安徽省合肥市肥西县2025年高三上学期期中数学试卷

安徽省合肥市肥西县2025年高三上学期期中数学试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合\(A=\{x\mid-2<x<3\}\)，\(B=\{x\midx\ge1\}\)，则\(A\capB\)等于(A)\(\{x\mid1\lex<3\}\)(B)\(\{x\mid-2<x\le1\}\)(C)\(\{x\mid-2<x<1\}\)(D)\(\{x\midx\ge-2\}\)2.“\(x^2-1=0\)”是“\(x=1\)”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.已知复数\(z=1+i\)（其中\(i\)为虚数单位），则\(z^2\)的实部是(A)1(B)2(C)-1(D)-24.函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是(A)\(\frac{\pi}{2}\)(B)\(\pi\)(C)\(\frac{2\pi}{3}\)(D)\(2\pi\)5.若\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第四象限角，则\(\sin\alpha\)等于(A)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)(B)\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)(C)\(\frac{1}{2}\)(D)\(-\frac{1}{2}\)6.已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，则\(a_5\)等于(A)7(B)9(C)11(D)137.从5名男生和4名女生中选出3名代表，其中至少有一名女生，不同的选法共有(A)40种(B)60种(C)100种(D)120种8.函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的单调递增区间是(A)\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)(B)\((0,2)\)(C)\((-\infty,0)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)\)(D)\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)9.如果\(a>b\)，那么下列不等式一定成立的是(A)\(a^2>b^2\)(B)\(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)(C)\(\log_ab>\log_ba\)(D)\(a^3>b^3\)10.在直角三角形\(ABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，则\(\sinA\)等于(A)\(\frac{3}{5}\)(B)\(\frac{4}{5}\)(C)\(\frac{3}{4}\)(D)\(\frac{4}{3}\)11.已知点\(A(1,2)\)，点\(B(3,0)\)，则线段\(AB\)的中点坐标是(A)\((2,1)\)(B)\((1,1)\)(C)\((2,2)\)(D)\((1,2)\)12.已知直线\(l_1:y=kx+1\)和直线\(l_2:x+y=0\)互相垂直，则\(k\)等于(A)-1(B)1(C)-2(D)2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应位置。13.若\(\tan\alpha=\frac{3}{4}\)，且\(\alpha\)是第三象限角，则\(\cos\alpha\)等于________。14.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2+n\)，则\(a_3\)等于________。15.过点\(P(1,2)\)作直线\(l\)与圆\(C:(x-1)^2+(y-1)^2=1\)相切，则直线\(l\)的方程是________。16.在一项调查中，随机抽取了100名学生，其中喜欢篮球的有60人，喜欢足球的有45人，同时喜欢篮球和足球的有\(x\)人。若喜欢篮球或足球的学生共有80人，则\(x\)的值是________。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)已知函数\(f(x)=\lg(x^2-ax+3)\)。(1)若\(f(2)=0\)，求\(a\)的值；(2)若\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上有意义，求\(a\)的取值范围。18.(本小题满分12分)已知\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\)，\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{2}\)。(1)求\(\cos\alpha\cos\beta\)和\(\sin\alpha\sin\beta\)的值；(2)求\(\cos2\alpha\cos2\beta\)的值。19.(本小题满分12分)在等差数列\(\{a_n\}\)中，已知\(a_1=2\)，\(a_4+a_7=15\)。(1)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；(2)设\(b_n=\frac{1}{a_n}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。20.(本小题满分12分)已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。(1)求函数\(f(x)\)的单调区间；(2)求函数\(f(x)\)在区间\([-2,3]\)上的最大值和最小值。21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，点\(A(1,3)\)，点\(B(4,0)\)。(1)求过点\(A\)且与直线\(AB\)垂直的直线方程；(2)求以\(AB\)为直径的圆的方程。22.(本小题满分12分)为了解某校高三学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下两频数分布表：|锻炼时间（分钟/天）|[0,20)|[20,40)|[40,60)|[60,80)|[80,100)||--------------------|--------|--------|--------|--------|--------||男生人数|10|18|22|15|5||女生人数|8|15|20|12|5|(1)求样本中锻炼时间不少于40分钟的学生人数；(2)求样本中男生人数和女生人数之比；(3)若从锻炼时间不少于40分钟的学生中随机抽取2人，求这2人都是男生的概率。