全国高考数学理综模拟测试题库及参考答案

全国高考数学理综模拟测试题库及参考答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________全国高考数学理综模拟测试题库及参考答案考核对象：高三学生题型分值分布：-单选题（10题，每题2分）——20分-填空题（10题，每题2分）——20分-判断题（10题，每题2分）——20分-简答题（3题，每题4分）——12分-应用题（2题，每题9分）——18分总分：100分---一、单选题（每题2分，共20分）1.函数$f(x)=\ln(x+1)-x$在区间$(-1,+\infty)$上的最大值为（）A.0B.1C.$\ln2$D.$1-\ln2$2.已知向量$\vec{a}=(1,k)$，$\vec{b}=(3,-2)$，若$\vec{a}\cdot\vec{b}=10$，则$k$的值为（）A.-4B.4C.-2D.23.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率为（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{12}$C.$\frac{5}{36}$D.$\frac{1}{9}$4.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2^n-1$，则$a_5$的值为（）A.16B.32C.64D.1285.圆$x^2+y^2-4x+6y-3=0$的圆心坐标为（）A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)6.若函数$g(x)=\sin(2x+\varphi)$的图像关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$\varphi$的可能取值为（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{3\pi}{4}$C.$\frac{5\pi}{4}$D.$\frac{7\pi}{4}$7.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{a}{b}$的值为（）A.2B.$\sqrt{2}$C.$\sqrt{3}$D.38.不等式$\lg(x^2-2x+3)>1$的解集为（）A.$(1,3)$B.$(1,+\infty)$C.$(3,+\infty)$D.$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$9.已知函数$f(x)=x^3-ax^2+bx$在$x=1$处取得极值，且$f'(1)=6$，则$a+b$的值为（）A.5B.6C.7D.810.在直角坐标系中，点$P(x,y)$在曲线$y=\sqrt{1-x^2}$上运动，则$\frac{y}{x}$的最大值为（）A.1B.-1C.$\sqrt{2}$D.$-\sqrt{2}$---二、填空题（每题2分，共20分）11.若$\cos\alpha=\frac{4}{5}$，$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$\sin\alpha$的值为________。12.已知函数$f(x)=e^x-kx$在$x=1$处取得极值，则$k$的值为________。13.在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=9$，则$a_{10}$的值为________。14.已知直线$l:y=kx+1$与圆$x^2+y^2=1$相交于两点，则$k$的取值范围为________。15.若复数$z=1+i$，则$z^2$的实部为________。16.执行如图所示的程序框图，若输入的$n$为5，则输出的$S$的值为________。17.在$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$\angleBAC=60^\circ$，则$BC$的长度为________。18.已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\frac{1}{x+1}$，则$f(x)$在$(-1,+\infty)$上的单调递增区间为________。19.在一个不透明的袋中装有5个红球和3个白球，从中随机抽取2个球，则两个球颜色不同的概率为________。20.已知点$A(1,2)$，$B(3,0)$，则过点$A$且与直线$AB$垂直的直线方程为________。---三、判断题（每题2分，共20分）21.若函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在$x=2$处取得极值，则$f'(2)=0$。（）22.在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_2=6$，$a_4=54$，则公比$q=3$。（）23.若$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}$，则$\alpha=\frac{\pi}{4}$。（）24.圆$x^2+y^2-4x+6y-3=0$的半径为$\sqrt{10}$。（）25.若函数$f(x)=x^2-2x+3$在$x=1$处取得最小值，则$f'(1)=0$。（）26.在直角坐标系中，点$P(x,y)$在曲线$y=\sqrt{1-x^2}$上运动，则$\frac{y}{x}$的取值范围为$[-1,1]$。（）27.若复数$z=a+bi$，则$z^2$的模为$|z|^2$。（）28.在$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，则$\angleBAC=90^\circ$。（）29.若函数$f(x)=\ln(x+1)-\frac{1}{x+1}$在$(-1,+\infty)$上单调递增，则$f(x)$在$(-1,+\infty)$上无极值。（）30.在一个不透明的袋中装有5个红球和3个白球，从中随机抽取2个球，则两个球颜色相同的概率为$\frac{5}{28}$。（）---四、简答题（每题4分，共12分）31.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，求$f(x)$在区间$(-\infty,+\infty)$上的单调递增区间。32.在$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$\angleBAC=60^\circ$，求$\sinB$的值。33.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=n^2+n$，求$a_5$的值。---五、应用题（每题9分，共18分）34.如图所示，某城市计划在矩形区域$ABCD$内修建一条绿化带，其中$AB=100$米，$BC=80$米。若绿化带宽度为$x$米，且绿化带的面积占矩形区域面积的$\frac{1}{5}$，求$x$的值。35.已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\frac{1}{x+1}$，（1）求$f(x)$在$(-1,+\infty)$上的单调递增区间；（2）若$f(x)$在$x=1$处取得极值，求$f(1)$的值。---标准答案及解析一、单选题1.A解析：$f'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$，令$f'(x)=0$，得$x=0$。