2025年病毒建模测试题及答案

2025年病毒建模测试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1.某新型冠状病毒的传播模型采用改进的SEIRS模型，其中Ecompartment表示：A.已暴露但未感染个体B.已暴露且具有传染性个体C.已暴露但处于潜伏期无传染性个体D.已暴露且处于恢复期个体2.若某病毒的基本再生数R₀=4.2，其临界群体免疫接种率（假设疫苗完全有效）约为：A.76.2%B.80.9%C.85.7%D.90.5%3.在基于Agent的病毒传播模型中，以下哪项不是微观模拟的关键参数？A.个体移动半径B.场所接触频率C.群体平均感染率D.个体免疫状态异质性4.采用最大似然估计法拟合病毒传播数据时，若似然函数L(θ|x)表示参数θ下观测数据x的概率，优化目标通常是：A.最大化L(θ|x)B.最小化L(θ|x)C.最大化-log(L(θ|x))D.最小化|θ-θ₀|（θ₀为先验值）5.某地区实施“50%社交距离措施”（即有效接触率降低50%），原传播系数β=0.4/天，干预后β'=0.4×(1-0.5)=0.2/天，若原R₀=β/γ（γ=0.1/天），则干预后R₀'为：A.2B.4C.6D.86.在空间传播模型中，若采用核函数K(d)=e^(-d/λ)描述距离d对传播的影响，λ增大时，病毒的远距离传播能力会：A.增强B.减弱C.不变D.先增强后减弱7.以下哪项不是SEIR模型与SIR模型的主要区别？A.增加潜伏期阶段B.允许康复者再次感染C.区分暴露期与传染期D.可能影响峰值时间计算8.若某病毒的潜伏期分布为对数正态分布（均值μ=3天，标准差σ=1.5天），则平均潜伏期约为：A.e^(μ+σ²/2)B.μC.(μ+σ)/2D.e^μ9.在评估疫苗接种策略时，若优先接种高接触率人群（如医护人员），其核心逻辑是：A.降低整体传播系数βB.减少易感人群数量C.阻断传播链的关键节点D.提高群体免疫阈值10.某模型预测某城市3个月后感染人数为10万，95%置信区间为[8.5万,11.5万]，以下解释正确的是：A.实际感染人数有95%概率落在该区间B.模型参数估计的不确定性导致区间范围C.该区间反映了数据测量误差D.若重复100次模拟，95次结果在该区间内二、填空题（每空2分，共20分）1.SIR模型的基本微分方程中，dI/dt=______，其中S为易感者数量，I为感染者数量，β为传播系数，γ为恢复率。2.若某病毒的代际间隔（SerialInterval）为5天，R₀=3，则其传播增长率r≈______（提示：r≈ln(R₀)/代际间隔）。3.在贝叶斯参数估计中，后验概率P(θ|x)∝______×______，其中x为观测数据。4.空间传播模型中，若采用重力模型，传播概率通常与两地人口数的乘积成______，与距离的______成反比。5.干预措施的“有效再生数”Rt=______，当Rt______1时，疫情呈下降趋势。6.考虑年龄分层的传播模型中，若儿童的接触率是成人的1.5倍，儿童占总人口的20%，则儿童群体的传播贡献权重为______（假设其他参数相同）。三、计算题（共40分）1.（12分）某地区初始人口N=100万，无免疫人口，初始感染数I₀=100，采用SIR模型（β=0.3/天，γ=0.1/天）。（1）计算基本再生数R₀；（2）求感染人数峰值时的易感者比例s；（3）若该地区在疫情爆发后第10天开始实施隔离措施，使γ提升至0.2/天（β不变），计算措施实施后的R₀'，并说明对疫情的影响。2.（14分）某病毒的潜伏期服从伽马分布，形状参数k=2，尺度参数θ=3天（均值=kθ=6天，方差=kθ²=18天²）。（1）写出潜伏期的概率密度函数f(t)；（2）计算潜伏期超过7天的概率（提示：Γ函数近似值Γ(2)=1，Γ(3)=2，Γ(2,7/θ)=Γ(2,7/3)≈0.41）；（3）若该病毒的传染期为潜伏期结束后开始，持续时间服从指数分布（均值=4天），求从暴露到不再传染的总时间的期望。3.（14分）某城市有A、B两个区域，人口分别为N₁=80万、N₂=20万，区域内接触率β₁=0.25/天、β₂=0.3/天，区域间传播系数β₁₂=0.05/天（表示A区感染者对B区易感者的传播率）。