5等差数列（第二课时）课件高二下学期数学人教B版选择性

5.2.1等差数列（第二课时）人教B版（2019）选择性必修第三册学习目标CONTENTS1.理解等差中项的概念，能用公式求解，理解数学抽象能力（重点）2.掌握判断等差数列的常用方法，理解逻辑推理能力（重点）3.掌握等差数列的性质，并能灵活运用等差数列的性质解决问题，体现数学计算能力（难点）课程引入上一节课，我们学习了等差数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．根据等差数列的计算公式，思考等差数列的有什么性质？课程内容教学等差中项的概念如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项.中间的每一项（既不是首项也不是末项的项）都是它的前一项与后一项的等差中项，即A=.证明：根据等差中项与等差数列的定义可知A-x=y-A即可证明.举个例子：2与8的等差中项是=5

课程内容教学想一想：等差中项的表达式与平面直角坐标系上两点之间的中点坐标公式有什么联系？Oxyx1x2y1y2ABx0y0P等差中项：已知x，A，y成等差数列，则有A=，中点坐标：已知坐标A(x1,y1)，P(x0,y0)，B(x2,y2)，其中点P为线段AB的中点，则有点P的横坐标x0是点A和点B横坐标x1，x2的等差中项，点P的纵坐标y0是点A和点B纵坐标y1，y2的等差中项.课程内容教学例6：已知数列{an}中，

，在n≥3时恒成立，求证：

{an}是等差数列.因为所以an-an-1=an-1-an-2=an-2-an-3=…=a2-a1因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以{an}是等差数列.结论：例6说明，如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项，那么这个数列一定是等差数列.课程内容教学尝试与发现设数列{an}的通项公式为an=3n-1，求出a2+a7，a3+a6，并比较它们的大小.你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗？因为a2+a7=3×2-1+3×7-1=25a3+a6=3×3-1+3×6-1=25所以a2+a7=a3+a6课程内容教学等差数列的性质一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足，则as+at=ap+aq特别地，如果2s=p+q，则2as=ap+aq课程内容教学对于ap+aq=as+at进行证明：as=a1+(s–1)d，at=a1+(t–1)d，根据等差数列的定义，得所以ap+aq=2a1+(p+q–2)d，as+at=2a1+(s+t–2)d，因为p+q=s+t，所以ap

+aq=as

+at课程内容教学例7：如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为43cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列{an}，求其余3级的宽度.方法一：依题意，a1=35，a5=43，设公差为d，a5=a1+(5-1)d，则43=35+d，解得d=2.因此a2=35+2=37，a3=37+2=39，a4=39+2=41，因此其余3级的宽度分别为37cm，39cm，41cm.课程内容教学例7：如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为43cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列{an}，求其余3级的宽度.方法二：因为等差数列为a1，a2，a3，a4，a5共5项，

2a3=a1+a5=35+43=78，

类似地，有2a2=a1+a3=35+39=74，2a4=a3+a5=39+43=82，所以a2=37，a4=41.因此，其余3级的宽度分别为37cm，39cm，41cm.课程内容教学拓展：利用等差数列求实际问题的步骤：1.找：发现实际问题中呈等差关系变化的量；2.构造：构造等差数列刻画等差关系；3.求：根据实际问题要求，求解相应值.

课程内容教学拓展：判断一个数列是不是等差数列的几种常用方法:(1)定义法：若an+1-an=d(d为常数)，则数列{an}为等差数列.(2)通项法：若an=kn+b(k，b为常数)，则数列{an}为等差数列.(3)等差中项法：若2an=an-1+an+1(n≥2)，则数列{an}为等差数列.(4)性质法：若数列{an}，{bn}为等差数列，k，c，m为常数，则{an+c}，{kan}，{an+bn}，{kan+c}也是等差数列，且{kan+cbn+m