大学物理（上册）课件 第2章 质点动力学

第二章质点动力学西安电子科技大学第二章质点动力学§2-1牛顿定律及其应用§2-2动量§2-3机械能§2-4角动量研究对象：质点研究内容：物体间相互作用，以及由此引起的物体机械运动状态变化的规律。2.1牛顿定律及其应用2.1牛顿定律及其应用牛顿第一定律：任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态。惯性第一定律引进了三个重要概念:力惯性系——保持其原有运动状态不变的特性任何物体都具有惯性。——改变物体运动状态的原因当合外力为零时，质点静止或匀速直线运动。——惯性定律在其中严格成立的参考系相对惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。太阳、地面、地心参考系2.1.1牛顿定律2.1牛顿定律及其应用牛顿第二定律：质点受力作用时，在某时刻的加速度，其大小与质点在该时刻所受合力的大小成正比，与质点的质量成反比。牛顿第二定律表明，质点受力作用而获得的加速度，加速度的方向与合力方向相同。2.1.1牛顿定律2.1牛顿定律及其应用讨论第二定律定量描述了外力和加速度之间的瞬时关系。01不同物体具有不同的惯性02质量是物体惯性大小的量度。同一外力下，不同物体获得加速度不同运动状态改变不同维持原运动状态的能力不同惯性不同2.1.1牛顿定律2.1牛顿定律及其应用牛顿第三定律：两物体间的作用力与反作用力在同一直线上，大小相等，方向相反。AB2.1.1牛顿定律2.1牛顿定律及其应用讨论作用力与反作用力总是成对出现，且具有以下特性：01a)相互性——无主次之分b)同时性——无前后之分c)同类性——同一性质的力d)分离性——分别作用在不同物体上第三定律与参考系无关。022.1.1牛顿定律2.1牛顿定律及其应用甲乙m力学相对性原理：力学定律对所有惯性系都成立，所有惯性系是平权的2.1.2力学相对性原理2.1牛顿定律及其应用研究对象：宏观物体（与基本粒子相比）运动状态：低速运动（与光速c相比）参考系：惯性参考系牛顿运动定律是经典的理论基础，说明了宏观物体在惯性系中作低速运动的动力学规律。2.1.2力学相对性原理牛顿运动定律的适用范围质量为m1、m2

，相距为r

的两质点间的万有引力大小为用矢量表示为2.1.3常见的力2.1牛顿定律及其应用万有引力设地球半经为R

，质量为M

，物体质量为m

，考虑地球自转后物体重力为为物体所处的地理纬度角重力是地球对其表面附近物体万有引力的分力。2.1.3常见的力2.1牛顿定律及其应用当两宏观物体有接触且发生微小形变时，形变的物体对与它接触的物体会产生力的作用，这种力叫弹性力。在形变不超过一定限度内，弹簧的弹性力遵从胡克定律绳子在受到拉伸时，其内部也同样出现弹性张力。无形变，无弹性力2.1.3常见的力2.1牛顿定律及其应用弹性力当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋势的力，称为静摩擦力。1静摩擦力说明——静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大静摩擦力为fmax=µ0N(µ0

为最大静摩擦系数，N

为正压力)2.1.3常见的力2.1牛顿定律及其应用摩擦力两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。2滑动摩擦力说明在其他条件相同的情况下，一般来说，滑动摩擦系数小于静摩擦系数。(µ

为滑动摩擦系数)2.1.3常见的力2.1牛顿定律及其应用动力学问题可分两类：微分问题:已知运动状态，求质点受到的合力。积分问题:已知质点受的合力，求运动状态。2.1牛顿定律及其应用2.1.4牛顿定律的应用2.1牛顿定律及其应用只适用于质点的运动情况。遵循迭加原理，可写成分量式直角坐标系：自然坐标系：2.1.4牛顿定律的应用解决问题的依据：牛顿运动定律和运动学知识相结合。解题步骤：确定研究对象分析运动状态隔离分析受力由牛顿定律列方程求解方程2.1牛顿定律及其应用2.1.4牛顿定律的应用例解在地球表面抛出一质点（不计空气阻力），求第一宇宙速度，即让质点不落回地面的速度设地球质量为M，地球半径为R，质点质量为m，第一宇宙速度为v。质点不落回地面即绕地球做匀速圆周运动。质点受到的重力充当向心力。将牛顿第二定律投影到自然坐标系的法向得解得其中为地表的重力加速度。地球平均半径R=6371km。可得例解长度为l的绳子一端固定，另一端系质量为m的小球。将绳子拉至水平方向并无初速释放，求绳子转过θ角后小球的速率及绳中的张力。小球在重力作用下做圆周运动，用自然坐标系处理。小球处在θ处时，圆的切线方向为切向，半径方向（指向圆心）为法向。小球受重力mg和绳子张力T。如图所示，将将牛顿第二定律投影到自然坐标系的切向和法向得第一式化简为然后改写为其中故有分离变量得由初始状态积分至θ角处，有结果为即将此结果代入第二式得例一质点质量为m沿半径为R的圆运动，运动方程为求

