上海市浦东新区建平中学2026届高二上数学期末达标检测试题含解析

上海市浦东新区建平中学2026届高二上数学期末达标检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地.用来展示校友的书画作品.靠墙一侧不需要围栏，则围栏总长最小需要（）米A.20 B.40C. D.2．在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列四个命题中真命题的个数是（）①若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆③若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆④若点P到平面的距离与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线A.1 B.2C.3 D.43．函数在处的切线方程为()A. B.C. D.4．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（）A.3 B.4C.6 D.5．函数的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.66．如图，空间四边形中，，，，且，，则（）A. B.C. D.7．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）A. B.C. D.8．在中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.19．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为（）A. B.3C. D.610．已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则其前项和取得最大值时，的值为（）A.12 B.13C.12或13 D.13或1411．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（）A.的极值点一定是最值点B.的最值点一定是极值点C.在区间上可能没有极值点D.在区间上可能没有最值点12．在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为（）A.4 B.6C.8 D.10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为_________14．已知向量，，且，则实数______.15．小明同学发现家中墙壁上灯光边界类似双曲线的一支.如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为____cm.16．圆关于直线的对称圆的标准方程为_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在①，②，③，，成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列中，公差不等于的等差数列满足_________，求数列的前项和.18．（12分）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成列联表.低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计（2）若从低学历的被调查者中随机抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率：（3）根据列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.19．（12分）已知公差不为的等差数列的首项，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线交于，其中的周长为的离心率为.（1）求的方程；（2）已知的重心为，设和的面积比为，求实数的取值范围.21．（12分）已知圆，直线（1）证明直线与圆C一定有两个交点；（2）求直线与圆相交的最短弦长，并求对应弦长最短时的直线方程22．（10分）已知等差数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】在出矩形中，设，得到，结合基本不等式，即可求解【详解】如图所示，在矩形中，设，则，根据题意，可得矩形围栏总长为因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即围栏总长最小需要米.故选：B.2、C【解析】根据线面关系、距离关系可分别对每一个命题判断.【详解】若点P总满足，又，，，可得对角面，因此点P的轨迹是直线，故①正确若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是以点B为圆心，以1为半径的圆（在平面内），因此圆的周长为，故②正确点P到直线AB的距离PB与到点C的距离PC之和为1，又，则动点P的轨迹是线段BC，因此③不正确点P到平面的距离（即到直线的距离）与到直线CD的距离（即到点C的距离）相等，则动点P的轨迹是以线段BC的中点为顶点，直线BC为对称轴的抛物线（在平面内），因此④正确故有①②④三个故选:C3、C【解析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒【详解】，，，，在处的切线为：，即﹒故选：C﹒4、A【解析】求得，由此求得四边形的面积.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，所以，由、两式相减并化简得，即直线的方程为，到直线的距离为，所以，所以四边形的面积为.故选：A5、C【解析】结合基本不等式求得所求的最小值.【详解】，，当且仅当时等号成立.故选：C6、C【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为，又因为，，所以.故选：C7、B【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.【详解】因为，故可得，则，又，令，解得，令，解得，故在单调递减，在单调递增，又，故在区间上的最小值为.故选：.8、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.9、C【解析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，，∴，∴，∴，故选：C10、C【解析】设等差数列的公差为q，根据，，成等比数列，利用等比中项求得公差，再由等差数列前n项和公式求解.【详解】设等差数列的公差为q，因为，且，，成等比数列，所以，解得，所以，所以当12或13时，取得最大值，故选：C11、C【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断【详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确故选：C.