试卷答案一、选择题：1.A2.B3.B4.B5.B6.D7.B8.A9.D10.B11.A12.A二、填空题：13.-\frac{4}{5}14.815.x-y+1=0或x+y-3=016.25三、解答题：17.解：(1)由\(f(2)=\lg(2^2-2a+3)=0\)，得\(2^2-2a+3=1\)，解得\(a=3\)。(2)由\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上有意义，得\(x^2-ax+3>0\)对\(x\in(1,+\infty)\)恒成立。令\(g(x)=x^2-ax+3\)，则\(\Delta=a^2-12<0\)或\(g(1)=4-a+3>0\)且\(-\frac{a}{2}\le1\)，解得\(a<2\sqrt{3}\)或\(a<7\)，即\(a<2\sqrt{3}\)。18.解：(1)由\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\)，得\(\alpha+\beta=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\)，\(k\in\mathbb{Z}\)。由\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{2}\)知此式无解。应改为：由\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\)，得\(\alpha+\beta=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\)，\(k\in\mathbb{Z}\)。由\(\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}\)，得\(\alpha-\beta=\pm\frac{\pi}{3}+2m\pi\)，\(m\in\mathbb{Z}\)。则\(\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2})=0\)或\(1\)。\(\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\mp\frac{1}{2})=0\)或\(-\frac{1}{2}\)。(2)\(\cos2\alpha\cos2\beta=(2\cos^2\alpha-1)(2\cos^2\beta-1)=4\cos^2\alpha\cos^2\beta-2(\cos^2\alpha+\cos^2\beta)+1=4(\cos\alpha\cos\beta)^2-2(2\cos^2\alpha\cos^2\beta-(\cos^2\alpha+\cos^2\beta))+1=4(\cos\alpha\cos\beta)^2-4\cos\alpha\cos\beta+1=4(0\text{或}1)^2-4(0\text{或}1)+1=0\)或\(1\)。19.解：(1)设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。由\(a_4+a_7=15\)，得\(a_1+3d+a_1+6d=15\)，即\(2a_1+9d=15\)。又\(a_1=2\)，解得\(d=1\)。故\(a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)\cdot1=n+1\)。(2)\(b_n=\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n+1}\)。\(S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}\)。20.解：(1)求导得\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f'(x)>0\)，得\(x<0\)或\(x>2\)。令\(f'(x)<0\)，得\(0<x<2\)。故函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，单调递减区间为\((0,2)\)。(2)由(1)知，函数\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上递增，在\((0,2)\)上递减，在\((2,+\infty)\)上递增。故\(f(x)\)在\(x=0\)处取得极大值\(f(0)=2\)，在\(x=2\)处取得极小值\(f(2)=-2\)。又\(f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2=-8-12+2=-18\)，\(f(3)=3^3-3\cdot3^2+2=27-27+2=2\)。比较\(f(-2)=-18\)，\(f(0)=2\)，\(f(2)=-2\)，\(f(3)=2\)可知，函数\(f(x)\)在区间\([-2,3]\)上的最大值为2，最小值为-18。21.解：(1)直线\(AB\)的斜率\(k_{AB}=\frac{0-3}{4-1}=-1\)。过点\(A(1,3)\)且与直线\(AB\)垂直的直线方程的斜率为\(k=1\)。由点斜式得直线方程为\(y-3=1(x-1)\)，即\(x-y+2=0\)。检验点\(A(1,3)\)在直线\(x-y+2=0\)上，故直线方程为\(x-y+2=0\)。若改为：过点\(A(1,3)\)且与直线\(AB\)垂直的直线方程的斜率为\(k=1\)。由点斜式得直线方程为\(y-3=1(x-1)\)，即\(x-y+2=0\)。检验点\(A(1,3)\)在直线\(x-y+2=0\)上，故直线方程为\(x-y+2=0\)。另解：设过点\(A(1,3)\)的直线方程为\(y-3=k(x-1)\)。由直线\(l\)与圆\(C\)相切，得\(\frac{|k\cdot1-1\cdot3+2|}{\sqrt{k^2+1^2}}=1\)，即\(|k-1|=\sqrt{k^2+1}\)。平方得\(k^2-2k+1=k^2+1\)，解得\(k=0\)。故直线方程为\(y-3=0(x-1)\)，即\(y-3=0\)。(2)以\(AB\)为直径的圆的圆心为\(C\left(\frac{1+4}{2},\frac{3+0}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)\)，半径\(r=\frac{1}{2}\sqrt{(4-1)^2+(0-3)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9+9}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)。故圆的方程为\(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y-