m所受的合外力。解已知运动求力微分法例一物体质量为M＝1kg，受一变力从静止出发，沿x轴运动，求任一时刻物体的速度。解已知力求运动积分法（沿x方向）例由地面沿铅直方向发射宇宙飞船，质量为m，求飞船脱离地球引力所需最小初速度。解研究对象：宇宙飞船运动过程中受的力：万有引力ORx已知条件：x=∞时，υ≥0待求问题：x=R处，υ＝？——以x为参变量的一维积分问题解由牛二律：例在静水中，一船以运动，受到阻力，已知阻力与速度的大小成正比而反向，问不划动时船可以前进多少米？解受力分析：运动状态：已知条件：Oxx船m变减速直线运动x＝0υ=υ0待求问题：x＝？υ=0研究对象：由牛二律：——以x为参变量的一维积分问题例质量为m的子弹以υ0水平射入沙土中，设子弹受阻力与速度成正比而反向，忽略子弹重量。求

(1)子弹进入沙土后，速度随t

变化的关系式。(2)子弹进入沙土的最大深度。解研究对象：受力分析：Ox

m子弹m(1)(2)以t为参变量的积分问题例长为l的链条放在光滑桌面上，l=0时，链条静止，下垂部分为a，求链条刚离开桌面时的速度。解研究对象：受力分析：Oxax整个链条设

t

时刻下垂部分为xx段受重力作用：已知条件：x＝a

υ=0待求问题：x＝l

υ=？由牛二律：当x=l时，—以x为参变量的积分问题在运动学中，参考系可任选，视实际问题而定。在动力学中，参考系不可任选，牛顿定律只在惯性系中成立。凡符合牛顿运动定律的参考系都是惯性系相对于惯性系作匀速直线运动的参考系是惯性系。2.1.5非惯性系与惯性力2.1牛顿定律及其应用平动非惯性系相对于惯性系作加速运动的参照系不是惯性系。非惯性系中，牛顿运动定律不成立。如2.1.5非惯性系与惯性力2.1牛顿定律及其应用在非惯性系中来自于参考系本身的加速运动的力。BA——和非惯性系相对于惯性系的运动状态有关。2.1.5非惯性系与惯性力2.1牛顿定律及其应用设K系为惯性系，K′为非惯性系，从变换参考系的角度考虑：若K′系相对于K系以平动,m mm则K'系中物体受惯性力：方向与反向2.1.5非惯性系与惯性力2.1牛顿定律及其应用在非惯性系中来自于参考系本身的加速运动的力。非惯性系中，牛顿定律成立的形式为——物体在非惯性系K'中的加速度2.1.5非惯性系与惯性力2.1牛顿定律及其应用注意惯性力是参考系加速运动引起的效果。引力失重惯性力是一种虚拟力，不存在反作用力。2.1.5非惯性系与惯性力2.1牛顿定律及其应用潮汐2.1.5非惯性系与惯性力2.1牛顿定律及其应用匀速转动非惯性系在匀速转动的参考系上考察一个静止物体以地面为参照系m

匀速圆周运动以圆盘为参照系m静止2.1.5非惯性系与惯性力2.1牛顿定律及其应用大小：方向：背离圆心∴——惯性离心力2.1.5非惯性系与惯性力2.1牛顿定律及其应用2.1牛顿定律及其应用2.1.5非惯性系与惯性力相对于速转动的参考系运动的物体——科里奥利力牛顿定律是力的瞬时作用规律。但在有些问题中，如：碰撞、散射…我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间的积累效应。2.2动量2.2.1动量和冲量01力在空间上的积累效应：功改变能量02力在时间上的积累效应：平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改变2.2动量2.2.1动量和冲量力的时间积累，即冲量动量m2.2.1动量和冲量2.2动量设一质点在外力持续作用下运动动量考虑一微时段dt，由牛二律：2.2.2质点的动量定理2.2动量改写形式：——质点动量定理的微分形式质点动量的微分等于作用在质点上合力的元冲量在：△t＝t2－t1内——质点动量定理的积分形式2.2.2质点的动量定理2.2动量质点动量的增量等于合力对质点作用的冲量。

