高考数学 一轮复习讲义 任意角的三角函数 -答案

任意角的三角函数课前必备知识课标要求1.了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的象限符号规律及三角函数的定义域.3.掌握扇形的弧长公式及面积公式．知识梳理1．角的概念(1)任意角：角可以看成一条射线绕它的端点旋转所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的__始边__，射线的端点O叫做角的__顶点__．一条射线绕其端点按__逆__时针方向旋转形成的角叫做正角，按__顺__时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个__零__角．(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与__原点__重合，角的始边与__x轴的非负半轴__重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}__或__S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}__，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度制(1)定义：把长度等于__半径__长的圆弧所对的__圆心角__叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__弧度制__．正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是__0__．(2)角度与弧度的换算：180°＝__π__rad，1°＝__eq\f(π,180)__rad，1rad＝__(eq\f(180,π))°__．(3)扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝__αR__，S＝__eq\f(1,2)lR__．3．任意角的三角函数设α是任意一个角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么，sinα＝__y__；cosα＝__x__；tanα＝__eq\f(y,x)__(x≠0).常用结论1．任意角的三角函数(推广)设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么，sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).2．三角函数值的符号规律三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋tanα＋－＋－可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．课前训练1．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z，α∈[0°，360°))的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：B由α∈[0°，360°]知－885°＝195°－1080°＝195°＋(－3)×360°.故选B.2．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为eq\f(1,2)，则cosα＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：D依题意，得P(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，根据三角函数的定义，得cosα＝－eq\f(\r(3),2).故选D.3．(教材母题必修5.2.1练习T4)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：C因为点P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判断角α的终边在第三象限．故选C.4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．解析：{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．5．(教材母题必修习题5.1T9)已知扇形的圆心角为eq\f(2π,3)，圆心角所对的弧长为eq\f(8π,3)，则该扇形的面积为________．解析：eq\f(16π,3)设扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，面积为S.由弧长公式l＝αr，可知eq\f(8π,3)＝eq\f(2π,3)r，解得r＝4，所以扇形的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(8π,3)×4＝eq\f(16π,3).

课堂核心考点考点1任意角及其表示【例1】(1)(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是()A．α＋β＝180°B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)(2)设角α是第三象限角，且|sineq\f(α,2)|＝－sineq\f(α,2)，则角eq\f(α,2)是第________象限角．解析：(1)AD假设α，β为0°～180°内的角，如图所示．因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°(k∈Z)，所以D满足条件，B、C都不满足条件．故选AD.(2)四由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，则kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角．再由|sineq\f(α,2)|＝－sineq\f(α,2)知sineq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)只能是第四象限角．(1)正确理解任意角的概念，既要考虑大小，还要考虑方向．(2)正确理解象限角的概念，特别注意当终边落在坐标轴上时，这样的角是非象限角．(3)α所在象限与eq\f(α,2)所在象限的关系：当α属于第一、第二象限时，eq\f(α,2)属于第一或第三象限；当α属于第三、第四象限时，eq\f(α,2)属于第二或第四象限．变式探究1．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．解析：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．2．(2025·广东佛山一模)若点A(cosθ，sinθ)关于原点对称的点为B(cos(eq\f(π,6)－θ)，sin(eq\f(π,6)－θ))，则θ的一个取值为__________．解析：eq\f(7π,12)(答案不唯一，θ＝eq\f(7π,12)＋kπ，k∈Z均可)因为A(cosθ，sinθ)和B(cos(eq\f(π,6)－θ)，sin(eq\f(π,6)－θ))关于原点对称．所以θ与eq\f(π,6)－θ的终边在一条直线上．即θ＝eq\f(π,6)－θ＋(2k＋1)π，k∈Z，所以θ＝eq\f(7π,12)＋kπ，k∈Z.令k＝0得θ＝eq\f(7π,12).考点2弧度制的应用【例2】(1)(2024·湖南一模)出土于鲁国故城遗址的“战国出廓双龙勾云纹玉璜”(图1)的璜身雕刻勾云纹，体扁平，呈扇面状．出廓透身外耧雕“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cm.