初始时A区有1000例感染者，B区无感染，假设无恢复（γ=0），采用双区域SIR模型（忽略死亡）。（1）写出A区感染人数变化的微分方程dI₁/dt（用S₁、I₁、S₂、I₂表示）；（2）若t=0时S₁≈N₁，S₂≈N₂，计算t=0时A区的感染增长率r₁；（3）分析区域间传播对疫情扩散的影响机制。四、综合分析题（共30分）1.（15分）某新型病毒的流行病学数据显示：潜伏期2-14天（均值5天），传染期为症状出现前2天至症状出现后5天（共7天），基本再生数R₀=5.0，人群中30%为高接触率个体（接触率是平均水平的2倍），70%为低接触率个体。（1）请设计一个分层SIR模型（区分高、低接触率群体），写出各群体的微分方程（用S_h、I_h、R_h表示高接触率群体，S_l、I_l、R_l表示低接触率群体，总接触率包括群体内和群体间接触）；（2）若对高接触率群体实施90%的疫苗接种（疫苗有效率100%），计算干预后的有效再生数Rt（假设低接触率群体无接种，总接触率矩阵为：高-高接触率c_hh=2c，高-低c_hl=c，低-高c_lh=c，低-低c_ll=0.5c，其中c为平均接触率基准值）；（3）结合模型结果，说明优先接种高接触率群体的合理性。2.（15分）某团队使用SEIRS模型（考虑免疫消退）预测某城市未来1年的疫情，模型参数如下：β=0.28/天（传播系数），σ=1/5天⁻¹（潜伏期转化率，潜伏期均值5天），γ=1/7天⁻¹（恢复率，传染期均值7天），α=1/365天⁻¹（免疫消退率，免疫持续时间约1年）。初始状态：S=99%N，E=0，I=0.5%N，R=0.5%N。（1）绘制SEIRS模型的compartments流程图（文字描述即可）；（2）计算模型的基本再生数R₀（提示：R₀=β/(σ+γ)×(σ/(σ+γ))？不，正确公式需考虑潜伏期对传播的影响，实际R₀=β/(γ)×(σ/(σ+γ))？需重新推导：在SEIR模型中，R₀=β/(γ)×(σ/(σ+γ))？或更准确的，R₀=β/(γ)×[1e^(-σT)]，其中T为传染期？需明确正确推导过程）；（3）若该城市在第100天开始接种疫苗（接种率20%/月，疫苗有效率80%），请描述模型需要调整的参数及预测结果的变化趋势（如峰值时间、感染规模）。答案--一、单项选择题1.C（SEIRS中E为暴露但未传染的潜伏期）2.C（临界接种率=1-1/R₀=1-1/4.2≈85.7%）3.C（群体平均感染率是宏观结果，非微观参数）4.A（最大似然估计目标是最大化似然函数）5.A（原R₀=0.4/0.1=4，干预后β'=0.2，R₀'=0.2/0.1=2）6.A（λ为空间衰减参数，λ越大，远距离传播权重越高）7.B（SEIR不允许康复者再次感染，SEIRS才允许）8.A（对数正态分布均值为e^(μ+σ²/2)）9.C（高接触率人群是传播链的关键节点）10.B（置信区间反映参数估计的不确定性，非实际结果概率）二、填空题1.βSI/NγI（SIR模型中dI/dt=βSI/NγI）2.0.2197（r≈ln(3)/5≈1.0986/5≈0.2197/天）3.似然函数P(x|θ)；先验概率P(θ)（贝叶斯公式：后验∝似然×先验）4.正比；某次方（通常为2次方，如重力模型T_ij=kP_iP_j/d_ij²）5.R₀×s(t)；＜（Rt=R₀×易感者比例s(t)，Rt＜1时疫情下降）6.0.3（贡献权重=接触率×人口比例=1.5×0.2=0.3）三、计算题1.（12分）（1）R₀=β/γ=0.3/0.1=3（2）SIR模型峰值条件为dI/dt=0，即βS/N=γ→S=γN/β=(0.1/0.3)N≈0.333N，故易感者比例s=1/3≈33.3%（3）干预后γ'=0.2/天，R₀'=β/γ'=0.3/0.2=1.5＜3，有效再生数下降，疫情增长速度减缓，峰值降低，结束时间提前。2.（14分）（1）伽马分布密度函数f(t)=(t^(k-1)e^(-t/θ))/(θ^kΓ(k))，代入k=2，θ=3，得f(t)=(te^(-t/3))/(3²×1)=te^(-t/3)/9（2）P(T＞7)=1P(T≤7)=1γ(k,7/θ)/Γ(k)，其中γ为下不完全伽马函数。