——质点动量定理等式左侧：——力的冲量描述△t

时间内力的持续作用的总效果（从力的作用时间来考虑），是一个过程量。等式右侧：——动量的增量是描写运动状态的量，即动量的增量。在△t

时间内，作用在质点上的合外力冲量等于同一段时间内质点动量的增量。两边物理意义不同，但量值相等。2.2.2质点的动量定理2.2动量01适用范围：惯性系必须相对同一参照系低速宏观和高速微观粒子均适用02物理意义：质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程合力对质点作用的冲量质点动量矢量的变化03矢量性：冲量的方向与动量的增量方向相同2.2.2质点的动量定理2.2动量在力的整个作用时间内，平均力的冲量等于变力的冲量平均力04平均冲力：2.2.2质点的动量定理2.2动量05动量定理是矢量式，处理问题可以用以下两种方法：

（a）动量定理的分量形式冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量2.2.2质点的动量定理2.2动量05动量定理是矢量式，处理问题可以用以下两种方法：

（b）矢量作图法三个矢量组成一个三角形，作出三角形后从已知的边角求未知的边角，即求未知矢量的大小和方向。2.2.2质点的动量定理2.2动量质量为m的铁锤竖直下落，打在木桩上并停下。设打击时间为Δt，打击前铁锤速率为v。在打击木桩时间内，木桩对铁锤作用力的平均大小是多少？例解取竖直向下为正方向。在打击时间Δt内，铁锤的动量由mv减至0。设木桩对铁锤的作用力平均大小为，方向竖直向上。铁锤受到的重力为mg，方向竖直向下。根据动量定量有求得质量m＝1kg的小球作圆周运动，A点时υ＝2m/s，方向如图，B点时υ＝4m/s，例求该段时间内小球受到合外力的冲量。求解初态：末态：∴作图法：一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅0.019s.例对地平均冲力?求解篮球到达地面的速率对地平均冲力相当于40kg重物所受重力!tF(max)F0.019sO

煤粉从高度为h的漏斗下落，下方有一沿水平向右以速度v运动的传送带。煤粉落在传送带上后，便与传送带保持相同速度运动。设单位时间从漏斗下漏的煤粉质量为q，求煤粉撞击传送带时受到的平均作用力。例解考虑很短的一段时间，一小团煤粉下落并接近传送带，在这段时间恰好全部落在传送带上。这些煤粉的质量为与传送带碰撞前的速度为动量为

，方向竖直向下与传送带碰撞后，这些煤粉的动量变为

，方向水平向右。碰撞前后煤粉动量的改变用矢量表示为从图中可以看出

与

垂直。故传送带对煤粉的平均作用力为该力的大小方向可表示为

例矿砂作用在传送带上的平均力。求解研究对象

∴作矢量图：

将质量为m、长度为L的均质链条竖直提起，下端恰好与地面接触。随后将链条释放并在重力作用中下落，求链条下落过程中地面对链条的作用力。例解链条的质量线密度如图所示，设链条已下落长度为x。将链条看作已下落和未下落两部分。地面对已下落部分提供向上的支持力未下落部分作自由落体运动，下落速度为考虑一段极短时间dt，该段时间内有质量元落地设质量元受到地面的冲击力为F1（向上），受到重力为dmg（向下）。以竖直向下为正方向，按动量定理有略去高阶无穷小量，化简得此式中即下落速度。故有地面对链条的总作用力为相互作用的若干质点组成的系统------质点系以两质点系为例推证对m1：对m2：一对内力2.2动量2.2.3质点系的动量定理相互作用的若干质点组成的系统------质点系以两质点系为例推证对（m1+m2系统）：合外力的冲量各质点动量的增量=2.2.3质点系的动量定理2.2动量推广到多个质点系作用在质点系上所有外力在

dt内元冲量的矢量和等于质点系动量的增量。——质点系动量定理的微分形式在△t＝t2－t1时间内：——质点系动量定理的积分形式在△t内所有外力的冲量的矢量和等于同段时间内质点系动量的增量。2.2.3质点系的动量定理2.2动量一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,已知两木块的质量分别为m1,m2