当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x\in(0,+\infty)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。故$f(x)$在$x=0$处取得最大值$f(0)=0$。2.B解析：$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot3+k\cdot(-2)=10$，解得$k=-4$。3.A解析：抛掷两次骰子，总共有$6\times6=36$种可能，点数之和为5的情况有$(1,4)$、$(2,3)$、$(3,2)$、$(4,1)$，共4种，概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。4.A解析：$a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$，故$a_5=2^4=16$。5.C解析：圆的标准方程为$(x-2)^2+(y+3)^2=10$，圆心坐标为$(2,-3)$。6.C解析：$g(x)$图像关于$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$2\cdot\frac{\pi}{4}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}$，解得$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{4}$，取$k=1$，得$\varphi=\frac{5\pi}{4}$。7.B解析：$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，解得$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$。8.A解析：$\lg(x^2-2x+3)>1$，即$x^2-2x+3>10$，解得$x\in(1,3)$。9.A解析：$f'(x)=3x^2-2ax+b$，$f'(1)=3-2a+b=6$，又$f'(1)=0$，解得$a=4$，$b=5$，故$a+b=9$。10.C解析：设$P(x,\sqrt{1-x^2})$，则$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$，令$t=x$，则$h(t)=\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}$，$h'(t)=\frac{-t^2}{t\sqrt{1-t^2}}=\frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}$，令$h'(t)=0$，得$t=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，$h\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}$，故最大值为$\sqrt{2}$。---二、填空题11.$\frac{3}{5}$解析：$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac{3}{5}$。12.1解析：$f'(x)=e^x-k$，$f'(1)=e-k=0$，解得$k=e$。13.15解析：$a_5=a_1+4d=9$，$3+4d=9$，解得$d=3$，$a_{10}=3+9\cdot3=30$。14.$(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)$解析：直线与圆相交，则$\frac{1}{1+k^2}\leq1$，解得$k\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)$。15.0解析：$z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i$，实部为0。16.10解析：根据程序框图，$S=1+2+3+4+5=15$。17.$\sqrt{7}$解析：由余弦定理，$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdotAC\cdot\cos60^\circ=9+16-2\cdot3\cdot4\cdot\frac{1}{2}=13$，$BC=\sqrt{13}$。18.$(-1,1)$解析：$f'(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}>0$，解得$x\in(-1,1)$。19.$\frac{15}{28}$解析：$P(\text{两个球颜色不同})=\frac{C_5^1\cdotC_3^1}{C_8^2}=\frac{15}{28}$。20.$x-2y+3=0$解析：直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{0-2}{3-1}=-1$，垂直直线的斜率为1，方程为$y-2=x-1$，即$x-2y+3=0$。---三、判断题21.正确解析：$f'(2)=12x-6x=0$，故正确。22.正确解析：$a_4=a_2\cdotq^2=6\cdotq^2=54$，解得$q=3$。23.错误解析：$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$，取值范围是$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，故$\alpha=\frac{\pi}{4}$或$\frac{5\pi}{4}$。24.正确解析：圆的标准方程为$(x-2)^2+(y+3)^2=10$，半径为$\sqrt{10}$。25.正确解析：$f'(x)=2x-2$，$f'(1)=0$，故正确。26.正确解析：$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$，取值范围为$[-1,1]$。27.错误解析：$z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi$，模为$\sqrt{a^2+b^2}$，故错误。28.正确解析：$AB^2+AC^2=BC^2$，故$\angleBAC=90^\circ$。29.正确解析：$f'(x)>0$，故无极值。30.错误解析：$P(\text{两个球颜色相同})=\frac{C_5^2}{C_8^2}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$，故错误。---四、简答题31.解：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。当$x\in(-\infty,0)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x\in(0,2)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x\in(2,+\infty)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。故$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$。32.解：由余弦定理，$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdotAC\cdot\cos60^\circ=9+16-2\cdot3\cdot4\cdot\frac{