河南省开封市2026届高三第一次质量检测数学试题（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省开封市2026届高三第一次质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合A={xx<3}A．1,2 B．3,4 C．2．已知复数z满足1+iz=iA．12 B．22 C．23．已知log2m−A．mn=2C．2m=n4．已知fx=ex+aeA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0A．33 B．36 C．2−6．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，AB=4,AA．38kg B．48kg C．57kg D．7．菱形ABCD的边长为2，∠A=60∘,M为CA．2+532 B．4+58．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为aA．64 B．144 C．394二、多选题9．以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（

）A．图（1）中成对样本数据呈负相关B．图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强C．图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数D．若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变10．已知直线l:ax+by=A．若点P在直线l上，则直线l与圆C相切B．若点P在圆C外，则直线l与圆C相离C．若点P在圆C内，且异于原点，则直线l与圆C相离D．若点P在圆C上，则直线l与x轴，y轴围成的三角形面积的最小值为111．已知正方体A1A2A3A4−A5AA．5 B．6 C．7 D．3三、填空题12．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4+13．写出一个同时具有下列性质①②的函数fx=①fx1fx214．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>四、解答题15．在直角坐标系xOy中，点P到y轴的距离等于点P到点F2,0(1)求W的方程；(2)经过点F且斜率为1的直线l交W于A，B两点，求AB16．已知函数fx=sinx+acos(1)求实数a的值；(2)求函数fx在区间017．如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，Q是母线PA的中点，点C，D在底面圆周上，且∠AOC=π3，点(1)证明：CD(2)若△PAB是正三角形，求直线P18．袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第k次取出的球放入如图所示的编号为k的抽屉里k=1234567(1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率；(2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为X，求X的分布列和数学期望EX(3)记“从左往右数，任意前i个抽屉中i=1,2,19．若数列an满足：对任意n∈N*n≥3，总存在i,j(1)求a3(2)若对任意n∈N*n≥2，(3)在（2）的条件下，记Sn为数列an的前n项和，证明：对任意n∈答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南省开封市2026届高三第一次质量检测数学试题》参考答案题号12345678910答案ABDBAADDABACD题号11答案ABD1．A【分析】由交集运算法则可得结果.【详解】由交集运算可知，{x故选：A.2．B【分析】根据复数的乘法和除法运算求出z，再根据复数的模求解.【详解】因为1+iz=i故选：B3．D【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意，log2m−故选：D4．B【分析】充分性证明：根据a2=1，解得a代入fx并根据奇函数定义判断；必要性证明：根据奇函数定义求【详解】证明充分性：因为a2=1，解得a=±1，当a=当a=-1时，fx=证明必要性：若fx为奇函数，则f-x整理得ex+e-xa+综上所述“a2=1故选：B.5．A【分析】由题意求出|F1A【详解】因为△ABF1是等边三角形，所以F2A=所以F1A+又F1所以椭圆C的离心率为e=故选：A6．A【分析】假设从“方斗”中取出74kg米后，米的高度下降一半至平面A2B2C【详解】假设从“方斗”中取出74kg米后，米的高度下降一半至平面A由题意可知正四棱台ABCD−A因为AB=4则VAVA设剩余的米的质量为xkg则VABC所以剩余的米的质量为38kg.故选：A7．D【分析】根据向量的运算法则可得AM【详解】如图，连接AM,AN,