，子弹穿过两木块的时间各为

t1,

t2

，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F例子弹穿过后，两木块各以多大速度运动求解子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为v1

子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2解得将质量为m、长度为L的均质链条竖直提起，下端恰好与地面接触。随后将链条释放并在重力作用中下落，求链条下落过程中地面对链条的作用力。用质点系动量定理处理例解将整根链条看作一个系统。设地面对系统的力为F，方向竖直向上。链条的质量线密度当链条下落了距离x时，下落速度为此时链条已落地部分静止，未落地部分以速度v向下运动。以竖直向下为正方向，整个系统的动量为链条受到重力和地面的力，按动量定理有下面计算。在P的表达式里，x与v均随时间变化。

即下落速度。链条的未下落部分作自由落体运动，其加速度为重力加速度，即

。可得由动量定理的式子得质点动量守恒定律：常矢量质点系动量守恒定律：常矢量2.2.4动量守恒定律2.2动量讨论01动量守恒的条件：合外力为零

（指在整个运动过程中，动量大小方向时时刻刻都不变，合外力时时刻刻都为零）不能在两个特定的状态下，动量相等就得到动量守恒的结论。t1t2

t1时的动量与t2时的动量相等在△t＝t2－t1时间内小球始终受重力作用在△t时间内，系统动量不守恒！2.2.4动量守恒定律2.2动量讨论01动量守恒的条件：合外力时刻为零小球从c点出发，一圈后又回到c点，在△t时间内，动量方向时刻在变，系统动量不守恒！2.2.4动量守恒定律2.2动量讨论02动量守恒的分量式（单方向上的动量守恒）2.2.4动量守恒定律2.2动量讨论03内力可改变系统内各质点的动量，使动量在系统内传递，但不改变系统总动量。04当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞爆炸等）可认为动量近似守恒。05动量守恒定律是自然界一切过程最基本的定律（宏观微观、低速高速都适用）2.2.4动量守恒定律2.2动量有一质量为M（含炮弹）的大炮，沿一倾角为θ的光滑斜面下滑。当它速度为v0时，沿水平方向发射质量为m的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后瞬间静止，则炮弹出射速率应该是多少？例解炮车受到重力和斜面支持力作用。将炮车和炮弹看作一个系统，考虑动量沿某方向分量守恒如图，x为沿斜面方向，y为与斜面垂直的方向。系统重力存在沿x方向的分量（大小Mgsinθ）。在炮弹发射过程中，系统沿x方向受到的外力恒定，而内力（炮弹发射、炮弹与炮车分离的内部作用力）远大于Mgsinθ。炮弹发射过程中，系统沿x方向动量近似守恒。设炮弹出射速率为v，欲使炮车发射炮弹后瞬间静止，有Mv0=mvcosθ即得v=Mv0/mcosθ。用简单模型分析火箭发射过程例解火箭发射过程中，燃烧向后喷射，火箭获得向前动量。火箭在运动中不断排出气体，质量减少。在不考虑外力情况下，设火箭质量为m，相对地面速度为v。在极短时间后，火箭质量变为m+dm（dm<0）。喷射出的燃料质量为–dm设喷射出的燃料相对地面速度为u。喷射出燃料–dm后火箭速度变为v+dv。按动量守恒定律有燃料相对于火箭向后的喷射速度Vr由火箭发动机的性能决定，可看作常量。喷射出的燃料相对地面的速度为代入上式得,即由初始时刻开始积分有

为火箭与燃料总共的初始质量。m为燃料喷射完后火箭剩余质量。一般火箭发动机。欲将火箭发射出去，至少要达到第一宇宙速度，即

，所需实际情况下，考虑到地球引力及空气阻力，需例设炮车放在光滑地面上，炮车M，炮弹m，起始时静止。当炮弹以相对于炮车射出，求炮车在x方向的反冲速度u解研究对象：炮车＋炮弹系统仅在x方向上满足动量守恒设炮弹对地速度由x方向动量守恒：例如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，B的速度为u