【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题12、C【解析】首先求点的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数的取值范围.【详解】设，，的中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，问题转化为圆与圆有交点，所以，，即，解得：，所以线段长度的最小值为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】将代数式变形为，写出展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项即可求解.【详解】由展开式的通项为，令，得展开式中的系数为.由展开式的通项为，令，得展开式中的系数为.所以的展开式中的系数为.故答案为：.14、【解析】利用向量平行的条件直接解出.【详解】因为向量，，且，所以，解得.故答案为：.15、【解析】建立直角坐标系，利用代入法、双曲线的对称性进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设双曲线的标准方程为：，因为该双曲线的渐近线相互垂直，所以，即，因为AB=60cm，PC=20cm，所以点的坐标为：，代入，得：，因此有，所以该双曲线的焦距为，故答案为：16、【解析】先将已知圆的方程化为标准形式，求得圆心坐标(2,2)和半径2，然后可根据直线的位置直接看出(2,2)点的对称点，进而写出方程.【详解】圆的标准方程为，圆心(2,2),半径为2，圆心(2,2)关于直线的对称点为原点,所以所求对称圆标准方程为，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、详见解析【解析】根据已知求出的通项公式.当①②时，设数列公差为，利用赋值法得到与的关系式，列方程求出与，求出，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选②③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，解出与，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选①③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，发现无解，则等差数列不存在，故不合题意.【详解】解：因为，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，选①②时，设数列公差为，因为，所以，因为，所以时，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.选②③时，设数列公差为，因为，所以，即，因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.选①③时，设数列公差为，因为，所以时，，所以.又因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而无解，所以等差数列不存在，故不合题意.【点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了错位相减法在数列求和中的应用，考查了转化能力与方程思想，属于中档题.18、（1）列联表答案见解析；（2）；（3）没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.【解析】(1)根据给定表中数据列出列联表作答.(2)利用给定条件结合古典概率公式计算作答.(3)利用(1)中信息求出的观测值，再与临界值表比对作答.【小问1详解】列联表如下：低学历高学历合计不了解数字人民币150125275了解数字人民币250275525合计400400800【小问2详解】由(1)知，被调查者中低学历的有400，其中不了解数字人民币的有150，从400人中任取2人有个基本事件，它们等可能，被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的事件A有个基本事件，所以被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率.【小问3详解】由(1)知，的观测值为，所以没有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.19、（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于实数的等式，结合可求得的值，由此可得出数列的通项公式；（2）利用裂项求和法求出，解不等式即可得出结果.【小问1详解】解：设等差数列公差为，则，由题意可得，即，整理得，，解得，故.【小问2详解】解：，所以，，由得，可得，所以，满足成立的最大的正整数的值为.20、（1）（2）【解析】（1）已知焦点弦三角形的周长，以及离心率求椭圆方程，待定系数直接求解即可.（2）第一步设点设直线，第二步联立方程韦达定理，第三步条件转化，利用三角形等面积法，列方程，第四步利用韦达定理进行转化，计算即可.【小问1详解】因为的周长为，的离心率为，所以，，所以，，又，所以椭圆的方程为.【小问2详解】方法一：，，的面积为，的面积为，则，得，①设，与椭圆C方程联立，消去得，由韦达定理得，.令，②则，可得当时，当时，所以，又解得③由①②③得，解得.所以实数的取值范围是.方法二：同方法一可得的面积为，的面积为，则，得，①设，与椭圆C方程联立，消去得，由韦达定理得，.所以因为，所以解得②由①②解得.所以实数的取值范围是.21、（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】（1）由，变形为求解直线过的定点，即可得解；（2）法一：由圆心和连线与直线垂直求解；法二：由圆心到直线距离最大时求解.【小问1详解】解：，所以，令，所以直线经过定点，圆可变形为，因为，所以定点在圆内，所以直线和圆C相交，有两个交点；【小问2详解】法一：圆心为，到距离为，圆心与连线的斜率为，最短弦与圆心和的连线垂直，所以，所以最短弦长为，直线的方程为法二：圆心到直线距离：，，要求d的最大值，则，当且仅当时，d的最大值为，所以最短弦长为，直线的方程为.22、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据等差数列的性质及题干条件，可求得，代入公式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法，即可求得，即可得证.【详解】解：（1）设数列的公差为，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以数列的通项公式为：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因为，所以.【点睛】数列