所以AB⋅AD=AB因为M为CD的中点，N为BC的中点，所以所以AM⋅AN=14故选：D.8．D【分析】先由两角和差的余弦公式经过拆角变形为cosA+cos【详解】因为B=cosAcosA由正弦定理可知b2sinAsinC因为A−C∈所以cosA所以cosA故选：D.9．AB【分析】根据相关系数的定义和意义进行辨析即可.【详解】对于A：图（1）中，随着x增大，y整体呈减小趋势，因此成对样本数据呈负相关，A正确；对于B：图（1）中数据点更贴近直线，线性相关程度比图（2）（数据点分散）强，B正确；对于C：图（1）的线性相关性强，负相关的相关系数接近−1；图（2）线性相关性弱，相关系数绝对值小（接近0）.因此图（1）的相关系数（负数，绝对值大）小于图（2）的相关系数（接近0），C错误；对于D：从图（2）中抽取部分样本，数据分布会改变，相关系数会变化，D错误.故选：AB.10．ACD【分析】通过计算圆心到直线的距离，结合点与圆的位置关系（点的坐标满足的不等式），判断直线与圆的位置关系；对面积问题，利用基本不等式推导最小值.【详解】由题意得圆C:x2+y圆心到直线l:ax选项A：点P(a,b)在直线l直线l与圆C相切，故A正确.选项B：点P在圆C外，则a2+b直线l与圆C相交，故B错误.选项C：点P在圆C内，则a2+b直线l与圆C相离，故C正确.选项D：点P在圆C上，则a2直线l与x轴交于(1a,0)（a≠0围成三角形的面积为S=由a2+b2≥当且仅当|a故选：ACD11．ABD【分析】建立空间直角坐标系，可得到AiAj【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则A10,0,0，A21,0,0，所以AiAj1,−1又由A=AiAj所以a,b∈B，不妨取a=不妨取a=1,0,由于12+12+12<7不妨取a=1,0,故选：ABD12．32【分析】由等差数列的求和公式和下标的性质计算可得.【详解】因为等差数列an的前n项和为Sn，若所以S8故答案为：32.13．3x（答案不唯一，f【分析】设fx=axa>0,a≠1，验证函数f【详解】设fx因为fx1f且fx1f因为f′x=ax若0<a<1，则lnaax若a>1，lna>0，当x当a>1时，函数y=故函数y=ax所以其函数值大于limx所以要使axlna>1故当a≥e时，所以fx=3故答案为：3x（答案不唯一，f14．2【分析】根据已知条件求出双曲线渐近线方程、焦点坐标、点A,B,【详解】因为双曲线C:x2所以F1-c因为过点F1的直线与y轴有交点D设该直线方程为y=kxy=kxy=kx所以S△AF由题意知，S△AF化简得4b-aBDA所以BDAD=k所以BD故答案为：23

15．(1)y(2)8【分析】（1）先设点P的坐标为x,（2）先求出直线l的方程，再利用距离公式即可求出.【详解】（1）设点P的坐标为x,y，依题意得化简得y2=4x−（2）直线l过点F且斜率为1，∴直线l为y−0=设Ax联立y2=，则x1又AB=x得ABx1AB16．(1)a(2)最大值为10，最小值为1．【分析】（1）由题可得f′（2）由（1）利用导数可判断fx在0【详解】（1）f′x=cosx（2）令f′x=令gx=f′x，则g记tanθ则x∈0,所以fx在x又因为sinθ所以fθ又f0比较可得：函数fx在区间0,π17．(1)证明见解析.(2)155【分析】（1）先证明平面QOC//平面P（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PBD的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线PA【详解】（1）连接OQ，OD，因为Q是PA中点，O是AB中点，则QO//P所以QO//平面PBD，又因为QM所以平面QOM//平面PBD又平面QOC∩平面ABCD=所以∠OBD=∠所以BD=OD=所以CD（2）取CD的中点N，连接O由（1）知∠O又OC=OD，所以△O以O为坐标原点，分别以ON，OB，OP为x，y建立空间直角坐标系O−不妨设AB=2则A0,−r,0，则AP=0,设n=x,由n⋅BP令x=1，则得平面PB所以cosn所以，直线PA与平面PBD18．(1)3(2)分布列见解析，16(3)2【分析】（1）分第一次取出白球或黑球的情况，通过全概率公式计算编号为2的抽屉里放黑球的概率.（2）确定X的可能取值，利用组合数计算各取值对应的概率得到分布列，再根据期望公式计算数学期望.（3）先确定编号为1的抽屉必放白球，分符合条件的不同情况计算概率，求和得到事件C的概率.【详解】（1）设A=“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则P（2）X的可能取值为1，2，3，4，PP用表格表示分布列，如下表所示：X1234P418121E（3）依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况：①序列前缀为：白黑白白……，P1②序列前缀为：白黑白黑白……P③序列前缀为：白白黑白……，P3④序列前缀为：白白黑黑白……P⑤序