若sin37°≈eq\f(3,5)，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为()A．6.8cm2 B．9.8cm2C．14.8cm2 D．22.4cm2(2)(2025·上海宝山模拟)如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点P(x，y)(y>0).设A(1，0)，点B是P关于原点O的对称点，分别连接PA，PB，AB，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：(1)C显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB＝5cm，AB＝8cm，则cos∠OAB＝eq\f(\f(1,2)AB,OA)＝eq\f(4,5)，sin∠OAB＝eq\f(3,5)，又sin37°≈eq\f(3,5)，所以∠OAB≈37°，于是∠AOB＝180°－2×37°＝106°＝eq\f(53π,90)，所以璜身的面积近似为eq\f(1,2)∠AOB·(OA2－OD2)＝eq\f(1,2)×eq\f(53π,90)×(52－32)≈14.8(cm2).故选C.(2)C设射线OP对应的角为θ且θ∈(0，π)，故区域Ⅰ的面积为2×eq\f(1,2)×1×1×sinθ＝sinθ，区域Ⅱ的面积为eq\f(1,2)×θ×12－eq\f(1,2)×1×1×sinθ＝eq\f(θ,2)－eq\f(1,2)sinθ，区域Ⅲ的面积为eq\f(1,2)×(π－θ)×12－eq\f(1,2)×1×1×sin(π－θ)＝eq\f(π－θ,2)－eq\f(1,2)sinθ.由题设有sinθ＝eq\f(π－θ,2)－eq\f(1,2)sinθ＋eq\f(θ,2)－eq\f(1,2)sinθ，整理得sinθ＝eq\f(π,4)，因为θ∈(0，π)，故此时θ仅有两解，故选C.在解决扇形问题时要注意：(1)扇形的圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：|α|＝eq\f(l,r).(2)扇形的面积S与圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：S＝eq\f(|α|,2π)πr2＝eq\f(1,2)lr.(3)扇形的周长为C＝2r＋l.变式探究3．已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R.若α＝60°，R＝10cm，则扇形的弧长l为________cm.若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为________弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是________cm2.解析：eq\f(10π,3)225因为α＝60°＝eq\f(π,3)rad，所以l＝αR＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm).由已知得，l＋2R＝20(cm)，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2.4．设圆O的半径为2，点P为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD(实线所示，正方形的顶点A与点P重合，点B在圆周上).现将正方形ABCD沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A首次回到点P的位置时，点A所走过的路径的长度为()A．(1－2eq\r(2))πB．(2＋eq\r(2))πC．4π D．(3＋eq\f(\r(2),2))π解析：B由图可知，圆O的半径为r＝2，正方形ABCD的边长为a＝2，以正方形的边为弦所对的圆心角为eq\f(π,3)，正方形在圆上滚动时点的顺序如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈，共12次．设第i次滚动时，点A的路程为mi，则m1＝eq\f(π,6)×|AB|＝eq\f(π,3)，m2＝eq\f(π,6)×|AC|＝eq\f(\r(2),3)π，m3＝eq\f(π,6)×|AD|＝eq\f(π,3)，m4＝0，因此，点A所走过的路程为3(m1＋m2＋m3＋m4)＝(2＋eq\r(2))π.故选B.考点3任意角的三角函数【例3】(1)已知角α终边经过点P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x，则tanα＝_____________.(2)(2025·河南一模)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有()A．sinα＝－eq\f(\r(2),2)B．cosα＝eq\f(\r(2),2)C．sinα＋cosα＝±eq\r(2)D．tanα＝±1解析：(1)±eq\f(\r(5),5)因为P(x，－eq\r(2))(x≠0)，所以点P到原点的距离r＝eq\r(x2＋2).又cosα＝eq\f(\r(3),6)x，所以cosα＝eq\f(x,\r(x2＋2))＝eq\f(\r(3),6)x.因为x≠0，所以x＝±eq\r(10)，所以r＝2eq\r(3).当x＝eq\r(10)时，P点坐标为(eq\r(10)，－eq\r(2))，由三角函数的定义，有sinα＝－eq\f(\r(6),6)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(5),5)；当x＝－eq\r(10)时，同理可求得tanα＝eq\f(\r(5),5).(2)C因为角α的终边落在直线y＝x上，故α＝eq\f(π,4)＋2kπ或α＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.对于A，当α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z时，sinα＝eq\f(\r(2),2)，A错误；对于B，当α＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z时，cosα＝－eq\f(\r(2),2)，B错误；对于C，当α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z时，sinα＝eq\f(\r(2),2)，cosα＝eq\f(\r(2),2)，则sinα＋cosα＝eq\r(2)，当α＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z时，sinα＝－eq\f(\r(2),2)，cosα＝－eq\f(\r(2),2)，则sinα＋cosα＝－eq\r(2)，C正确；对于D，当α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z时，tanα＝1；当α＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z时，tanα＝1.D错误．故选C.(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用单位圆进行定义，其二是利用角的终边上一点的坐标进行定义．(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论．(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向．变式探究5．已知角α的终边上一点P的坐标为(sineq\f(5π,6)，coseq\f(5π,6))，则角α的最小正值为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f