，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻t

时，A车的质量为M，速度为v

。求时刻

t

，A

的瞬时加速度ABuvA解选A车M和

t时间内抽至A车的水

m为研究系统，水平方向上动量守恒ABuvA质量中心，可以代表整个物体的运动2.2.5质心运动定理2.2动量

N个质点的系统（质点系）的质心位置O质点系分量式：2.2.5质心运动定理2.2动量质量连续分布的物体：2.2.5质心运动定理2.2动量说明01与坐标选取有关，但对物体系的相对位置不变。02质量均匀分布的物体，质心在几何中心。

（一个物体的质心不一定在物体上）03质心与重心不是同一概念重心——地球对物体系各部分引力的合力的作用点质心——由质量分布确定的一个点不太大物体质心与重心重合2.2.5质心运动定理2.2动量例已知一半圆环半径为R，质量为M求它的质心位置解建坐标系如图取dlyxO

d

几何对称性质心位置：质心速度：——质点系的总动量质心的加速度----由于体系内力成对出现，所以每个质点受力的矢量和等于系统所受外力的矢量和！2.2.5质心运动定理2.2动量——质心运动定理质点系的质量与其质心加速度乘积等于作用在质点系上所有外力的矢量和。2.2.5质心运动定理2.2动量质心加速度取决系统所受外力，而内力不改变质心的运动状态。如：抛出去在空中翻滚的手榴弹运动员：一个体系在外力作用下，其质心的加速度是完全确定的。2.2.5质心运动定理2.2动量质心运动定理确定了质心的动力学规律不论物体大小、形状如何，质量分布如何，外力作用于何部位，物体运动如何复杂，物体上各点的运动规律都不同，但质心C的运动规律受质心运动定理的制约。质心运动定理表明，物体质心的运动，可以看成是一个质点的运动，这个质点集中了体系的总质量，也集中了体系所受的所有外力。2.2.5质心运动定理2.2动量以前我们用质点代替物体，用质点动力学的牛顿运动定律分析物体的运动，现在可以明白严格的说：我们对物体用了质心运动定理，在物体平动的条件下，又用质心的平动代替了整个物体的平动。2.2.5质心运动定理2.2动量功是能量转化和传递的量度。MMabs力和力的作用点位移的标积2.3机械能2.3.1功质点M

在变力作用下，沿曲线轨迹由a

运动到b，变力作的功A＝？xyzOabM取位移微元近似为恒力2.3.1功2.3机械能

在一段上的功：在自然坐标系中：在ab一段上的功：2.3.1功2.3机械能讨论01A是标量，反映了能量的变化。正负：取决于力与位移的夹角。如则02摩擦力作功一定是负的吗？摩擦力作正功2.3.1功2.3机械能讨论一般来说，功的值与质点运动的路径有关。由于位移的大小与参照系的选择有关，因而功的大小也与所选的参照系有关。0304合力的功等于各分力的功的代数和052.3.1功2.3机械能讨论2.3.1功2.3机械能讨论直角坐标系中，功的求法：06∴2.3.1功2.3机械能讨论自然坐标系中，功的求法：07法向切向∴∴2.3.1功2.3机械能质点在力（单位：N）作用下运动。坐标的单位为m。求：（1）力沿路径Oab的功是多少？（2）力沿Ob路径的功是多少？例解（1）路径Oa上y=0。则沿该路径dy=0

。即

沿Oa的功为

路径ab上x=3，则沿该路径dx=0，即

沿ab的功为

将两部分功相加，J

（2）路径Ob路径为一过原点O的直线。该直线的方程可写为（k为常量）根据b点坐标可知沿该路径

，沿Ob的功为功率力在单位时间内所作的功，称为功率。描述力做功快慢的物理量设力在内做功为1平均功率2瞬时功率2.3.1功2.3机械能B当θ＝π／2时，当θ＝0时，2.3.1功2.3机械能m①常见力的功：重力xyzOmg②质点重力mg在曲线路径M1M2上作的功：（重力乘以质点始末位置的高度差）2.3.1功2.3机械能结论(1)重力的功只与始、末位置有关，与质点所行路径无关。(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。质点沿闭合路径运动一周，重力做功为零。2.3.1功2.3机械能常见力的功：万有引力万有引力F在全部路程中的功为Mabm上的元功为在位移元2.3.1功2.3机械能结论(1)万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。——保守力(2)质点m移近质点M时，万有引力作正功；质点m远离质点M时，万有引力作负功。2.3.1功2.3机械能常见力的功：弹力弹簧弹性力xO由x1

