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高三开学摸底考试卷参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CDBCDCAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ADBCDBCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．413．314．2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）【详解】（1）依题意，由，可得，当时，，解得，当时，，整理，得，，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴；（2）依题意及（1），由可得，则，，两式相减，可得，∴，故得证．16．（15分）【详解】（1）证明：在中，，，，则，可得，所以，所以.因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）是平行四边形，平面，，，，且.假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，，设，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成角的大小为，故，整理得，解得或，所以或.17．（15分）【详解】（1）用表示甲第i个问题回答正确，表示甲第i个问题回答错误，则;.记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：.即甲同学能进入下一轮的概率为.（2）由题意知的可能取值：0，1，2，∴;,，，∴的分布列为：012∴,即数学期望为.18．（17分）【详解】（1）由题意可得，解得，则：；（2）（ⅰ）设直线：，，，联立，得，则有，，且，则，则，设，则，则.（ⅱ）设，则，设直线，：，，即分别为：，，由，则到直线，的距离相等，联立，有是其中一组解，又与等价，不妨设，则有，即，即，可得，又，即，则有，通分并整理得：.代入得.化简得.故，则，则.

19．（17分）【详解】（1）由题意，，，恒成立，所以在上单调递增，可得的值域为，因此只需，即可得，即，则的取值集合为．（2）（i）记函数，则，由得或；由得；所以函数在和上单调递增，在上单调递减．其中，因此当时，，不存在零点；由在单调递减，易知，而，由零点存在定理可知存在唯一的使得；当时，，不存在零点．综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2．（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”，则对，，当时，由（i）得在单调递增，，即，不满足要求；当时，由（i）得在单调递增，，即，也不满足要求；当

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