC,因此它们对应线段成比例,

.,../?.-rDE

因此———二——

儿BC

“八…h“一r”『、八a、a(b+c)

因此DE=」——a=(\——)a=(1--------)a=---------

hahaa-\-b+ca+b+c

〃八厂8x(74-9)16

故OE=--------=—

8+7+93

（10）有关*,y的方程/+、2-208（不一＞?）的所有正整数解为

x=48,工=160,

【答】

y=32,\y=32.

解：由于208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以

4所得的余数为1,因此必y都是偶数.

设x=2。，），=如，则〃+/=1043—〃），

同上可知，巴人都是偶数,设。=2c,b=2d,则/+d2=52（c—d）,

因此，C,d都是偶数.设c=2s,d=2r,则/+r=26(ST),

于是(5—13)2+0+13)2=2x132,其中S,，都是偶数.

因此(S—13)2=2x13?-7+13)2<2x132—15?<1-.

因此卜一13|也许为1,3,5,7,9,进而"+13)2为337,329,313,289,257,故

s=6,f5=20,x=48,x=160,

只能是(f+13)~=289,从而|s—13]=7.有"V故＜

r=4；r=4,y=32,Iy=32.

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

(11)在直角坐标系xOy中，一次函数〉=Zx+/?(攵=0)的图象与x轴、y轴的正

半轴分别交于力，8两点，且使得△。出的面积值等于|。川+|0邳+3.

(I)用。表达A；

(II)求△Q48面积的最小值.

解：(I)令x=0,得>=〃，/?>0；令y=0,得K=-2>0,k<0.

k

因此43两点的坐标分别为A0)4(0,。)，

k

于是，的面积为S二•(一2).

2k

由题意，有1/7.(--)=--+/7+3,

2kk

f12

解得k=，b>2...............5分

2(〃+3)

(II)由(I)知

c1,Ab.仇〃+3)(。—2)2+73—2)+10

2kb-2b-2

=/?-2+y^+7=G^2-^^)2+7+2x/10^7+2Vi0,

当且仅当Z?—2=—9时，有s=7+2ji6,

b—2

即当力=2+JiG,z=—i时，不等式中的等号成立.

因此，△。48面积的最小值7+2对.............15分

(12)已知一次函数y=2x,二次函数必=f+l.与否存在二次函数

y^a^+bx+c,其图象通过点(一5,2),且对于任意实数x的同一种值，这三个函

数所对应的函数值)1，力，力，均有乃W%W)，2成立？若存在，求出函数为的解析

式：若不存在，请阐明理由.

解：存在满足条件的二次函数.

由于y—必=2x—（X?+1）=—x~+2.x—1=—（x-1）*WO,

因此，当自变量X取任意实数时，%均成立.

由已知，二次函数为=ad+云+。的图象通过点（一5,2）,

得25。一5"。=2.①

当x=1时，有y=%=2，%=。+8+。,

由于对于自变量X取任意实数时，月W），3W乃均成立，

因此有2Wa+〃+cW2,故a+〃+c=2.②

由①，②，得〃=4a,c=2-5a,因此为=b2+4公+（2-5。）......5分

当为时，有2xWfix?+4依+（2—5。），

即ax123+（4a—2）x+（2-5a）>0,

因此二次函数y=a$+(4。-2)工+(2-5。)对于一切实数x,函数值不小于或等于

>0,fa>0,|

故〈,即《9因此〃=_.............10分

[(44-2)2—4〃(2—5〃)(0.[(367-I)2<0,3

当为Wy2时，有at?+4ar+(2-5。)Wf+1，

即(1—〃)尸—4ax+(5。—1)20,

因此二次函数），=（1一。）工2-4以+（5。-1）对于一切实数一函数值不小于或等于

零,

1-tz>0,a<L1

故,即因此a=-

(-4^)2-4(1-tz)(5^-l)<0.(367-1)2<0,3

141

综上，a--,b=4a=—,c=2-5a=­.

333

1.41

因此，存在二次函数），3=—/+—1+一，在实数范围内，对于犬的同一种值,

3333

均有>'l<>3忘力成立.15分

（13）与否存在质数0，q,使得有关x的一元二次方程〃V—gx+〃=O

有有•理数根?

解：设方程有有理数根，则鉴别式为平方数.令△=^-4〃2=〃2,

其中〃是一种非负整数.则（q一〃）（g+〃）=4P之5分

由于且g-〃与q+〃同奇偶,故同为偶数.

因此，有如下几种也许情形：

q-n=2,=4,q-n-p,q-n=2p,q-n=

夕+〃=2〃)q+n=p)夕+〃=4夕+〃=2p,q+n=4.

消去〃,

解得q="2+].夕=2啖,Q=~~Fq=2p，夕=2+g-

10分

对于第1,3种情形，〃=2,从而q=5；

对于第2,5种情形，p=2,从而。=4（不合题意，舍去）；

对于第4种情形，°是合数（不合题意，舍去）.

又当〃=2,q=5时，方程为2X2_5X+2=0,它的根为七=,，芍=2,它们都

2

是有理数.

综上所述，存在满足题设的质数.............15分

（14）如图，△A8C的三边长8C=a,C4=Z?,AB=c,a,