到x2

路程上弹性力的功为形变量2.3.1功2.3机械能结论(1)通常意义下，x1，x2为质点始末位置对应的形变量。(2)弹性力的功只与始、末位置有关，与质点所行路径无关。(3)弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。2.3.1功2.3机械能常见力的功：摩擦力在这个过程中所作的功为摩擦力摩擦力方向：切向且与速度反向M1与M2之间的路程2.3.1功2.3机械能结论摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关。——非保守力2.3.1功2.3机械能牛顿运动定律是力的瞬时作用规律牛顿运动定律。若力持续作用在物体上，物体的运动状态变化规律是什么？动能定理给出了力的持续作用（力对空间的积累效应）和物体运动状态变化的规律！2.3.2动能和动能定理2.3机械能即：作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功等于质点在同一路程的始末两个状态动能的增量。在位移元上的元功：m从，外力作功：——动能定理2.3.2动能和动能定理2.3机械能讨论(1)动能定理只用于惯性系。(2)Ek

是一个状态量，A

是过程量。(3)力对质点在某一过程中作的功，只与质点在始末状态的动能有关，而与运动过程中动能变化细节无关。动能定理给出了力对质点的持续作用引起的质点运动状态变化的规律。力对物体的功在数值上等于物体动能的增量。2.3.2动能和动能定理2.3机械能分别对m1，m2用动能定理:m1：m2：2.3.2动能和动能定理2.3机械能讨论(1)引起运动状态变化，外力作功，内力也作功。(2)内力是成对出现的。内力之和为零，内力作功之和一定为零吗？(3)若A外＋A内＝0，系统动能守恒。(4)内力的功也能改变系统的动能例:炸弹爆炸过程，内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。ABABsL不一定为零。2.3.2动能和动能定理2.3机械能解题思路：确定研究对象分析力及力的功选定研究过程及过程的初终态列方程并求解2.3.2动能和动能定理2.3机械能例解物体由斜面底部以速度v0向斜面上方冲去，然后又滑下。滑到底部时速度为vf。求物体上升最高高度h。按上升和下降过程分别列动能定理。设摩擦力大小为f。在这两个过程中，摩擦力方向均与运动方向相反，作负功。设最低点到最高点的路程为s，上升过程的动能定理写作下降过程的动能定理写作将第二式减去第一式可消去未知项fs，得解得如图所示，物体M的质量为m，弹簧劲度系数为k，A板及弹簧质量均可忽略不计，求自弹簧原长O处，突然无初速度地加上物体M时，弹簧的最大压缩量。

研究对象：M例

分析力：N＝－kxmg

研究过程：

弹簧的压缩过程

初态：

x＝0υ0＝0

终态：

x＝xmax

υ0＝0利用动能定理：解

研究对象：M

分析力：N＝－kxmg

研究过程：

弹簧的压缩过程

初态：

x＝0υ0＝0

终态：

x＝xmax

υ0＝0利用动能定理：解思考若将m缓慢放置，m平衡时，弹簧的压缩量？长为l

的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，

已知链条与水平面间静摩擦系数为

0，

滑动摩擦系数为

。(1)满足什么条件时，链条将开始滑动?(2)若下垂部分长度为b

时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？例求Oy当y>b0

，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。设链条下落长度

y=b0

时，处于临界状态。解(1)以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长度的质量为

，沿铅垂向下取Oy

轴。摩擦力的功重力的功根据动能定理有(2)以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，解2.3机械能2.3.3保守力与势能特点：如果质点在某空间任意位置，都受到一确定的保守力的作用，则称此空间存在着保守场。如重力场，引力场……(1)保守力作功只与始末位置有关，而与路径无关。如重力作功、弹力作功、万有引力作功。(2)质点沿闭合路径运动一周，保守力作功为零。2.3.3保守力与势能2.3机械能01引入势能的条件物体系01体系内物体间的相互作用力是保守力。022.3.3保守力与势能2.3机械能02势能的定义任何力作功→引起能量的变化外力对体系作功→引起体系能量的增加内力对体系作功→引起体系能量的减少（转换）保守内力作功与始、末位置有关保守内力作功引起体系能量的减少仅与始、末相对位置有关，此能量定义为势能。2.3.3保守力与势能2.3机械能?设末点b为势能零点，EPb=0则A点势能：定义定义：质点在保守力场中某点a的势能，在量值上等于质点从a

