河北省衡水市深州市长江中学2026届数学高二上期末监测模拟试题含解析

河北省衡水市深州市长江中学2026届数学高二上期末监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）2．已知是两个数1，9的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A.或 B.或C. D.3．抛物线的准线方程为（）A B.C. D.4．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为9，则点P的纵坐标为（）A. B.C.6 D.75．若椭圆的一个焦点为，则的值为（）A.5 B.3C.4 D.26．函数的大致图象是（）A. B.C. D.7．等差数列中，为其前项和，，则的值为（）A.13 B.16C.104 D.2088．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值9．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）A. B.C.2 D.10．如图，四面体-，是底面△的重心，，则（）A B.C. D.11．设，若，则（）A. B.C. D.12．已知1与5的等差中项是，又1，，，8成等比数列，公比为，则的值为（）A.5 B.4C.3 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与平行，则___________.14．设函数为奇函数，当时，，则_______15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________；16．已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，分别是椭圆C：的左，右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.（1）求椭圆C的方程；（2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究点M，，N是否一定共线？说明理由.18．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，（1）求证：；（2）求直线与所成角的余弦值19．（12分）设函数过点（1）求函数的单调区间和极值（要列表）；（2）求函数在上的最大值和最小值.20．（12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示（1）请将字母F，G，H标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）：（2）若且有下面两个条件：①；②，请选择其中一个条件，使得DF⊥平面，并证明你的结论21．（12分）已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线，与直线和椭圆分别交于两点，（与不重合）.判断以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.22．（10分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（1）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值；（3）若面与面所成二面角的大小为，求的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】构造函数h（x）＝f（x）g（x），由已知得当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集【详解】设h（x）＝f（x）g（x），因为当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）＝0，所以函数y＝h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A【点睛】本题考查导数乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题2、A【解析】根据题意可知，当时，根据椭圆离心率公式，即可求出结果；当时，根据双曲线离心率公式,即可求出结果.【详解】因为是两个数1，9的等比中项，所以，所以，当时，圆锥曲线，其离心率为；当时，圆锥曲线，其离心率为；综上，圆锥曲线的离心率为或.故选：A.3、D【解析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程.【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，故选：D.4、D【解析】设出P的纵坐标，利用抛物线的定义列出方程，求出答案.【详解】由题意得：抛物线准线方程为，P点到抛物线的焦点的距离等于到准线的距离，设点纵坐标为，则，解得：.故选：D5、B【解析】由题意判断椭圆焦点在轴上，则，解方程即可确定的值.【详解】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.故选：B.6、A【解析】由得出函数是奇函数，再求得，，运用排除法可得选项.【详解】法一：由函数，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B；因为，所以排除D；因为，所以排除C，故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7、D【解析】利用等差数列下标的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】由，所以，故选：D8、C【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；根据函数的导数图象，函数在时，，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数处取得极小值，故正确，故选：9、D【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则,,,设点,故，，.设设平面的法向量为，则即，取，则.所以点到平面距离.当，即时，距离有最大值为.故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.10、B【解析】根据空间向量的加减运算推出，进而得出结果.【详解】因为，所以，故选：B11、B【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.【详解】因为，且，所以.所以，，所以.故选：B12、A【解析】由等差中项的概念列式求得值，再由等比数列的通项公式列式求解，则答案可求.【详解】由题意，，则；又1，，，8成等比数列，公比为，，即,,故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.【详解】因为直线与平行，所以，解得或，又因为时，，，所以直线，重合故舍去，而,,，所以两直线平行.所以，故答案为：3.【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论14、【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.【详解】函数为奇函数，当时，，所以.故答案为-1.【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.15、【解析】函数，又函数在区间上单调递减∴在区间上恒成立即，解得:，当时，经检验适合题意故答案为【点睛】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解16、2【解析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.【详解】因为该组数据的极差为5，，所以，解得.因为，所以该组数据的方差为故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不一定共线，理由见解析【解析】（1）由椭圆定义可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察轴时的情况，分析可知M，，N不一定共线.【小问1详解】由题意得，，设，，代入椭圆C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】当轴时，，设，，则由已知条件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以当时，点M，，N共线；所以当时，点M，，N不共线.所以点M，，N不一定共线.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）过点作交的延长线于点，连接，由，，证出平面，即可证出.（2）以为原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用，即可得到答案.【小问1详解】过点作交的延长线于点，连接，因为，所以，又因为，所以，所以，即，.因为，所以平面，因为平面，所以【小问2详解】因为平面平面，平面平面，所以平面，以为原点，的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，因为，所以直线与所成角的余弦值为19、（1）增区间，，减区间，极大值，极小值（2）最大值，最小值【解析】（1）将点代入函数解析式即可求得a，对函数求导，分析导函数的正负，确定单调区间及极值；（2）分析函数在此区间上的单调性，由极值、端点值确定最值.【小问1详解】∵点在函数的图象上，∴，解得，∴，∴，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值∴当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为；【小问2详解】由（1）可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.∴,又,,∴20、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）由展开图及直观图直接观察可得；（2）选择②，根据线面垂直的判定定理即可证明DF⊥平面.【小问1详解】如图，【小问2详解】若选择①，若此时有平面，则由平面可得，而平面，而平面，故，因为，则平面，由平面可得，故此时矩形为正方形，，矛盾.选择条件②，使得平面，下面证明如图，连接,在长方体中，平面，而平面，故，而，故矩形为正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.21、（1）（2）过定点，定点为【解析】（1）根据离心率及顶点坐标求出即可得椭圆方程；（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为（），求出的坐标，设是以为直径的圆上的点，利用向量垂直可得恒成立，可得定点，斜率不存在时验证即可.【小问1详解】由题意得，，，又因为，所以.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】以为直径的圆过定点.理由如下：当直线斜率存在时，设直线的方程为（）.令，得，所以.由得，则或，所以.设是以为直径的圆上的任意一点，则，.由题意，，则以为直径的圆的方程为.即恒成立即解得故以为直径的圆恒过定点.当直线斜率不存在时，以为直径的圆也过点.综上，以为直径的圆恒过定点.22、（1）证明见解析，是鳖臑，四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB（2）4（3）【解析】（1）由直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角即可；（2）PD是阳马P−ABCD的高，DE是鳖臑D−BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值（3）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线与平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可【小问1详解】因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠D