高考数学 一轮复习讲义 - 三角函数的图象与性质 -答案

三角函数的图象与性质课前必备知识课标要求1.能画出基本三角函数的图象，了解三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及最值.2.会求与三角函数有关的简单函数的定义域、值域或最值．知识梳理1．用五点法作正弦、余弦函数的简图(1)y＝sinx的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为(0，0)，__(eq\f(π,2)，1)__，(π，0)，__(eq\f(3π,2)，－1)__，(2π，0).(2)y＝cosx的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为(0，1)，(eq\f(π,2)，0)，__(π，－1)__，(eq\f(3π,2)，0)，__(2π，1)__．2．三角函数的图象与性质(其中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称轴x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ—对称中心(kπ，0)(kπ＋eq\f(π,2)，0)(eq\f(kπ,2)，0)递增区间[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)][2kπ－π，2kπ](kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))递减区间[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)][2kπ，2kπ＋π]—常用结论1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).课前训练1．(教材母题必修习题5.4T10)函数y＝cos(2x＋eq\f(π,3))，x∈[0，eq\f(π,2)]的值域为()A．[0，1] B．[－1，eq\f(1,2)]C．[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)] D．[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]解析：B因为x∈[0，eq\f(π,2)]，2x＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)]，所以y＝cos(2x＋eq\f(π,3))∈[－1，eq\f(1,2)].故选B.2．下列函数中周期为π且为偶函数的是()A．y＝sin(2x－eq\f(π,2)) B．y＝cos(2x－eq\f(π,2))C．y＝sin(x＋eq\f(π,2)) D．y＝cos(x＋eq\f(π,2))解析：A对于A，y＝sin(2x－eq\f(π,2))＝－cos2x，周期为π且是偶函数，A正确；对于B，y＝cos(2x－eq\f(π,2))＝sin2x，周期为π且是奇函数，B错误；对于C，y＝sin(x＋eq\f(π,2))＝cosx，周期为2π，C错误；对于D，y＝cos(x＋eq\f(π,2))＝－sinx，周期为2π，D错误．故选A.3．函数f(x)＝2tan(3x＋eq\f(π,6))＋1的图象的一个对称中心可以是()A．(－eq\f(π,6)，0)B．(－eq\f(π,18)，0)C．(－eq\f(π,6)，1)D．(－eq\f(π,18)，1)解析：D令3x＋eq\f(π,6)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，解得x＝eq\f(kπ,6)－eq\f(π,18)(k∈Z)，当k＝0时，x＝－eq\f(π,18).因为f(x)＝2tan(3x＋eq\f(π,6))＋1的图象是由f(x)＝2tan(3x＋eq\f(π,6))的图象向上平移1个单位长度得到的，所以函数f(x)＝2tan(3x＋eq\f(π,6))＋1图象的一个对称中心可以是(－eq\f(π,18)，1).故选D.4．(教材母题必修5.4.2练习T5改编)函数y＝eq\r(2)cos(2x－eq\f(π,3))的单调递增区间是________________________________．解析：[kπ＋eq\f(2,3)π，kπ＋eq\f(7,6)π](k∈Z)由2kπ＋π≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋2π(k∈Z)，解得kπ＋eq\f(2,3)π≤x≤kπ＋eq\f(7,6)π(k∈Z)，所以y＝eq\r(2)cos(2x－eq\f(π,3))的单调递增区间是[kπ＋eq\f(2,3)π，kπ＋eq\f(7,6)π](k∈Z).5．函数y＝eq\r(sinx－cosx)的定义域为________________________________．解析：[2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(5π,4)](k∈Z)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出y＝sinx和y＝cosx在[0，2π]上的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x|2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)，k∈Z}．

课堂核心考点考点1三角函数的定义域和值域(最值)【例1】(1)函数y＝eq\r(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定义域为_____________________．(2)函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]的值域为______________．(3)函数f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,6))的定义域为[0，m]，值域为[－1，eq\f(\r(3),2)]，则实数m的取值范围是____________.解析：(1){x|2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,cosx－\f(1,2)≥0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，,2kπ－\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z，))解得2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.(2)[－4，4]因为－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，所以－1≤tanx≤1.令tanx＝t，则t∈[－1，1]，所以y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.所以当t＝－1，即x＝－eq\f(π,4)时，ymin＝－4，当t＝1，即x＝eq\f(π,4)时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4，4].(3)[eq\f(5π,12)，eq\f(5π,6)]因为x∈[0，m]，则eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤2m＋eq\f(π,6)，且－1≤cos(2x＋eq\f(π,6))≤eq\f(\r(3),2)，则π≤2m＋eq\f(π,6)≤eq\f(11π,6)，解得eq\f(5π,12)≤m≤eq\f(5π,6).1．解简单三角不等式的步骤：如sinx>a.第一步，作出y＝sinx的图象．第二步，作直线y＝a，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0，2π])在直线y＝a上方的图象．第三步，确定sinx＝a的x值，写出解集．2．三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx，cosx，sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数．变式探究1．函数f(x)＝eq\f(\r(2cosx－1),lg(tanx＋1))的定义域为()A．(2kπ－eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(π,3))(k∈Z)B．(2kπ－eq\f(π,4)，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋eq\f(π,3)](k∈Z)C．(kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,3))(k∈Z)D．(kπ－eq\f(π,4)，kπ)∪(kπ，kπ＋eq\f(π,3))(k∈Z)解析：B由函数式知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2cosx－1≥0，,tanx＋1≠1，,tanx＋1>0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≥\f(1,2)，,tanx≠0,tanx>－1，))即x∈(2kπ－eq\f(π,4)，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋eq\f(π,3)](k∈Z).故选B.2．函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为__________.解析：[－eq\f(1,2)－eq\r(2)，1]设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－eq\r(2)≤t≤eq\r(2)，所以y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq\r(2)时，ymin＝－eq\f(1,2)－eq\r(2).所以函数的值域为[－eq\f(1,2)－eq\r(2)，1].考点2三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】(1)若函数f(x)＝4sin(ωx－eq\f(π,3))(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)图象的对称轴可以是()A．x＝－eq\f(π,12) B．x＝0C．x＝eq\f(π,6) D．x＝eq\f(2π,3)(2)已知函数f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，且存在x0∈(0，eq\f(π,3))，使得f(x0)＝2，则φ的一个可能值为()A．eq\f(5π,6) B．eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6) D．－eq\f(2π,3)(3)(2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))＋b(ω>0)的最小正周期为T.若eq\f(2π,3)<T<π，且y＝f(x)的图象关于点(eq\f(3π,2)，2)中心对称，则f(eq\f(π,2))＝()A．1B．eq\f(3,2)C．eq\f(5,2)D．3解析：(1)A由题意得ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，所以f(x)＝4sin(2x－eq\f(π,3))，令2x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x＝eq\f(5π,12)＋eq\f(1,2)kπ(k∈Z)，所以f(x)图象的对称轴为x＝eq\f(5π,12)＋eq\f(1,2)kπ(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－eq\f(π,12)，所以函数f(x)图象的对称轴可以是x＝－eq\f(π,12).故选A.(2)C因为f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin(2x＋φ＋eq\f(π,6))为奇函数，所以φ＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，可得φ＝kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，所以排除B、D；对于A，当φ＝eq\f(5π,6)时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x，当x∈(0，eq\f(π,3))时，2x∈(0，eq\f(2π,3))，f(x)<0，不符合题意；对于C，当φ＝－eq\f(π,6)时，f(x)＝2sin2x，f(eq\f(π,4))＝2sineq\f(π,2)＝2，符合题意．故选C.(3)A由函数f(x)的最小正周期T满足eq\f(2π,3)<T<π，得eq\f(2π,3)<eq\f(2π,ω)<π，解得2<ω<3，又因为函数f(x)的图象关于点(eq\f(3π,2)，2)对称，所以eq\f(3π,2)ω＋eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，且b＝2，所以ω＝－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)k，k∈Z，所以ω＝eq\f(5,2)，f(x)＝sin(eq\f(5,2)x＋eq\f(π,4))＋2，所以f(eq\f(π,2))＝sin(eq\f(5,4)π＋eq\f(π,4))＋2＝1.故选A.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．(3)掌握一些简单函数的周期：如①y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)；②y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)；③y＝|sinx|的最小正周期为π；④y＝|tanx|的最小正周期为π.变式探究3．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))，下列说法正确的有()A．f(x)与g(x)有相同的零点B．f(x)与g(x)有相同的最大值C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴解析：BC对于A，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))＝0，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的周期均为eq\f(2π,2)＝π，C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)图象的对称轴满足2x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，g(x)图象的对称轴满足2x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．故选BC.4．关于函数f(x)＝4sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－eq\f(π,6))；③y＝f(x)的图象关于点(－eq\f(π,6)，0)对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(π,6)对称．其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题序号都填上).解析：②③因为函数f(x)＝4sin(2x＋eq\f(π,3))的最小正周期T＝π，所以相邻两个零点的横坐标间的距离是eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，故①错误．利用诱导公式得f(x)＝4cos[eq\f(π,2)－(2x＋eq\f(π,3))]＝4cos(eq\f(π,6)－2x)＝4cos(2x－eq\f(π,6))，故②正确．由于函数f(x)的图象与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－eq\f(π,6)代入函数f(x)得f(－eq\f(π,6))＝4sin[2×(－eq\f(π,6))＋eq\f(π,3)]＝4sin0＝0，因此点(－eq\f(π,6)，0)是f(x)图象的一个对称中心，故③正确．函数f(x)图象的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而当x＝－eq\f(π,6)时，y＝0，点(－eq\f(π,6)，0)不是最高点也不是最低点，故直线x＝－eq\f(π,6)不是图象的对称轴，故命题④错误．考点3三角函数的单调性及综合应用【例3】(1)下列各式中正确的是()A．taneq\f(3π,5)>taneq\f(π,5)B．tan2>tan3C．cos(－eq\f(17π,4))>cos(－eq\f(23π,5))D．sin(－eq\f(π,18))<sin(－eq\f(π,10))(2)(2025·河北高三统考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是()A．[eq\f(8,3)，eq\f(16,3))B．[4，eq\f(16,3))C．[4，eq\f(20,3))D．[eq\f(8,3)，eq\f(20,3))(3)设函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)，其中0<ω<1，|φ|<π，若f(eq\f(3π,8))＝4，f(eq\f(9π,8))＝0，则f(x)在[0，2π]上的单调减区间是()A．[0，eq\f(3,8)π] B．[eq\f(15,8)π，2π]C．[eq\f(3,8)π，eq\f(15,8)π] D．[0，π]解析：(1)C对于A，taneq\f(3π,5)＝tan(eq\f(3π,5)－π)＝tan(－eq\f(2π,5))，因为正切函数y＝tanx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上为增函数，且－eq\f(π,2)<－eq\f(2π,5)<eq\f(π,5)<eq\f(π,2)，所以tan(－eq\f(2π,5))<taneq\f(π,5)，即taneq\f(3π,5)<taneq\f(π,5)，A错误；对于B，由于正切函数y＝tanx在(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))上为增函数，且eq\f(π,2)<2<3<eq\f(3π,2)，所以tan2<tan3，B错误；对于C，cos(－eq\f(17π,4))＝coseq\f(17π,4)＝coseq\f(π,4)，cos(－eq\f(23π,5))＝coseq\f(23π,5)＝coseq\f(3π,5)，因为余弦函数y＝cosx在(0，π)为减函数，且0<eq\f(π,4)<eq\f(3π,5)<π，所以coseq\f(π,4)>coseq\f(3π,5)，即cos(－eq\f(17π,4))>cos(－eq\f(23π,5))，C正确；对于D，由于正弦函数y＝sinx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上为增函数，且－eq\f(π,2)<－eq\f(π,10)<－eq\f(π,18)<eq\f(π,2)，所以sin(－eq\f(π,18))>sin(－eq\f(π,10))，D错误．故选C.(2)B令f(x)＝0，则sin(ωx＋φ)＝eq\f(1,2).令t＝ωx＋φ，则sint＝eq\f(1,2)，则问题转化为y＝sint在区间[eq\f(π,4)ω＋φ，eq\f(3π,4)ω＋φ]上至少有2个t，至多有3个t，使得sint＝eq\f(1,2)，求ω的取值范围．作出y＝sint和y＝eq\f(1,2)的图象，观察交点个数，可知使得sint＝eq\f(1,2)的最短区间长度为2π，最长长度为2π＋eq\f(2,3)π，由题意列不等式2π≤(eq\f(3π,4)ω＋φ)－(eq\f(π,4)ω＋φ)<2π＋eq\f(2,3)π，解得4≤ω<eq\f(16,3).故选B.(3)C根据题意可以得出直线x＝eq\f(3,8)π和点(eq\f(9,8)π，0)分别是f(x)的图象的一条对称轴和一个对称中心，所以eq\f(9π,8)－eq\f(3π,8)＝eq\f(3π,4)＝eq\f(2k－1,4)T＝eq\f(2k－1,4)·eq\f(2π,ω)＝eq\f((2k－1)π,2ω)(k∈Z)，即ω＝eq\f(4k－2,3)(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝eq\f(2,3).又由f(eq\f(3π,8))＝4得sin(eq\f(2,3)×eq\f(3,8)π＋φ)＝1，即eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，|φ|<π，所以φ＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝4sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,4)).由2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(2,3)x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)得f(x)的单调减区间为[3kπ＋eq\f(3,8)π，3kπ＋eq\f(15,8)π](k∈Z)，所以f(x)在[0，2π]上的单调减区间是[eq\f(3,8)π，eq\f(15,8)π].故选C.(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但若ω＜0，则应利用诱导公式将x的系数化为正数再处理．(2)求函数的单调区间应遵循先化简的原则，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律及导数方法的应用．变式探究5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是____________.解析：[2，3)因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cosωx－1＝0，则cosωx＝1有3个根．令t＝ωx，则cost＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图象及性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.6．(多选)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，则()A．由f(x1)＝f(x2)＝eq\f(1,2)可得x1－x2是π的整数倍B．函数f(x＋eq\f(π,3))为偶函数C．函数f(x)在[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]上为减函数D．函数f(x)在区间(0，10π)上有20个零点解析：BCD由已知得2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以φ＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，又－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6)，f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6)).对于A，当x1＝eq\f(π,6)，x2＝eq\f(π,2)时，f(x1)＝f(x2)＝eq\f(1,2)，但x1－x2＝－eq\f(π,3)不是π的整数倍，A错误；对于B，f(x＋eq\f(π,3))＝sin[2(x＋eq\f(π,3))－eq\f(π,6)]＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x是偶函数，B正确；对于C，x∈[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]时，2x－eq\f(π,6)∈[eq