点移动至零势能点b的过程中保守力作的功。2.3.3保守力与势能2.3机械能03势能零点的选取任意的（势能只有相对意义）重力势能零点——地面万有引力势能零点——r＝∞处弹力势能零点——弹簧原长端点x＝0处通常：势能只有相对（与参考点有关）意义，两点势能差才有确定的意义。某点势能指该点与参考点势能之差。2.3.3保守力与势能2.3机械能04势能的计算公式重力势能：（可正可负）弹力势能：（恒为正）引力势能：（恒为负）Ep的正负，与参考点的位置密切相关!保守内力作正功，Ep减小；保守内力作负功，Ep增加。2.3.3保守力与势能2.3机械能05势能属于物体系共有如：重力势能是物体m和地球M共有。2.3.3保守力与势能2.3机械能如：m对M的引力作功，M对m的引力也作功。系统内力做功之和与系统内物体间的相对位移有关二粒子间相互作用力为斥力：，k是常数，r为二者例问：(1)f是保守力吗？

(2)若是，求二者距

r

时的势能。设EP(∞)＝0解(1)建立坐标系Or

，设粒子由r1→r2，则斥力作功：（仅与始末位置有关）f是保守力2.3.3保守力与势能2.3机械能设EP(∞)＝0，则思考若取粒子的一般路径，该如何证明？2.3.3保守力与势能2.3机械能把质量为m的飞船从地球表面沿与铅垂夹角为α的方向发射出去，求使m脱离地球引力的最小初速度。oRx

研究对象：飞船m

分析力：万有引力过程：

m从地球表面运动到脱离引力场

初态：

终态：r＝Rυ＝υ0

r＝∞υ＝0利用动能定理：例解oRx

研究对象：飞船m

分析力：万有引力过程：

m从地球表面运动到脱离引力场

初态：

终态：r＝Rυ＝υ0

r＝∞υ＝0利用动能定理：——第二宇宙速度解结论第二宇宙速度与发射方向无关。（忽略空气阻力和地球自转）例解当弹簧振子振幅较大，超过弹性范围时，弹性回复力的胡克定律需加以修正。现假定回复力随弹簧变形量的变化规律为F=－kx－ax3。k和a为常数。求弹簧的弹性势能。假设弹簧一端固定，另一端连接质点。取弹簧原长时质点所在位置为坐标原点O，沿直线作Ox轴。力F在位移dx上的元功为dA=Fdx=－kxdx－ax3dx。取O为参考点，质点位于x处时弹簧的弹性势能表示为研究对象外力内力保守内力（如：重力、弹力、引力）非保守内力（如：摩擦力）体系受力分为质点组的动能定理：——功能原理体系（质点组）2.3.4功能原理与机械能守恒2.3机械能当——机械能守恒定律说明(2)守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态。(3)守恒定律是对一个系统而言的。(1)守恒条件：2.3机械能2.3.4功能原理与机械能守恒能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。2.3.4功能原理与机械能守恒2.3机械能利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能。电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。例能量守恒定律可以适用于任何变化过程功是能量交换或转换的一种度量机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现2.3.4功能原理与机械能守恒2.3机械能例解质量均匀的链条质量为m，左方绳子悬挂质量为m1的重物向下运动。初始状态时链条位于桌面上的长度为l2，下垂部分长度为l1。不计摩擦，求链条全部滑到桌面时系统的速度。将链条、重物与地球看作一个系统。地球与链条、重物之间的引力属于保守内力桌面和滑轮的支持力与系统运动方向垂直，始终不做功。系统机械能守恒。将链条看作长度为l1和l2的两部分，它们的质心皆在各自的几何中心。当链条全部滑到桌面上时，l1的质量为，质心高度上升了l2的质心高度不变。链条的重力势能改变为重物高度下降了l1，其重力势能改变为设链条全部滑到桌面时系统的速度为v，系统动能增量为按机械能守恒得解得例在恒星系中，两个质量分别为m1

和m2

的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为

r

时。求它们之间的相对速率为多少？解由动量守恒，机械能守恒解得相对速率求把水从蓄水池抽出所用的功。解（缓慢抽出）近似认为水是一层一层被抽出的外力大小等于重力设在x处取一层厚度为dx

的水质量：所需外力：（恒力作功）将

dm

抽出外力需作功：将水全部抽出：例例劲度系数为k的轻质弹簧上挂一重物M，另一端固定在铅垂面内圆环的最高点A，设弹簧原长与圆环半径R