已知Γ(2)=1，γ(2,7/3)=∫₀^(7/3)te^(-t)dt=[-te^(-t)e^(-t)]₀^(7/3)=-7/3e^(-7/3)e^(-7/3)+1≈1(10/3)e^(-7/3)≈13.333×0.095≈10.317=0.683（但题目提示Γ(2,7/3)≈0.41，可能指上不完全伽马函数Γ(k,x)=Γ(k)-γ(k,x)，则P(T＞7)=Γ(2,7/3)/Γ(2)=0.41/1=0.41）（3）总时间=潜伏期+传染期，期望=E[潜伏期]+E[传染期]=6+4=10天3.（14分）（1）A区感染人数变化需考虑区内传播和区际传播：dI₁/dt=β₁(S₁I₁)/N₁+β₁₂(S₁I₂)/N₂（假设区际传播为A区易感者接触B区感染者，或B区易感者接触A区感染者？需明确。通常双区域模型中，dI₁/dt=β₁(S₁I₁)/N₁+β₁₂(S₁I₂)/N₁（A区易感者被B区感染者感染的速率为β₁₂×S₁×I₂/N₁，假设N₁为A区人口））（2）t=0时，S₁≈80万，I₁=1000，I₂=0，故dI₁/dt≈β₁(S₁I₁)/N₁=0.25×(800000×1000)/800000=0.25×1000=250例/天，增长率r₁=dI₁/dt/I₁=250/1000=0.25/天（3）区域间传播会导致疫情从高感染区向低感染区扩散，增加整体感染规模；若区域间传播系数β₁₂较大，可能加速疫情在不同区域的同步化，延长流行周期。四、综合分析题1.（15分）（1）分层模型假设高（h）、低（l）接触率群体，总接触率包括群体内（c_hh,c_ll）和群体间（c_hl,c_lh）接触。模型方程：dS_h/dt=-β(c_hhS_hI_h/N_h+c_hlS_hI_l/N_l)dI_h/dt=β(c_hhS_hI_h/N_h+c_hlS_hI_l/N_l)γI_hdR_h/dt=γI_h（低接触率群体类似，dS_l/dt=-β(c_lhS_lI_h/N_h+c_llS_lI_l/N_l)，dI_l/dt=β(...)γI_l，dR_l/dt=γI_l）（2）接种后，高接触率群体易感者变为S_h'=S_h×(1-0.9)=0.1S_h（假设初始S_h=0.3N）。有效再生数Rt需计算每个群体的二次感染数。总接触矩阵为：高群体感染一个个体，感染高群体的人数=β×c_hh×S_h'/N_h=β×2c×0.1×0.3N/(0.3N)=0.2βc感染低群体的人数=β×c_hl×S_l/N_l=β×c×0.7N/(0.7N)=βc低群体感染一个个体，感染高群体的人数=β×c_lh×S_h'/N_h=β×c×0.1×0.3N/(0.3N)=0.1βc感染低群体的人数=β×c_ll×S_l/N_l=β×0.5c×0.7N/(0.7N)=0.5βcRt=（高群体贡献+低群体贡献）=[0.2βc+βc]×(0.3N/N)+[0.1βc+0.5βc]×(0.7N/N)（需更准确计算：Rt为每个感染阶段的平均二次感染数，高群体感染者的二次感染数=β(c_hhS_h'/N_h+c_hlS_l/N_l)=β(2c×0.1×0.3N/(0.3N)+c×0.7N/(0.7N))=β(0.2c+c)=1.2βc；低群体感染者的二次感染数=β(c_lhS_h'/N_h+c_llS_l/N_l)=β(c×0.1×0.3N/(0.3N)+0.5c×0.7N/(0.7N))=β(0.1c+0.5c)=0.6βc；初始R₀=[高比例×高二次感染数+低比例×低二次感染数]=0.3×(β×2c/γ)+0.7×(β×0.5c/γ)=(0.6βc+0.35βc)/γ=0.95βc/γ=5（已知R₀=5），故βc/γ=5/0.95≈5.26。干预后Rt=0.3×(1.2βc/γ)+0.7×(0.6βc/γ)=0.3×6.31+0.7×3.16≈1.89+2.21=4.1，仍＞1但显著下降。（3）高接触率群体虽占比30%，但接触率是2倍，其传播贡献大；接种后大幅降低其易感者比例，能更有效切断传播链，比均匀接种更高效。2.（15分）（1）SEIRS流程图：S（易感）→E（暴露，σ转化率）→I（感染，γ恢复率）→R（康复，α消退率）→S（再次易感）。（2）SEIR模型的R₀推导：每个感染者在传染期内接触的易感者数×传染概率。潜伏期内无传染，传染期从I开始，持续时间1/γ天。传播率为β×S/N，假设S≈N（初始），则每个I在传染期内感染的人数为β×(1/γ)。但因暴露者需经过潜伏期（1/σ天）才成为I，故考虑潜