2025年大学大三（理学）专业拓展能力测试题及答案

2025年大学大三（理学）专业拓展能力测试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本卷共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，在区间[0,3]上，该函数的最小值是（）A.0B.-2C.2D.-12.若复数z满足(1+i)z=2i，则z的共轭复数为（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则(a+b)·(a-b)等于（）A.0B.3C.4D.54.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn取最小值时，n等于（）A.6B.7C.8D.95.已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的离心率为（）A.√5/2B.√5C.3/2D.26.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A.2,-π/6B.2,-π/3C.4,-π/6D.4,-π/37.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于（）A.1/8B.1/4C.2/5D.1/28.已知函数f(x)=e^x-e^(-x)，若f(a-1)+f(2a²)≤0，则实数a的取值范围是（）A.[-1,1/2]B.[-1/2,1]C.(-∞,-1]∪[1/2,+∞)D.(-∞,-1/2]∪[1,+∞)9.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=AB=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A.20πB.16πC.12πD.8π10.已知函数f(x)=x²-2ax+1，若对任意x∈[1,+∞)，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)第II卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.曲线y=x²+1在点(1,2)处的切线方程为______。12.已知数列{an}的前n项和Sn=n²+2n，则an=______。13.若x，y满足约束条件x+y≥2，x-y≤2，y≤2，则z=x+3y的最大值为______。14.已知函数f(x)=log₂(x²+ax+1)的值域为R，则实数a的取值范围是______。三、解答题（本大题共3小题，共30分）答题要求：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²+b²-c²=ab。（1）求角C的大小；（2）若c=√7，a+b=5，求△ABC的面积。16.（10分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=(an+1)log₂(an+1)，求数列{bn}的前n项和Tn。17.（10分）已知函数f(x)=x³-3x²+2x。（1）求函数f(x)的极值；（2）若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根，求实数k的取值范围。四、材料分析题（本大题共1小题，共15分）材料：在物理学中，有一个重要的概念——电场强度。电场强度是用来描述电场力的性质的物理量，它的定义式为E=F/q，其中E表示电场强度，F表示电场力，q表示试探电荷的电荷量。电场强度是矢量，其方向与正电荷在该点所受电场力的方向相同。问题：（1）（5分）若一个试探电荷在电场中某点所受电场力为2×10⁻⁵N，电荷量为5×10⁻⁸C，求该点的电场强度大小。（2）（10分）在一个匀强电场中，电场强度E=2×10³N/C，有一个带电荷量q=-3×10⁻⁶C的点电荷。求该点电荷在电场中所受电场力的大小和方向。五、综合应用题（本大题共1小题，共15分）材料：在实际生活中，有许多问题可以通过数学建模来解决。例如，某工厂生产一种产品，每件产品的成本为30元，售价为50元。该厂为了提高产品的市场竞争力，决定进行技术改造，预计改造后每件产品的成本将降低x元，售价不变。同时，由于技术改造，该厂的年产量将提高10x件。问题：（1）（5分）写出改造后该厂的年利润y（元）与x（元）之间的函数关系式。（2）（10分）当x为何值时，改造后该厂的年利润最大？最大年利润是多少？答案：1.B2.B3.B4.A5.B6.A7.B8.A9.C10.A11.4x-y-2=012.2n+113.814.(-∞,-2]∪[2,+∞)15.（1）由余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，已知a²+b²-c²=ab，所以cosC=ab/(2ab)=1/2，又0<C<π，所以C=π/3。（2）由c²=a²+b²-2abcosC，c=√7，C=π/3，可得7=a²+b²-ab=(a+b)²-3ab，又a+b=5，所以7=25-3ab，解得ab=6，所以△ABC的面积S=1/2absinC=1/2×6×√3/2=3√3/2。16.（1）由an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an+1=2ⁿ，即an=2ⁿ-1。（2）bn=(an+1)log₂(an+1)=2ⁿ·n，所以Tn=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，2Tn=1×2²+2×2³+…+(n-1)×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，两式相减得-Tn=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=2(1-2ⁿ)/(1-2)-n×2ⁿ⁺¹=(1-n)2ⁿ⁺¹-2，所以Tn=(n-1)2ⁿ⁺¹+2。17.（1）f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3。当x<1-√3/3或x>1+√3/3时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当1-√3/3<x<1+√3/3时，f'(x)<0，f(x)单调递减。所以f(x)的极大值为f(1-√3/3)=(1-√3/3)³-3(1-√3/3)²+2(1-√3/3)=(5√3-9)/9，极小值为f(1+√3/3)=(1+√3/3)³-3(1+√3/3)²+2(1+√3/3)=-(5√3+9)/9。（2）由（1）可知f(x)的图象大致形状，要使方程f(x)=k有三个不同的实根，则k的取值范围是-(5√3+9)/9<k<(5√3-9)/9。18.（1）根据电场强度定义式E=F/q，可得E=2×10⁻⁵/(5×10⁻⁸)=400N/C。（2）根据F=Eq，可得F=2×10³×3×10⁻⁶=6×10⁻³N，因为电场强度方向与正电荷所受电场力方向相同，该点电荷带负电，所以电场力方向与电场强度方向相反。19.（1）改造后每件产品成本为30-x元，年产量为(10x+原年产量)，设原年产量为m件，则y=(50-(30-x))(10x+m)=(20+x)(10x+m)=200x+20m+10x²+mx。（2）y=10x²+(200+m)x+20m，对于二次函数y=ax²+bx+c，当x=