第01讲 平面向量的概念及其线性运算 高频考点-精练（解析版）

第01讲平面向量的概念及其线性运算(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中，正确的是（

）A．长的有向线段不可能表示单位向量B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移【答案】B【详解】一个单位长度取时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；根据单位向量的知识可知，B选项正确；方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，所以两向量为共线向量，故C错误；根据位移的定义可知，向量表示这个人从A点到B点的位移，所以D错误.故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD是等腰梯形，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意，四边形ABCD是等腰梯形得，且，，所以选项A错误，选项B正确，又向量不能比较大小，所以选项C、D错误，故选：B.3．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知平面向量、、，下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】B【详解】对于选项A：若、为非零向量，，但不一定等于，故不成立，A错误；对于选项B：可知、同向，于是可知、共线，即，故B正确；对于选项C：若为零向量，，不一定能推出，故C错误；对于选项D：，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出，故D错误；故选：B4．（2022·北京·高二）2021年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”，国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】五角星中，，，则，由于则，故选：D5．（2022·天津河东·高一期中）有关向量和向量，下列四个说法中：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则.其中的正确的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由零向量的定义，可知①④正确；由向量的模定义，可知②不正确；由向量共线可知③不正确.故选：B6．（2022·全国·高三专题练习）如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用表示为(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】．故选：D．7．（2022·天津南开·高一期中）已知平面上不共线的四点，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，即，所以，所以，即，故选：B8．（2022·湖南·长沙县实验中学高一期末）如图所示，在平行四边形中，，为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】.故选：B二、多选题9．（2022·福建·上杭县第二中学高一阶段练习）以下说法正确的是（

）A．两个相等向量的模相等B．平行向量方向相同C．若和都是单位向量，则D．平行向量一定是共线向量【答案】AD【详解】根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确；根据平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行，此时不谈方向，故B不正确；若和都是单位向量，则，不一定有，故C不正确；平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确.故选：AD10．（2022·河北保定·高一阶段练习）在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】设，，由，可得，．因为C，P，M共线，所以，解得．因为N，P，B共线，所以，解得．故，，即，．故选：AD．三、填空题11．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）若向量与共线，且，则______．【答案】0或2【详解】向量与共线，且，∴与相等或互为相反向量，当与相等时，，当与互为相反向量时，．故答案为：0或2．12．（2022·重庆·高一阶段练习）设向量和不平行，若向量与反向共线，则实数=______.【答案】【详解】因为向量与反向共线，所以存在，使得，即，又向量和不平行，所以，所以.故答案为：.四、解答题13．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．(1)写出与共线的向量；(2)写出与的模相等的向量；(3)写出与相等的向量；(4)写出与相反的向量．【答案】(1)，，，，，，(2)，，，，(3)与(4)，，(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EFBC，且EF＝BC.因为D是BC的中点，所以，所以与共线的向量有，，，，，，.(2)由（1）可知与的模相等的向量有，，，，.(3)由（1）可知与相等的向量有与.(4)因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，所以，∥，所以与相反的向量有，，.14．（2022·广东·佛山市南海区南海执信中学高二开学考试）计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)（1）原式=.（2）原式=.B能力提升15．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在中，D，F分别是边BC，AC的中点，且，，．求证：B，E，F三点共线．【答案】证明见解析【详解】证明：因为在中，D，F分别是边BC，AC的中点，所以，，所以，因为，所以，所以，所以．又与有公共点B，所以B，E，F三点共线．16．（2022·全国·高三专题练习）设，是两个